高考数学专题复习课件：4-1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 53页

§4.1 　任意角、弧度制及任意角的三角函数 [ 考纲要求 ] 　 1. 了解任意角的概念；了解弧度制的概念 . 2. 能进行弧度与角度的互化 .3. 理解任意角的三角函数 ( 正 弦、余弦、正切 ) 的定义． 1 ． 角的概念 (1) 任意角： ① 定义：角可以看成平面内 _________ 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 _______ ； ② 分类：角按旋转方向分为 _____ 、 ______ 和 _____ ． (2) 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成的角的集合是 S ＝ _________________________ ． 一条射线 图形 正角 负角 零角 { β | β ＝ k ·360 ° ＋ α ， k ∈ Z} (3) 象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 _____ _________ 重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2 ． 弧度制 (1) 定义：把长度等于 ____ 长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ____ ，负角的弧度数是一个 ____ ，零角的弧度数是 __ ． x 轴的 非负半轴 正数 负数 0 半径 原点 (2) 几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是 (1 ， 0) ．如图中有向线段 MP ， OM ， AT 分别叫做角 α 的 ________ ， ________ 和 _________ ． 正弦线 余弦线 正切线 (3) 三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正 弦、三正切、四余弦． 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角． ( 　　 ) (2) 角 α 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) √ 　 (5) √ 1 ．角－ 870 ° 的终边所在的象限是 ( 　　 ) A ．第一象限　　　　　　 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【 解析 】 由－ 870 ° ＝－ 1 080 ° ＋ 210 ° ，知－ 870 ° 角和 210 ° 角终边相同，在第三象限． 【 答案 】 C 【 答案 】 C 【 答案 】 C 【 答案 】 C 【 答案 】 (1)C 　 (2)C 【 方法规律 】 (1) 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角． (2) 利用终边相同的角的集合 S ＝ { β | β ＝ 2 k π ＋ α ， k ∈ Z} 判断一个角 β 所在的象限时，只需把这个角写成 [0 ， 2 π ) 范围内的一个角 α 与 2 π 的整数倍的和，然后判断角 α 的象限． 【 答案 】 (1)B 　 (2) － 675 ° 或－ 315 ° 题型二　弧度制的应用 【 例 2 】 已知一扇形的圆心角为 α ，半径为 R ，弧长为 l . (1) 若 α ＝ 60 ° ， R ＝ 10 cm ，求扇形的弧长 l ； (2) 已知扇形的周长为 10 cm ，面积是 4 cm 2 ，求扇形的圆心角； (3) 若扇形周长为 20 cm ，当扇形的圆心角 α 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【 方法规律 】 应用弧度制解决问题的方法 (1) 利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2) 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3) 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 【 答案 】 (1)C 　 (2)1 　 2 题型三　三角函数的概念 命题点 1 　三角函数定义的应用 【 例 3 】 (1)(2017 · 山东日照一中测试 ) 角 α 的终边经过点 P (sin 10 ° ，－ cos 10 ° ) ，则 α 的可能取值为 ( 　　 ) A ． 10 ° B ． 80 ° C ．－ 10 ° D ．－ 80 ° 【 答案 】 (1)D 　 (2)A 命题点 2 　三角函数值的符号 【 例 4 】 (1)(2017· 湖南衡阳八中第一次月考 ) 已知点 P (cos α ， tan α ) 在第三象限，则角 α 的终边在 ( 　　 ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【 答案 】 (1)B 　 (2)B 【 方法规律 】 (1) 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x ，纵坐标 y ，该点到原点的距离 r . (2) 根据三角函数定义中 x 、 y 的符号来确定各象限内 三角函数的符号，理解并记忆： “ 一全正、二正弦、三正切、四余弦 ” ． (3) 利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围． 跟踪训练 3 (1) 已知角 α 的余弦线是单位长度的有向线段，那么角 α 的终边在 ( 　　 ) A ． x 轴上 B ． y 轴上 C ．直线 y ＝ x 上 D ．直线 y ＝－ x 上 (2) 已知角 α 的终边经过点 (3 a － 9 ， a ＋ 2) ，且 cos α ≤ 0 ， sin α ＞ 0 ，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A ． ( － 2 ， 3] B ． ( － 2 ， 3) C ． [ － 2 ， 3) D ． [ － 2 ， 3] 【 答案 】 (1)A 　 (2)A 【 解析 】 (1) 如图所示， 过圆心 C 作 x 轴的垂线，垂足为 A ， 过 P 作 x 轴的垂线与过 C 作 y 轴的垂线交于点 B . 因为圆心移动的距离为 2 ， 所以劣弧 PA ＝ 2 ，即圆心角 ∠ PCA ＝ 2 ， 【 温馨提醒 】 (1) 解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系． (2) 利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置 . ► 方法与技巧 1 ．在利用三角函数定义时，点 P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点． | OP | ＝ r 一定是正值． 2 ．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3 ．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． ► 失误与防范 1 ．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90 ° 的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角． 2 ．角度制与弧度制可利用 180 ° ＝ π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 3 ．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况 .