2020年高中数学第六章推理与证明6 6页

‎6．1.2　类　比 一、基础达标 ‎1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适 ‎(　　)‎ A．三角形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形 答案　C ‎2．给出下面四个类比结论 ‎(　　)‎ ① 实数a，b，若ab＝0则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，‎ ② 则a＝0或b＝0‎ ‎②实数a，b，有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；类比向量a，b，有(a＋b)2＝‎ a2＋‎2a·b＋b2‎ ‎③实数a，有|a|2＝a2，类比向量a，有|a|2＝a2‎ ‎④实数a，b有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b有a2＋b2＝0，则 a＝b＝0‎ 其中类比结论正确的命题个数为 ‎(　　)‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ 答案　D ‎3．三角形的面积S＝(a＋b＋c)·r，其中a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理；可以得出四面体的体积为 ‎(　　)‎ A．V＝abc B．V＝Sh C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r D．V＝(ab＋bc＋ac)h 答案　C ‎4．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：‎ 6‎ ‎①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，‎ 则a－b＝0⇒a＝b”；‎ ‎②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出 ‎“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；‎ ‎③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．‎ 其中类比得到的结论正确的个数是 ‎(　　)‎ A．0 B．‎1 ‎‎ C．2 D．3‎ 答案　C 解析　①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a＝5＋6i，‎ b＝4＋6i，虽然满足a－b＝1>0，但复数a与b不能比较大小．‎ ‎5．类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”，得空间相应的结论为________．‎ 答案　三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 解析　平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象，从而有结论．‎ ‎6．如图(1)有面积关系＝，则图(2)有体积关系＝________.‎ 答案　 ‎7．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC，所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．‎ 6‎ 解　在△DEF中(如图)，由正弦定理得 ＝＝.‎ 于是，类比三角形中的正弦定理，‎ 在四面体S－ABC中，‎ 我们猜想＝＝成立．‎ 二、能力提升 ‎8．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体A－BCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，‎ ‎∴r＝.‎ 6‎ ‎9．定义：ab，bc，cd，da的运算分别对应下图中的(1)(2)(3)(4)．‎ 则图中甲、乙运算式可表示为________．‎ 答案　db，ca ‎10．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．‎ 答案　＝ 解析　△ABC中作ED⊥AC于D，EF⊥BC于F，则ED＝EF.‎ ‎∴＝＝，‎ 类比：在三棱锥A－BCD中，过直线AB作一平面垂直于CD，并交CD于点H，则∠AHB是二面角A－CD－B的平面角，连接EH，则EH是∠AHB的角平分线．‎ 6‎ ‎∴＝＝.‎ ‎11．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和Sn，则有如下性质：‎ ‎①通项：an＝am＋(n－m)d；‎ ‎②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m、n、p、q∈N＋)；‎ ‎③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m、n、p∈N＋)；‎ ‎④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．‎ 类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质，并判断所得结论的真假．‎ 解　在等比数列{bn}中，公比为q，前n项和为Sn，则可以得到：‎ ‎①通项：bn＝bm·qn－m(真命题)；‎ ‎②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq(m，n，p，q∈N＋)(真命题)；‎ ‎③若m＋n＝2p，则bm·bn＝b(m，n，p∈N＋)(真命题)；‎ ‎④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列(假命题)．‎ ‎12．(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证：A·为定值b2－a2.‎ ‎(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A，B两点，点P是双曲线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证A·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．‎ 解　(1)证明如下：设点P(x0，y0)(x0≠±a)‎ 依题意，得A(－a,0)，B(a,0)‎ 所以直线PA的方程为y＝(x＋a)，‎ 令x＝0，得yM＝.‎ 同理得yN＝－，所以yMyN＝.‎ 又点P(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，‎ 因此y＝(a2－x)，所以yMyN＝＝b2.‎ 因为＝(a，yN)，＝(－a，yM)，‎ 所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.‎ ‎(2)－(a2＋b2)．‎ 6‎ 三、探究与创新 ‎13．如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．‎ 解　在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝()2＋()2＝＝＝1.‎ 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，‎ 则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.‎ 证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝()2＋()2＋()2＝＝＝1.‎ 6‎