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- 2021-06-11 发布
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§8.4
直线、平面平行的判定与性质
[
考纲要求]
1.
能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理
.2.
能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题
.
1
.
直线与平面平行的判定定理和性质定理
2.
平面与平面平行的判定定理和性质定理
【
思考辨析
】
判断下面结论是否正确
(
请在括号中打
“√”
或
“
×”
)
(1)
若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.
(
)
(2)
若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.
(
)
(3)
如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
(
)
(4)
如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.
(
)
(5)
若直线
a
与平面
α
内无数条直线平行,则
a
∥
α
.(
)
(6)
空间四边形
ABCD
中,
E
,
F
分别是
AB
,
AD
的中点,则
EF
∥
平面
BCD
.(
)
(7)
若
α
∥
β
,直线
a
∥
α
,则
a
∥
β
.(
)
【
答案
】
(1)
×
(2)
×
(3)
×
(4)
√
(5)
×
(6)
√
(7)
×
1
.一条直线
l
上有相异三个点
A
、
B
、
C
到平面
α
的距离相等,那么直线
l
与平面
α
的位置关系是
(
)
A
.
l
∥
α
B
.
l
⊥
α
C
.
l
与
α
相交但不垂直
D
.
l
∥
α
或
l
⊂
α
【
解析
】
当距离不为零时,
l
∥
α
,当距离为零时,
l
⊂
α
.
【
答案
】
D
2
.设
α
,
β
,
γ
为三个不同的平面,
m
,
n
是两条不同的直线,在命题
“
α
∩
β
=
m
,
n
⊂
γ
,且
________
,则
m
∥
n
”
中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①
α
∥
γ
,
n
⊂
β
;
②
m
∥
γ
,
n
∥
β
;
③
n
∥
β
,
m
⊂
γ
.
可以填入的条件有
(
)
A
.
①
或
②
B
.
②
或
③
C
.
①
或
③
D
.
①
或
②
或
③
【
解析
】
由面面平行的性质定理可知,
①
正确;当
n
∥
β
,
m
⊂
γ
时,
n
和
m
在同一平面内,且没有公共点,所以平行,
③
正确.故选
C.
【
答案
】
C
3
.
(
教材改编
)
下列命题中正确的是
(
)
A
.若
a
,
b
是两条直线,且
a
∥
b
,那么
a
平行于经过
b
的任何平面
B
.若直线
a
和平面
α
满足
a
∥
α
,那么
a
与
α
内的任何直线平行
C
.平行于同一条直线的两个平面平行
D
.若直线
a
,
b
和平面
α
满足
a
∥
b
,
a
∥
α
,
b
⊄
α
,则
b
∥
α
【
解析
】
A
中,
a
可以在过
b
的平面内;
B
中,
a
与
α
内的直线可能异面;
C
中,两平面可相交;
D
中,由直线与平面平行的判定定理知,
b
∥
α
,正确.
【
答案
】
D
4
.
(2017·
乌鲁木齐二诊
)
已知直线
l
,
m
,其中只有
m
在平面
α
内,则
“
l
∥
α
”
是
“
l
∥
m
”
的
(
)
A
.充分不必要条件
B
.必要不充分条件
C
.充分必要条件
D
.既不充分也不必要条件
【
解析
】
若
l
∥
α
,则
l
与
α
内的直线平行或异面;若
l
∥
m
,
l
不在平面
α
内,则
l
∥
α
,所以
“
l
∥
α
”
是
“
l
∥
m
”
的必要不充分条件.
【
答案
】
B
5
.过三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
任意两条棱的中点作直线,其中与平面
ABB
1
A
1
平行的直线共有
________
条.
【
解析
】
各中点连线如图,只有面
EFGH
与面
ABB
1
A
1
平行,在四边形
EFGH
中有
6
条符合题意.
【
答案
】
6
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点
1
直线与平面平行的判定
【
例
1
】
(2017·
南通模拟
)
如图所示,斜三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
中,点
D
,
D
1
分别为
AC
,
A
1
C
1
上的中点.
(1)
证明:
AD
1
∥
平面
BDC
1
.
(2)
证明:
BD
∥
平面
AB
1
D
1
.
(2)
连接
D
1
D
,
∵
BB
1
∥
平面
ACC
1
A
1
,
BB
1
⊂
平面
BB
1
D
1
D
,
平面
ACC
1
A
1
∩
平面
BB
1
D
1
D
=
D
1
D
,
∴
BB
1
∥
D
1
D
,
又
D
1
,
D
分别为
A
1
C
1
与
AC
的中点,
∴
BB
1
=
DD
1
,
故四边形
BDD
1
B
1
为平行四边形,
∴
BD
∥
B
1
D
1
,
又
BD
⊄
平面
AB
1
D
1
,
B
1
D
1
⊂
平面
AB
1
D
1
,
∴
BD
∥
平面
AB
1
D
1
.
(1)
证明:
GH
∥
EF
;
(2)
若
EB
=
2
,求四边形
GEFH
的面积.
【
解析
】
(1)
证明
因为
BC
∥
平面
GEFH
,
BC
⊂
平面
PBC
,
且平面
PBC
∩
平面
GEFH
=
GH
,
所以
GH
∥
BC
.
同理可证
EF
∥
BC
,因此
GH
∥
EF
.
(2)
如图,连接
AC
,
BD
交于点
O
,
BD
交
EF
于点
K
,连接
OP
,
GK
.
因为
PA
=
PC
,
O
是
AC
的中点,所以
PO
⊥
AC
,
同理可得
PO
⊥
BD
.
又
BD
∩
AC
=
O
,且
AC
,
BD
都在底面内,
所以
PO
⊥
底面
ABCD
.
又因为平面
GEFH
⊥
平面
ABCD
,
且
PO
⊄
平面
GEFH
,所以
PO
∥
平面
GEFH
.
因为平面
PBD
∩
平面
GEFH
=
GK
,
所以
PO
∥
GK
,且
GK
⊥
底面
ABCD
,从而
GK
⊥
EF
.
所以
GK
是梯形
GEFH
的高.
【
方法规律
】
判断或证明线面平行的常用方法:
(1)
利用线面平行的定义
(
无公共点
)
;
(2)
利用线面平行的判定定理
(
a
⊄
α
,
b
⊂
α
,
a
∥
b
⇒
a
∥
α
)
;
(3)
利用面面平行的性质定理
(
α
∥
β
,
a
⊂
α
⇒
a
∥
β
)
;
(4)
利用面面平行的性质
(
α
∥
β
,
a
⊄
β
,
a
∥
α
⇒
a
∥
β
)
.
跟踪训练
1
(1)
如图所示,在四棱锥
P
ABCD
中,
∠
ABC
=
∠
ACD
=
90
°
,
∠
BAC
=
∠
CAD
=
60
°
,
E
为
PD
的中点,
AB
=
1
,求证:
CE
∥
平面
PAB
;
(2)
如图所示,
CD
,
AB
均与平面
EFGH
平行,
E
,
F
,
G
,
H
分别在
BD
,
BC
,
AC
,
AD
上,且
CD
⊥
AB
.
求证:四边形
EFGH
是矩形.
【
证明
】
(1)
由已知条件有
AC
=
2
AB
=
2
,
AD
=
2
AC
=
4
,
CD
=
2.
如图所示,延长
DC
,
AB
,设其交于点
N
,连接
PN
,
因为
∠
NAC
=
∠
DAC
=
60
°
,
AC
⊥
CD
,
所以
C
为
ND
的中点,
又因为
E
为
PD
的中点,所以
EC
∥
PN
,
因为
EC
⊄
平面
PAB
,
PN
⊂
平面
PAB
,
所以
CE
∥
平面
PAB
.
(2)
∵
CD
∥
平面
EFGH
,
而平面
EFGH
∩
平面
BCD
=
EF
,
∴
CD
∥
EF
.
同理
HG
∥
CD
,且
HE
∥
AB
,
∴
EF
∥
HG
.
同理
HE
∥
GF
,
∴
四边形
EFGH
为平行四边形.
∴
CD
∥
EF
,
HE
∥
AB
,
∴∠
HEF
为异面直线
CD
和
AB
所成的角.
又
∵
CD
⊥
AB
,
∴
HE
⊥
EF
.
∴
平行四边形
EFGH
为矩形.
题型二 平面与平面平行的判定与性质
【
例
3
】
如图所示,在三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
中,
E
,
F
,
G
,
H
分别是
AB
,
AC
,
A
1
B
1
,
A
1
C
1
的中点,求证:
(1)
B
,
C
,
H
,
G
四点共面;
(2)
平面
EFA
1
∥
平面
BCHG
.
【
证明
】
(1)
∵
G
,
H
分别是
A
1
B
1
,
A
1
C
1
的中点,
∴
GH
是
△
A
1
B
1
C
1
的中位线,
∴
GH
∥
B
1
C
1
.
又
∵
B
1
C
1
∥
BC
,
∴
GH
∥
BC
,
∴
B
,
C
,
H
,
G
四点共面.
(2)
∵
E
,
F
分别是
AB
,
AC
的中点,
∴
EF
∥
BC
.
∵
EF
⊄
平面
BCHG
,
BC
⊂
平面
BCHG
,
∴
EF
∥
平面
BCHG
.
【
引申探究
】
1
.在本例条件下,若
D
为
BC
1
的中点,求证:
HD
∥
平面
A
1
B
1
BA
.
【
证明
】
如图所示,连接
HD
,
A
1
B
,
∵
D
为
BC
1
的中点,
H
为
A
1
C
1
的中点,
∴
HD
∥
A
1
B
,
又
HD
⊄
平面
A
1
B
1
BA
,
A
1
B
⊂
平面
A
1
B
1
BA
,
∴
HD
∥
平面
A
1
B
1
BA
.
2
.在本例条件下,若
D
1
,
D
分别为
B
1
C
1
,
BC
的中点,求证:平面
A
1
BD
1
∥
平面
AC
1
D
.
【
证明
】
如图所示,连接
A
1
C
交
AC
1
于点
M
,
∵
四边形
A
1
ACC
1
是平行四边形,
∴
M
是
A
1
C
的中点,连接
MD
,
∵
D
为
BC
的中点,
∴
A
1
B
∥
DM
.
∴
DC
1
∥
BD
1
.
又
DC
1
⊄
平面
A
1
BD
1
,
BD
1
⊂
平面
A
1
BD
1
,
∴
DC
1
∥
平面
A
1
BD
1
,
又
∵
DC
1
∩
DM
=
D
,
DC
1
,
DM
⊂
平面
AC
1
D
,
∴
平面
A
1
BD
1
∥
平面
AC
1
D
.
【
方法规律
】
证明面面平行的方法:
(1)
面面平行的定义;
(2)
面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;
(3)
利用垂直于同一条直线的两个平面平行;
(4)
两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;
(5)
利用
“
线线平行
”
、
“
线面平行
”
、
“
面面平行
”
的相互转化
.
跟踪训练
2
如图,在正方体
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
中,
S
是
B
1
D
1
的中点,
E
,
F
,
G
分别是
BC
、
DC
、
SC
的中点,求证:
(1)
直线
EG
∥
平面
BDD
1
B
1
;
(2)
平面
EFG
∥
平面
BDD
1
B
1
.
【
证明
】
(1)
如图,连接
SB
,
∵
E
,
G
分别是
BC
、
SC
的中点,
∴
EG
∥
SB
.
又
∵
SB
⊂
平面
BDD
1
B
1
,
EG
⊄
平面
BDD
1
B
1
,
∴
直线
EG
∥
平面
BDD
1
B
1
.
(2)
连接
SD
,
∵
F
、
G
分别是
DC
、
SC
的中点,
∴
FG
∥
SD
.
又
∵
SD
⊂
平面
BDD
1
B
1
,
FG
⊄
平面
BDD
1
B
1
,
∴
FG
∥
平面
BDD
1
B
1
,
又
EG
⊂
平面
EFG
,
FG
⊂
平面
EFG
,
EG
∩
FG
=
G
,
∴
平面
EFG
∥
平面
BDD
1
B
1
.
题型三 平行关系的综合应用
【
例
4
】
如图所示,在四面体
ABCD
中,截面
EFGH
平行于对棱
AB
和
CD
,试问截面在什么位置时其截面面积最大?
【
解析
】
∵
AB
∥
平面
EFGH
,
平面
EFGH
与平面
ABC
和平面
ABD
分别交于
FG
、
EH
.
∴
AB
∥
FG
,
AB
∥
EH
,
∴
FG
∥
EH
,同理可证
EF
∥
GH
,
∴
截面
EFGH
是平行四边形.
设
AB
=
a
,
CD
=
b
,
∠
FGH
=
α
(
α
即为异面直线
AB
和
CD
所成的角或其补角
)
.
【
方法规律
】
利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决.
【
解析
】
如图所示,在平面
PCD
内,过
E
作
EG
∥
CD
交
PD
于
G
,
连接
AG
,在
AB
上取点
F
,使
AF
=
EG
,
∵
EG
∥
CD
∥
AF
,
EG
=
AF
,
∴
四边形
FEGA
为平行四边形,
∴
FE
∥
AG
.
又
AG
⊂
平面
PAD
,
FE
⊄
平面
PAD
,
∴
EF
∥
平面
PAD
.
∴
F
即为所求的点.
(2)
当点
E
位于棱
SD
上靠近
D
的三等分点处时,可使
CE
∥
平面
SAB
.(8
分
)
【
答题模板
】
解决立体几何中的探索性问题的步骤
第一步:写出探求的最后结论.
第二步:证明探求结论的正确性.
第三步:给出明确答案.
第四步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.
【
温馨提醒
】
(1)
立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究,对条件和结论不完备的开放性问题的探究,解决这类问题一般根据探索性问题的设问,假设其存在并探索出结论,然后在这个假设下进行推理论证,若得到合乎情理的结论就肯定假设,若得到矛盾的结论就否定假设.
(2)
这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤:从结论出发
“
要使
……
成立
”
,
“
只需使
……
成立
”
.
(3)
推论;
(4)
a
⊥
α
,
a
⊥
β
⇒
α
∥
β
.
►
失误与防范
1
.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误.
2
.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从
“
低维
”
到
“
高维
”
的转化,即从
“
线线平行
”
到
“
线面平行
”
,再到
“
面面平行
”
;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于
“
模式化
”
.
3
.解题中注意符号语言的规范应用
.
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