高考数学专题复习课件：14-2-1　不等式选讲课 28页

§14.2 　不等式选讲 课时 1 　绝对值不等式 [ 考纲要求 ] 　 1. 理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)| a ＋ b | ≤ | a | ＋ | b | ； (2)| a － b | ≤ | a － c | ＋ | c － b |.2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： | ax ＋ b | ≤ c ； | ax ＋ b | ≥ c ； | x － a | ＋ | x － b | ≥ c . 1 ． 绝对值不等式的解法 (1) 含绝对值的不等式 | x | ＜ a 与 | x | ＞ a 的解集 (2)| ax ＋ b | ≤ c ( c ＞ 0) 和 | ax ＋ b | ≥ c ( c ＞ 0) 型不等式的解法： ① | ax ＋ b | ≤ c ⇔_____________________ ． ② | ax ＋ b | ≥ c ⇔_____________________________ ． (3)| x － a | ＋ | x － b | ≥ c ( c ＞ 0) 和 | x － a | ＋ | x － b | ≤ c ( c ＞ 0) 型不等式的解法： ① 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ② 利用 “ 零点分段法 ” 求解，体现了分类讨论的思想； ③ 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． － c ≤ ax ＋ b ≤ c ax ＋ b ≥ c 或 ax ＋ b ≤ － c 2 ． 含有绝对值的不等式的性质 (1) 如果 a ， b 是实数，则 _______ ≤ | a ± b | ≤________ ，当且仅当 _________ 时，等号成立． (2) 如果 a ， b ， c 是实数，那么 _____________________ ，当且仅当 ______________ 时，等号成立． | a | － | b | | a | ＋ | b | ab ≥ 0 | a － c | ≤ | a － b | ＋ | b － c | ( a － b )( b － c ) ≥ 0 1 ． (2015· 山东改编 ) 解不等式 | x － 1| － | x － 5| ＜ 2 的解集． 【 解析 】 ① 当 x ≤ 1 时，原不等式可化为 1 － x － (5 － x ) ＜ 2 ， ∴ － 4 ＜ 2 ，不等式恒成立， ∴ x ≤ 1. ② 当 1 ＜ x ＜ 5 时，原不等式可化为 x － 1 － (5 － x ) ＜ 2 ， ∴ x ＜ 4 ， ∴ 1 ＜ x ＜ 4 ， ③ 当 x ≥ 5 时，原不等式可化为 x － 1 － ( x － 5) ＜ 2 ，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为 ( － ∞ ， 4) ． 2 ．若存在实数 x 使 | x － a | ＋ | x － 1| ≤ 3 成立，求实数 a 的取值范围． 【 解析 】 ∵ | x － a | ＋ | x － 1| ≥ |( x － a ) － ( x － 1)| ＝ | a － 1| ， 要使 | x － a | ＋ | x － 1| ≤ 3 有解， 可使 | a － 1| ≤ 3 ， ∴ － 3 ≤ a － 1 ≤ 3 ， ∴ － 2 ≤ a ≤ 4. 题型一　绝对值不等式的解法 【 例 1 】 (2015· 课标全国 Ⅰ ) 已知函数 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| － 2| x － a | ， a ＞ 0. (1) 当 a ＝ 1 时，求不等式 f ( x ) ＞ 1 的解集； (2) 若 f ( x ) 的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6 ，求 a 的取值范围． 【 方法规律 】 解绝对值不等式的基本方法有： (1) 利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (2) 当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (3) 利用绝对值的几何意义，数形结合求解． 跟踪训练 1 (2016· 课标全国 Ⅰ ) 已知函数 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| － |2 x － 3|. (1) 画出 y ＝ f ( x ) 的图象； (2) 求不等式 | f ( x )| ＞ 1 的解集． 【 方法规律 】 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： (1) 利用绝对值的几何意义； (2) 利用绝对值三角不等式，即 | a | ＋ | b | ≥ | a ± b | ≥ | a | － | b | ； (3) 利用零点分区间法． 题型三　绝对值不等式的综合应用 【 例 3 】 (2017· 石家庄模拟 ) 设函数 f ( x ) ＝ | x － 3| － | x ＋ 1| ， x ∈ R. (1) 解不等式 f ( x ) ＜－ 1 ； (2) 设函数 g ( x ) ＝ | x ＋ a | － 4 ，且 g ( x ) ≤ f ( x ) 在 x ∈ [ － 2 ， 2] 上恒成立，求实数 a 的取值范围． (2) 函数 g ( x ) ≤ f ( x ) 在 x ∈ [ － 2 ， 2] 上恒成立， 即 | x ＋ a | － 4 ≤ | x － 3| － | x ＋ 1| 在 x ∈ [ － 2 ， 2] 上恒成立，在同一个坐标系中画出函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的图象，如图所示． 故当 x ∈ [ － 2 ， 2] 时，若 0 ≤ － a ≤ 4 时，则函数 g ( x ) 在函数 f ( x ) 的图象的下方， g ( x ) ≤ f ( x ) 在 x ∈ [ － 2 ， 2] 上恒成立， 求得－ 4 ≤ a ≤ 0 ，故所求的实数 a 的取值范围为 [ － 4 ， 0] ． 【 方法规律 】 (1) 解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决． (2) 数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法． 跟踪训练 3 (2016· 课标全国 Ⅲ ) 已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － a | ＋ a . (1) 当 a ＝ 2 时，求不等式 f ( x ) ≤ 6 的解集； (2) 设函数 g ( x ) ＝ |2 x － 1| ，当 x ∈ R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ≥ 3 ，求 a 的取值范围． 【 解析 】 (1) 当 a ＝ 2 时， f ( x ) ＝ |2 x － 2| ＋ 2. 解不等式 |2 x － 2| ＋ 2 ≤ 6 得－ 1 ≤ x ≤ 3. 因此 f ( x ) ≤ 6 的解集为 { x | － 1 ≤ x ≤ 3} ． 1 ．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法． 2 ．可以利用绝对值三角不等式定理 | a | － | b | ≤ | a ± b | ≤ | a | ＋ | b | 求函数最值，要注意其中等号成立的条件． 3 ．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决 .