高考数学专题复习课件：6-1 数列的概念与简单表示法 55页

§ 6.1 　数列的概念与简单表示法 [ 考纲要求 ] 　 1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法 ( 列表、图象、通项公式 ).2. 了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 1 ． 数列的有关概念 (1) 数列的定义 按照 __________ 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ___ ． 一定顺序 项 (2) 数列的分类 (3) 数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 _______ 、 ________ 和 __________ ． 2 ． 数列的通项公式 (1) 数列的通项公式 如果数列 { a n } 的第 n 项与 _________ 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 列表法 图象法 解析法 序号 n 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 所有数列的第 n 项都能使用公式表达． ( 　　 ) (2) 根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( 　　 ) (3)1 ， 1 ， 1 ， 1 ， … ，不能构成一个数列． ( 　　 ) (4) 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列． ( 　　 ) (5) 如果数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则对 ∀ n ∈ N * ，都有 a n ＋ 1 ＝ S n ＋ 1 － S n .( 　　 ) (6) 在数列 { a n } 中，对于任意正整数 m ， n ， a m ＋ n ＝ a mn ＋ 1 ，若 a 1 ＝ 1 ，则 a 2 ＝ 2.( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) √ 　 (6) √ 【 解析 】 根据定义，属于无穷数列的是选项 A 、 B 、 C( 用省略号 ) ，属于递增数列的是选项 C 、 D ，故同时满足要求的是选项 C. 【 答案 】 C 2 ．数列－ 3 ， 7 ，－ 11 ， 15 ， … 的通项公式可能是 ( 　　 ) A ． a n ＝ 4 n － 7 　　　　　　 B ． a n ＝ ( － 1) n (4 n ＋ 1) C ． a n ＝ ( － 1) n (4 n － 1) D ． a n ＝ ( － 1) n ＋ 1 (4 n － 1) 【 答案 】 C 3 ．设数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2 ，则 a 8 的值为 ( 　　 ) A ． 15 B ． 16 C ． 49 D ． 64 【 解析 】 ∵ S n ＝ n 2 ， ∴ a 1 ＝ S 1 ＝ 1. 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ n 2 － ( n － 1) 2 ＝ 2 n － 1. 当 n ＝ 1 时符合上式， ∴ a n ＝ 2 n － 1 ， ∴ a 8 ＝ 2 × 8 － 1 ＝ 15. 【 答案 】 A 4 ． ( 教材改编 ) 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 a n ＝ ________ ． 【 答案 】 5 n － 4 5 ．已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2 ＋ 1 ，则 a n ＝ ________ ． 【 方法规律 】 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想． 题型二　由数列的前 n 项和求数列的通项公式 【 例 2 】 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，数列 { S n } 的前 n 项和为 T n ，满足 T n ＝ 2 S n － n 2 ， n ∈ N * . (1) 求 a 1 的值； (2) 求数列 { a n } 的通项公式． 【 解析 】 (1) 令 n ＝ 1 时， T 1 ＝ 2 S 1 － 1 ， ∵ T 1 ＝ S 1 ＝ a 1 ， ∴ a 1 ＝ 2 a 1 － 1 ， ∴ a 1 ＝ 1. (2) n ≥ 2 时， T n － 1 ＝ 2 S n － 1 － ( n － 1) 2 ， 则 S n ＝ T n － T n － 1 ＝ 2 S n － n 2 － [2 S n － 1 － ( n － 1) 2 ] ＝ 2( S n － S n － 1 ) － 2 n ＋ 1 ＝ 2 a n － 2 n ＋ 1. 因为当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 1 也满足上式， 所以 S n ＝ 2 a n － 2 n ＋ 1( n ≥ 1) ， 当 n ≥ 2 时， S n － 1 ＝ 2 a n － 1 － 2( n － 1) ＋ 1 ， 两式相减得 a n ＝ 2 a n － 2 a n － 1 － 2 ， 所以 a n ＝ 2 a n － 1 ＋ 2( n ≥ 2) ，所以 a n ＋ 2 ＝ 2( a n － 1 ＋ 2) ， 因为 a 1 ＋ 2 ＝ 3 ≠ 0 ， 所以数列 { a n ＋ 2} 是以 3 为首项，公比为 2 的等比数列． 所以 a n ＋ 2 ＝ 3 × 2 n － 1 ，所以 a n ＝ 3 × 2 n － 1 － 2 ， 当 n ＝ 1 时也成立， 所以 a n ＝ 3 × 2 n － 1 － 2. 跟踪训练 2 (1) (2016· 辽宁省实验中学分校月考 ) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n ＝ 2( a n － 1) ，则 a n ＝ ( 　　 ) A ． 2 n B ． 2 n － 1 C ． 2 n D ． 2 n － 1 (2) (2016· 陕西渭南蒲城尧山测试 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ＝ n 2 － 3 n ＋ 1 ，则数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ ________ ． 【 解析 】 (1) 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 2( a 1 － 1) ，可得 a 1 ＝ 2 ，当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 a n － 2 a n － 1 ， ∴ a n ＝ 2 a n － 1 ， ∴ 数列 { a n } 为等比数列，公比为 2 ，首项为 2 ，所以 a n ＝ 2 n ，故选 C. 题型三　由数列的递推关系求通项公式 【 例 3 】 (1) (2016· 大连双基测试 ) 数列 { a n } 满足： a 1 ＋ 3 a 2 ＋ 5 a 3 ＋ … ＋ (2 n － 1)· a n ＝ ( n － 1)·3 n ＋ 1 ＋ 3( n ∈ N * ) ，则数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ ________ ． (2) 数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2 ，则它的一个通项公式为 a n ＝ ________ ． 【 解析 】 (1) a 1 ＋ 3 a 2 ＋ 5 a 3 ＋ … ＋ (2 n － 3)· a n － 1 ＋ (2 n － 1)· a n ＝ ( n － 1)·3 n ＋ 1 ＋ 3 ，把 n 换成 n － 1 得， a 1 ＋ 3 a 2 ＋ 5 a 3 ＋ … ＋ (2 n － 3)· a n － 1 ＝ ( n － 2)·3 n ＋ 3 ，两式相减得 a n ＝ 3 n . (2) 方法一　 ( 累乘法 ) a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2 ，即 a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3( a n ＋ 1) ， 又 a 1 ＝ 1 也满足上式， 故数列 { a n } 的一个通项公式为 a n ＝ 2 × 3 n － 1 － 1. 方法二　 ( 迭代法 ) a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2 ， 即 a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3( a n ＋ 1) ＝ 3 2 ( a n － 1 ＋ 1) ＝ 3 3 ( a n － 2 ＋ 1) ＝ … ＝ 3 n ( a 1 ＋ 1) ＝ 2 × 3 n ( n ≥ 1) ， 所以 a n ＝ 2 × 3 n － 1 － 1( n ≥ 2) ， 又 a 1 ＝ 1 也满足上式， 故数列 { a n } 的一个通项公式为 a n ＝ 2 × 3 n － 1 － 1. 【 答案 】 (1)3 n 　 (2)2 × 3 n － 1 － 1 (2) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n ＝ 2 a n － 1( n ∈ N * ) ，则 a 5 等于 ( 　　 ) A ．－ 16 B ． 16 C ． 31 D ． 32 (2) 当 n ＝ 1 时， S 1 ＝ 2 a 1 － 1 ， ∴ a 1 ＝ 1. 当 n ≥ 2 时， S n － 1 ＝ 2 a n － 1 － 1 ， ∴ a n ＝ 2 a n － 2 a n － 1 ， ∴ a n ＝ 2 a n － 1 . ∴ { a n } 是等比数列且 a 1 ＝ 1 ， q ＝ 2 ， 故 a 5 ＝ a 1 × q 4 ＝ 2 4 ＝ 16. 【 答案 】 (1)B 　 (2)B 【 答案 】 B 命题点 2 　数列的周期性 【 例 5 】 (2016· 石家庄二模 ) 在数列 { a n } 中，已知 a 1 ＝ 2 ， a 2 ＝ 7 ， a n ＋ 2 等于 a n a n ＋ 1 ( n ∈ N * ) 的个位数，则 a 2 017 ＝ ( 　　 ) A ． 8 B ． 6 C ． 4 D ． 2 【 解析 】 由题意得： a 3 ＝ 4 ， a 4 ＝ 8 ， a 5 ＝ 2 ， a 6 ＝ 6 ， a 7 ＝ 2 ， a 8 ＝ 2 ， a 9 ＝ 4 ， a 10 ＝ 8 ；所以数列中的项从第 3 项开始呈周期性出现，周期为 6 ，故 a 2 017 ＝ a 336 × 6 ＋ 1 ＝ a 3 ＝ 2. 【 答案 】 D (2) 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解． (2) ∵ { a n } 是递增数列，对于任意的正整数 n 均有 a n ＝ n 2 ＋ λ n 恒成立， ∴ a n ＋ 1 ＞ a n ， ∴ ( n ＋ 1) 2 ＋ λ ( n ＋ 1) ＞ n 2 ＋ λ n ，化为 λ ＞－ (2 n ＋ 1) ， ∴ λ ＞－ 3 ， ∴ 实数 λ 的取值范围是 ( － 3 ，＋ ∞ ) ．故选 B. 高频小考点 5 数列中的新定义问题 【 典例 】 (1) (2016· 洛阳模拟 ) 将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列 5 ， 9 ， 14 ， 20 ， … 为 “ 梯形数 ” ． 根据图形的构成，此数列的第 2 016 项与 5 的差，即 a 2 016 － 5 等于 ( 　　 ) A ． 2 018 × 2 014 B ． 2 020 × 2 015 C ． 1 010 × 2 014 D ． 1 011 × 2 015 【 思维点拨 】 (1) 观察图形，易得 a n － a n － 1 ＝ n ＋ 2( n ≥ 2) 可利用累加法求解． (2) 由 “ 减差数列 ” 的定义，可得关于 b n 的不等式，把 b n 的通项公式代入，化归为不等式恒成立问题求解． 【 答案 】 (1)D 　 (2)C 【 温馨提醒 】 解决数列的新定义问题要做到： (1) 准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆． (2) 方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项 ( 特殊处、简单处 ) 体会题意，从而找到恰当的解决方法 . ► 方法与技巧 1 ．求数列通项或指定项．通常用观察法 ( 对于交错数列一般用 ( － 1) n 或 ( － 1) n ＋ 1 来区分奇偶项的符号 ) ；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法． ► 失误与防范 1 ．数列 a n ＝ f ( n ) 和函数 y ＝ f ( x ) 定义域不同，其单调性也有区别： y ＝ f ( x ) 是增函数是 a n ＝ f ( n ) 是递增数列的充分不必要条件． 2 ．数列的通项公式可能不存在，也可能有多个． 3 ．由 a n ＝ S n － S n － 1 求得的 a n 是从 n ＝ 2 开始的，要对 n ＝ 1 时的情况进行验证 .