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  • 2021-06-11 发布

高考数学专题复习课件:8-4直线、平面平行的判定与性质

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§8.4  直线、平面平行的判定与性质 [ 考纲要求] 1. 能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理 .2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题 . 1 . 直线与平面平行的判定定理和性质定理 2. 平面与平面平行的判定定理和性质定理 【 思考辨析 】  判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面. (    ) (2) 若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线. (    ) (3) 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (    ) (4) 如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. (    ) (5) 若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行,则 a ∥ α .(    ) (6) 空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AB , AD 的中点,则 EF ∥ 平面 BCD .(    ) (7) 若 α ∥ β ,直线 a ∥ α ,则 a ∥ β .(    ) 【 答案 】 (1) ×   (2) ×   (3) ×   (4) √   (5) ×   (6) √   (7) × 1 .一条直线 l 上有相异三个点 A 、 B 、 C 到平面 α 的距离相等,那么直线 l 与平面 α 的位置关系是 (    ) A . l ∥ α           B . l ⊥ α C . l 与 α 相交但不垂直 D . l ∥ α 或 l ⊂ α 【 解析 】 当距离不为零时, l ∥ α ,当距离为零时, l ⊂ α . 【 答案 】 D 2 .设 α , β , γ 为三个不同的平面, m , n 是两条不同的直线,在命题 “ α ∩ β = m , n ⊂ γ ,且 ________ ,则 m ∥ n ” 中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ① α ∥ γ , n ⊂ β ; ② m ∥ γ , n ∥ β ; ③ n ∥ β , m ⊂ γ . 可以填入的条件有 (    ) A . ① 或 ② B . ② 或 ③ C . ① 或 ③ D . ① 或 ② 或 ③ 【 解析 】 由面面平行的性质定理可知, ① 正确;当 n ∥ β , m ⊂ γ 时, n 和 m 在同一平面内,且没有公共点,所以平行, ③ 正确.故选 C. 【 答案 】 C 3 . ( 教材改编 ) 下列命题中正确的是 (    ) A .若 a , b 是两条直线,且 a ∥ b ,那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B .若直线 a 和平面 α 满足 a ∥ α ,那么 a 与 α 内的任何直线平行 C .平行于同一条直线的两个平面平行 D .若直线 a , b 和平面 α 满足 a ∥ b , a ∥ α , b ⊄ α ,则 b ∥ α 【 解析 】 A 中, a 可以在过 b 的平面内; B 中, a 与 α 内的直线可能异面; C 中,两平面可相交; D 中,由直线与平面平行的判定定理知, b ∥ α ,正确. 【 答案 】 D 4 . (2017· 乌鲁木齐二诊 ) 已知直线 l , m ,其中只有 m 在平面 α 内,则 “ l ∥ α ” 是 “ l ∥ m ” 的 (    ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 【 解析 】 若 l ∥ α ,则 l 与 α 内的直线平行或异面;若 l ∥ m , l 不在平面 α 内,则 l ∥ α ,所以 “ l ∥ α ” 是 “ l ∥ m ” 的必要不充分条件. 【 答案 】 B 5 .过三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB 1 A 1 平行的直线共有 ________ 条. 【 解析 】 各中点连线如图,只有面 EFGH 与面 ABB 1 A 1 平行,在四边形 EFGH 中有 6 条符合题意. 【 答案 】 6 题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点 1  直线与平面平行的判定 【 例 1 】 (2017· 南通模拟 ) 如图所示,斜三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中,点 D , D 1 分别为 AC , A 1 C 1 上的中点. (1) 证明: AD 1 ∥ 平面 BDC 1 . (2) 证明: BD ∥ 平面 AB 1 D 1 . (2) 连接 D 1 D , ∵ BB 1 ∥ 平面 ACC 1 A 1 , BB 1 ⊂ 平面 BB 1 D 1 D , 平面 ACC 1 A 1 ∩ 平面 BB 1 D 1 D = D 1 D , ∴ BB 1 ∥ D 1 D , 又 D 1 , D 分别为 A 1 C 1 与 AC 的中点, ∴ BB 1 = DD 1 , 故四边形 BDD 1 B 1 为平行四边形, ∴ BD ∥ B 1 D 1 , 又 BD ⊄ 平面 AB 1 D 1 , B 1 D 1 ⊂ 平面 AB 1 D 1 , ∴ BD ∥ 平面 AB 1 D 1 . (1) 证明: GH ∥ EF ; (2) 若 EB = 2 ,求四边形 GEFH 的面积. 【 解析 】 (1) 证明 因为 BC ∥ 平面 GEFH , BC ⊂ 平面 PBC , 且平面 PBC ∩ 平面 GEFH = GH , 所以 GH ∥ BC . 同理可证 EF ∥ BC ,因此 GH ∥ EF . (2) 如图,连接 AC , BD 交于点 O , BD 交 EF 于点 K ,连接 OP , GK . 因为 PA = PC , O 是 AC 的中点,所以 PO ⊥ AC , 同理可得 PO ⊥ BD . 又 BD ∩ AC = O ,且 AC , BD 都在底面内, 所以 PO ⊥ 底面 ABCD . 又因为平面 GEFH ⊥ 平面 ABCD , 且 PO ⊄ 平面 GEFH ,所以 PO ∥ 平面 GEFH . 因为平面 PBD ∩ 平面 GEFH = GK , 所以 PO ∥ GK ,且 GK ⊥ 底面 ABCD ,从而 GK ⊥ EF . 所以 GK 是梯形 GEFH 的高. 【 方法规律 】 判断或证明线面平行的常用方法: (1) 利用线面平行的定义 ( 无公共点 ) ; (2) 利用线面平行的判定定理 ( a ⊄ α , b ⊂ α , a ∥ b ⇒ a ∥ α ) ; (3) 利用面面平行的性质定理 ( α ∥ β , a ⊂ α ⇒ a ∥ β ) ; (4) 利用面面平行的性质 ( α ∥ β , a ⊄ β , a ∥ α ⇒ a ∥ β ) . 跟踪训练 1 (1) 如图所示,在四棱锥 P ABCD 中, ∠ ABC = ∠ ACD = 90 ° , ∠ BAC = ∠ CAD = 60 ° , E 为 PD 的中点, AB = 1 ,求证: CE ∥ 平面 PAB ; (2) 如图所示, CD , AB 均与平面 EFGH 平行, E , F , G , H 分别在 BD , BC , AC , AD 上,且 CD ⊥ AB . 求证:四边形 EFGH 是矩形. 【 证明 】 (1) 由已知条件有 AC = 2 AB = 2 , AD = 2 AC = 4 , CD = 2. 如图所示,延长 DC , AB ,设其交于点 N ,连接 PN , 因为 ∠ NAC = ∠ DAC = 60 ° , AC ⊥ CD , 所以 C 为 ND 的中点, 又因为 E 为 PD 的中点,所以 EC ∥ PN , 因为 EC ⊄ 平面 PAB , PN ⊂ 平面 PAB , 所以 CE ∥ 平面 PAB . (2) ∵ CD ∥ 平面 EFGH , 而平面 EFGH ∩ 平面 BCD = EF , ∴ CD ∥ EF . 同理 HG ∥ CD ,且 HE ∥ AB , ∴ EF ∥ HG . 同理 HE ∥ GF , ∴ 四边形 EFGH 为平行四边形. ∴ CD ∥ EF , HE ∥ AB , ∴∠ HEF 为异面直线 CD 和 AB 所成的角. 又 ∵ CD ⊥ AB , ∴ HE ⊥ EF . ∴ 平行四边形 EFGH 为矩形. 题型二 平面与平面平行的判定与性质 【 例 3 】 如图所示,在三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中, E , F , G , H 分别是 AB , AC , A 1 B 1 , A 1 C 1 的中点,求证: (1) B , C , H , G 四点共面; (2) 平面 EFA 1 ∥ 平面 BCHG . 【 证明 】 (1) ∵ G , H 分别是 A 1 B 1 , A 1 C 1 的中点, ∴ GH 是 △ A 1 B 1 C 1 的中位线, ∴ GH ∥ B 1 C 1 . 又 ∵ B 1 C 1 ∥ BC , ∴ GH ∥ BC , ∴ B , C , H , G 四点共面. (2) ∵ E , F 分别是 AB , AC 的中点, ∴ EF ∥ BC . ∵ EF ⊄ 平面 BCHG , BC ⊂ 平面 BCHG , ∴ EF ∥ 平面 BCHG . 【 引申探究 】 1 .在本例条件下,若 D 为 BC 1 的中点,求证: HD ∥ 平面 A 1 B 1 BA . 【 证明 】 如图所示,连接 HD , A 1 B , ∵ D 为 BC 1 的中点, H 为 A 1 C 1 的中点, ∴ HD ∥ A 1 B , 又 HD ⊄ 平面 A 1 B 1 BA , A 1 B ⊂ 平面 A 1 B 1 BA , ∴ HD ∥ 平面 A 1 B 1 BA . 2 .在本例条件下,若 D 1 , D 分别为 B 1 C 1 , BC 的中点,求证:平面 A 1 BD 1 ∥ 平面 AC 1 D . 【 证明 】 如图所示,连接 A 1 C 交 AC 1 于点 M , ∵ 四边形 A 1 ACC 1 是平行四边形, ∴ M 是 A 1 C 的中点,连接 MD , ∵ D 为 BC 的中点, ∴ A 1 B ∥ DM . ∴ DC 1 ∥ BD 1 . 又 DC 1 ⊄ 平面 A 1 BD 1 , BD 1 ⊂ 平面 A 1 BD 1 , ∴ DC 1 ∥ 平面 A 1 BD 1 , 又 ∵ DC 1 ∩ DM = D , DC 1 , DM ⊂ 平面 AC 1 D , ∴ 平面 A 1 BD 1 ∥ 平面 AC 1 D . 【 方法规律 】 证明面面平行的方法: (1) 面面平行的定义; (2) 面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行; (3) 利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4) 两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5) 利用 “ 线线平行 ” 、 “ 线面平行 ” 、 “ 面面平行 ” 的相互转化 . 跟踪训练 2 如图,在正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中, S 是 B 1 D 1 的中点, E , F , G 分别是 BC 、 DC 、 SC 的中点,求证: (1) 直线 EG ∥ 平面 BDD 1 B 1 ; (2) 平面 EFG ∥ 平面 BDD 1 B 1 . 【 证明 】 (1) 如图,连接 SB , ∵ E , G 分别是 BC 、 SC 的中点, ∴ EG ∥ SB . 又 ∵ SB ⊂ 平面 BDD 1 B 1 , EG ⊄ 平面 BDD 1 B 1 , ∴ 直线 EG ∥ 平面 BDD 1 B 1 . (2) 连接 SD , ∵ F 、 G 分别是 DC 、 SC 的中点, ∴ FG ∥ SD . 又 ∵ SD ⊂ 平面 BDD 1 B 1 , FG ⊄ 平面 BDD 1 B 1 , ∴ FG ∥ 平面 BDD 1 B 1 , 又 EG ⊂ 平面 EFG , FG ⊂ 平面 EFG , EG ∩ FG = G , ∴ 平面 EFG ∥ 平面 BDD 1 B 1 . 题型三 平行关系的综合应用 【 例 4 】 如图所示,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD ,试问截面在什么位置时其截面面积最大? 【 解析 】 ∵ AB ∥ 平面 EFGH , 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG 、 EH . ∴ AB ∥ FG , AB ∥ EH , ∴ FG ∥ EH ,同理可证 EF ∥ GH , ∴ 截面 EFGH 是平行四边形. 设 AB = a , CD = b , ∠ FGH = α ( α 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角 ) . 【 方法规律 】 利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决. 【 解析 】 如图所示,在平面 PCD 内,过 E 作 EG ∥ CD 交 PD 于 G , 连接 AG ,在 AB 上取点 F ,使 AF = EG , ∵ EG ∥ CD ∥ AF , EG = AF , ∴ 四边形 FEGA 为平行四边形, ∴ FE ∥ AG . 又 AG ⊂ 平面 PAD , FE ⊄ 平面 PAD , ∴ EF ∥ 平面 PAD . ∴ F 即为所求的点. (2) 当点 E 位于棱 SD 上靠近 D 的三等分点处时,可使 CE ∥ 平面 SAB .(8 分 ) 【 答题模板 】 解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步:写出探求的最后结论. 第二步:证明探求结论的正确性. 第三步:给出明确答案. 第四步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范. 【 温馨提醒 】 (1) 立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究,对条件和结论不完备的开放性问题的探究,解决这类问题一般根据探索性问题的设问,假设其存在并探索出结论,然后在这个假设下进行推理论证,若得到合乎情理的结论就肯定假设,若得到矛盾的结论就否定假设. (2) 这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤:从结论出发 “ 要使 …… 成立 ” , “ 只需使 …… 成立 ” . (3) 推论; (4) a ⊥ α , a ⊥ β ⇒ α ∥ β . ► 失误与防范 1 .在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误. 2 .在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从 “ 低维 ” 到 “ 高维 ” 的转化,即从 “ 线线平行 ” 到 “ 线面平行 ” ,再到 “ 面面平行 ” ;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于 “ 模式化 ” . 3 .解题中注意符号语言的规范应用 .