高考数学专题复习课件：2-6 对数与对数函数 55页

§ 2.6 　对数与对数函数 [ 考纲要求 ] 　 1. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用 .2. 理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点 .3. 知道对数函数是一类重要的函数模型 .4. 了解指数函数 y ＝ a x 与对数函数 y ＝ log a x 互为反函数 ( a ＞ 0 ，且 a ≠ 1) ． 1 ． 对数的概念 如果 a x ＝ N ( a ＞ 0 且 a ≠ 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 _________ ，其中 叫做对数的底数， ___ 叫做真数． x ＝ log a N N a 3 ． 对数函数的图象与性质 4. 反函数 指数函数 y ＝ a x 与对数函数 __________ 互为反函数，它们的图象关于直线 _______ 对称． 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 若 MN ＞ 0 ，则 log a ( MN ) ＝ log a M ＋ log a N .( 　　 ) (2)log a x · log a y ＝ log a ( x ＋ y ) ． ( 　　 ) y ＝ log a x y ＝ x 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) √ 　 (6) √ 1 ． (2015· 湖南 ) 设函数 f ( x ) ＝ ln(1 ＋ x ) － ln(1 － x ) ，则 f ( x ) 是 ( 　　 ) A ．奇函数，且在 (0 ， 1) 上是增函数 B ．奇函数，且在 (0 ， 1) 上是减函数 C ．偶函数，且在 (0 ， 1) 上是增函数 D ．偶函数，且在 (0 ， 1) 上是减函数 【 答案 】 A 【 答案 】 A 【 答案 】 A 4 ． (2016· 课标全国 Ⅰ ) 若 a ＞ b ＞ 1 ， 0 ＜ c ＜ 1 ，则 ( 　　 ) A ． a c ＜ b c B ． ab c ＜ ba c C ． a log b c ＜ b log a c D ． log a c ＜ log b c 【 解析 】 方法一 由 a ＞ b ＞ 1 ， 0 ＜ c ＜ 1 ，知 a c ＞ b c ， A 错； ∵ 0 ＜ c ＜ 1 ， ∴ － 1 ＜ c － 1 ＜ 0 ， ∴ y ＝ x c － 1 在 x ∈ (0 ，＋ ∞ ) 上是减函数， ∴ b c － 1 ＞ a c － 1 ，又 ab ＞ 0 ， ∴ ab · b c － 1 ＞ ab · a c － 1 ，即 ab c ＞ ba c ， B 错； 易知 y ＝ log c x 是减函数， ∴ 0 ＞ log c b ＞ log c a ， ∴ log b c ＜ log a c ， D 错； 【 答案 】 C 5 ． (2015· 浙江 ) 若 a ＝ log 4 3 ，则 2 a ＋ 2 － a ＝ ________ ． 【 答案 】 (1)A 　 (2)1 【 方法规律 】 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算． 【 答案 】 (1)1 　 (2)12 题型二　对数函数的图象及应用 【 例 2 】 (1) (2017· 河南焦作一模 ) 若函数 y ＝ a | x | ( a ＞ 0 ，且 a ≠ 1) 的值域为 { y |0 ＜ y ≤ 1} ，则函数 y ＝ log a | x | 的图象大致是 ( 　　 ) 【 解析 】 (1) 若函数 y ＝ a | x | ( a ＞ 0 ，且 a ≠ 1) 的值域为 { y |0 ＜ y ≤ 1} ，则 0 ＜ a ＜ 1 ，由此可知 y ＝ log a | x | 的图象大致是 A. 【 答案 】 (1)A 　 (2)B 【 方法规律 】 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1) 对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性 ( 单调区间 ) 、值域 ( 最值 ) 、零点时，常利用数形结合思想． (2) 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 跟踪训练 2 (1) 已知 lg a ＋ lg b ＝ 0 ，则函数 f ( x ) ＝ a x 与函数 g ( x ) ＝－ log b x 的图象可能是 ( 　　 ) (2) (2017· 石家庄模拟 ) 设方程 10 x ＝ |lg( － x )| 的两个根分别为 x 1 ， x 2 ，则 ( 　　 ) A ． x 1 x 2 ＜ 0 B ． x 1 x 2 ＝ 1 C ． x 1 x 2 ＞ 1 D ． 0 ＜ x 1 x 2 ＜ 1 【 解析 】 (1) ∵ lg a ＋ lg b ＝ 0 ， ∴ ab ＝ 1 ， ∵ g ( x ) ＝－ log b x 的定义域是 (0 ，＋ ∞ ) ，故排除 A. 若 a ＞ 1 ，则 0 ＜ b ＜ 1 ， 此时 f ( x ) ＝ a x 是增函数， g ( x ) ＝－ log b x 是增函数．故选 B. (2) 构造函数 y ＝ 10 x 与 y ＝ |lg( － x )| ， 并作出它们的图象，如图所示． 因为 x 1 ， x 2 是 10 x ＝ |lg( － x )| 的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为 x 1 ， x 2 ，不妨设 x 2 ＜－ 1 ，－ 1 ＜ x 1 ＜ 0 ，则 10 x 1 ＝－ lg( － x 1 ) ， 10 x 2 ＝ lg( － x 2 ) ，因此 10 x 2 － 10 x 1 ＝ lg( x 1 x 2 ) ，因为 10 x 2 － 10 x 1 ＜ 0 ，所以 lg( x 1 x 2 ) ＜ 0 ，即 0 ＜ x 1 x 2 ＜ 1 ，故选 D. 【 答案 】 (1)B 　 (2)D 【 答案 】 B 【 答案 】 B 命题点 3 　和对数函数有关的复合函数 【 例 5 】 (2017· 江苏淮阴中学期末 ) 已知函数 f ( x ) ＝ log a ( a 2 x ＋ t ) ，其中 a ＞ 0 且 a ≠ 1. (1) 当 a ＝ 2 时，若 f ( x ) ＜ x 无解，求 t 的取值范围； (2) 若存在实数 m ， n ( m ＜ n ) ，使得 x ∈ [ m ， n ] 时，函数 f ( x ) 的值域也都为 [ m ， n ] ，求 t 的取值范围． 【 方法规律 】 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件． 跟踪训练 3 (1) 设 a ＝ log 3 2 ， b ＝ log 5 2 ， c ＝ log 2 3 ，则 ( 　　 ) A ． a ＞ c ＞ b B ． b ＞ c ＞ a C ． c ＞ b ＞ a D ． c ＞ a ＞ b (2) 若 f ( x ) ＝ lg( x 2 － 2 ax ＋ 1 ＋ a ) 在区间 ( － ∞ ， 1] 上递减，则 a 的取值范围为 ( 　　 ) A ． [1 ， 2) B ． [1 ， 2] C ． [1 ，＋ ∞ ) D ． [2 ，＋ ∞ ) 【 答案 】 (1)D 　 (2)A 　 (3)C 【 答案 】 (1)B 　 (2)A 　 (3)C 【 温馨提醒 】 (1) 比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法． (2) 解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选 0 或 1. ► 方法与技巧 1 ．对数值取正、负值的规律 当 a ＞ 1 且 b ＞ 1 或 0 ＜ a ＜ 1 且 0 ＜ b ＜ 1 时， log a b ＞ 0 ； 当 a ＞ 1 且 0 ＜ b ＜ 1 或 0 ＜ a ＜ 1 且 b ＞ 1 时， log a b ＜ 0. 2 ．对数函数的定义域及单调性 在对数式中，真数必须是大于 0 的，所以对数函数 y ＝ log a x 的定义域应为 (0 ，＋ ∞ ) ．对数函数的单调性和 a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按 0 ＜ a ＜ 1 和 a ＞ 1 进行分类讨论． 3 ．比较幂、对数大小有两种常用方法： (1) 数形结合； (2) 找中间量结合函数单调性． 4 ．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线 y ＝ 1 交点的横坐标进行判定． ► 失误与防范 1 ．在运算性质 log a M α ＝ α log a M 中，要特别注意条件，在无 M ＞ 0 的条件下应为 log a M α ＝ α log a | M |( α ∈ N * ，且 α 为偶数 ) ． 2 ．解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1) 务必先研究函数的定义域； (2) 注意对数底数的取值范围 .