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2009年四川省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 设集合S={x||x|<5}，T={x|x2+4x-21<0}，则S∩T=( )
A.{x|-70) B.y=log2(x-1)(x>1)
C.y=-1+log2x(x>0) D.y=log2(x+1)(x>-1)
3. 等差数列{an}的公差不为零，首项a1=1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是（ ）
A.90 B.100 C.145 D.190
4. 已知函数f(x)=sin(x-π2)(x∈R)，下面结论错误的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间[0, π2]上是增函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
5. 设矩形的长为a，宽为b，其比满足b:a=5-12≈0.618，这种矩形给人以美感称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639
乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（ ）
A.甲批次的总体平均数与标准值更接近
B.乙批次的总体平均数与标准值更接近
C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
6. 如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是( )
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC // 平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45◦
7. 已知a，b，c，d为实数，且c>d．则“a>b”是“a-c>b-d”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8. 已知双曲线x22-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点P(3，y0)在双曲线上、则PF1→⋅PF2→=( )
A.-12 B.-2 C.0 D.4
9. 如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90∘，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是322，则B、C两点的球面距离是（ ）
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A.π3 B.π C.43π D.2π
10. 某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
A.12万元 B.20万元 C.25万元 D.27万元
11. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A.60 B.48 C.42 D.36
12. 已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x)，则f(52)的值是（ ）
A.0 B.12 C.1 D.52
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. 抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________．
14. (2x-12x)6的展开式的常数项是________（用数字作答）
15. 如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
16. 设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V→V，a∈V，记a的象为f(a)．若映射f:V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ，μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，则f(a+b)=f(a)+f(b)；
②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f(a)=a+e，则f是平面M上的线性变换；
③对a∈V，设f(a)=-a，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f(ka)=kf(a)．
其中的真命题是________（写出所有真命题的编号）
三、解答题（共6小题，满分76分）
17. 在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=35，sinB=1010．
（1）求A+B的值；
（2）若a-b=2-1，求a、b、c的值．
18. 为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．
(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；
(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．
19. 如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45∘
(I)求证：EF⊥平面BCE；
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(II)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM // 平面BCE；
(III)求二面角F-BD-A的大小．
20. 已知函数f(x)=x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设函数g(x)=f(x)+13mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值．
21. 已知椭圆x2a2+y2b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=22，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|F2M→+F2N→|=2263，求直线l的方程．
22. 设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=4+an1-an(n∈N*)．
(I)求数列{an}与数列{bn}的通项公式；
(II)设数列{bn}的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn≥4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；
(III)记cn=b2n-b2n-1(n∈N*)，设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn<32．
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参考答案与试题解析
2009年四川省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.C
【分析】
解：由S={x|-50，
∴ 函数y=2x+1(x∈R)的反函数是y=-1+log2x(x>0)．
故选C．
3.B
【分析】
解：．由题意知，(a1+d)2=a1(a1+4d)，
即a12+2a1d+d2=a12+4a1d，
∴ d=2a1=2．
∴ S10=10a1+10×92d=10+90=100．
故选B
4.D
【分析】
解：∵ y=sin(x-π2)=-cosx，∴ T=2π，A正确；
y=cosx在[0, π2]上是减函数，y=-cosx在[0, π2]上是增函数，B正确；
由图象知y=-cosx关于直线x=0对称，C正确．
y=-cosx是偶函数，D错误．
故选D.
5.A
【分析】
解：甲批次的平均数为0.617，
乙批次的平均数为0.613．
故甲批次的总体平均数与标准值更接近
故选A．
6.D
【分析】
解：∵ AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立;
平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC不成立；
BC // AD // 平面PAD，∴ 直线BC // 平面PAE不成立;
在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，所以∠PDA=45◦，所以直线PD与平面ABC所成的角为45◦.
故选D．
7.B
【分析】
解：∵ a-c>b-d，c>d两个同向不等式相加得a>b，
但c>d，a>b⇏a-c>b-d，
例如a=2，b=1，c=-1，d=-3时，
a-cb”是“a-c>b-d”的必要而不充分条件.
故选B.
8.C
【分析】
解：由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线，
∴ 双曲线方程是x2-y2=2，
于是两焦点坐标分别是F1(-2, 0)和F2(2, 0)，
且P(3，1)或P(3，-1)、
不妨令P(3，1)，
则PF1→=(-2-3,-1)，PF2→=(2-3,-1)
∴ PF1→⋅PF2→=(-2-3，-1)(2-3,-1)=-(2+3)(2-3)+1=0
故选C
9.B
【分析】
解：∵ AC是小圆的直径．
所以过球心O作小圆的垂线，垂足O'是AC的中点．
O'C=32-(322)2=322，AC=32，
∴ BC=3，即BC=OB=OC．∴ ∠BOC=π3，
11 / 11
则B、C两点的球面距离=π3×3=π．
故选B．
10.D
【分析】
解：如图：
设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且x≥0，y≥0，3x+y≤13，2x+3y≤18，
联立3x+y=13，2x+3y=18，解得x=3，y=4，
由图可知，最优解为P(3, 4)，
∴ z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．
故选D．
11.B
【分析】
解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），
剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；
则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）
此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左）
最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，
∴ 共有12×4=48种不同排法．
故选B．
12.A
【分析】
解：若x≠0，则有f(x+1)=1+xxf(x)，取x=-12，
则有：f(12)=f(-12+1)=1-12-12f(-12)=-f(-12)=-f(12)
∵ f(x)是偶函数，则f(-12)=f(12)
由此得f(12)=0
于是，f(52)=f(32+1)=1+3232f(32)=53f(32)=53f(12+1)=53[1+1212]f(12)=5f(12)=0
故选A．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.2
【分析】
根据题意可知焦点F(1, 0)，准线方程x＝-1，
∴ 焦点到准线的距离是1+1＝2
14.-20
【分析】
Tr+1=(-1)rC6r(2x)6-r(12x)r=(-1)rC6r26-2rx6-2r，
令6-2r＝0，得r＝3
故展开式的常数项为(-1)3C63＝-20
15.90∘
【分析】
解：设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．
平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，
在△A2BM中，A2B=2a，BM=a2+(a2)2=52a，
A2M=a2+(32a)2=132a，
∴ A2B2+BM2=A2M2，
∴ ∠MBA2=90∘．
11 / 11
故答案为90∘．
16.①③④
【分析】
解：①：令λ=μ=1，则f(a→+b→)=f(a→)+f(b→)故①是真命题，
同理，④：令λ=k，μ=0，则f(ka→)=kf(a→)故④是真命题，
③：∵ f(a→)=-a→，则有f(b→)=-b→，
f(λa→+μb→)=-(λa→+μb→)=λ⋅(-a→)+μ⋅(-b→)=λfa→)+μf(b→)是线性变换，
故③是真命题，
②：由f(a→)=a→+e→，则有f(b→)=b→+e→，
f(λa→+μb→)=(λa→+μb→)+e→=λ⋅(a→+e→)+μ⋅(b→+e→)-e→=λf(a→)+μf(b→)-e→
∵ e→是单位向量，e→≠0→，故②是假命题
故答案为①③④．
三、解答题（共6小题，满分76分）
17.解：（1）∵ A、B为锐角，sinB=1010，
∴ cosB=1-sin2B=31010．
又cos2A=1-2sin2A=35，
∴ sinA=55，cosA=1-sin2A=255．
∴ cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=255×31010-55×1010=22．
∵ 00，故函数g(x)无极值．
②当m<1时，g'(x)=0有两个实根，
x1=13(2-1-m)，x2=13(2+1-m)，
当x变化时，g'(x)、g(x)的变化情况如下表：
x
(-∞, x1)
x1
(x1, x2)
x2
(x2, +∞)
11 / 11
g'(x)
+
0
-
0
+
g(x)
极大值
极小值
故在m∈(-∞, 1)时，函数g(x)有极值；
当x=13(2-1-m)时g(x)有极大值；
当x=13(2+1-m)时g(x)有极小值．
【分析】
解：（1）由已知，切点为(2, 0)，故有f(2)=0，
即4b+c+3=0．①
f'(x)=3x2+4bx+c，由已知，f'
（2）=12+8b+c=5．
得8b+c+7=0．②
联立①、②，解得c=1，b=-1，
于是函数解析式为f(x)=x3-2x2+x-2．
（2）g(x)=x3-2x2+x-2+13mx，
g'(x)=3x2-4x+1+m3，令g'(x)=0．
当函数有极值时，△≥0，方程3x2-4x+1+m3=0有实根，
由△=4(1-m)≥0，得m≤1．
①当m=1时，g'(x)=0有实根x=23，在x=23左右两侧均有g'(x)>0，故函数g(x)无极值．
②当m<1时，g'(x)=0有两个实根，
x1=13(2-1-m)，x2=13(2+1-m)，
当x变化时，g'(x)、g(x)的变化情况如下表：
x
(-∞, x1)
x1
(x1, x2)
x2
(x2, +∞)
g'(x)
+
0
-
0
+
g(x)
极大值
极小值
故在m∈(-∞, 1)时，函数g(x)有极值；
当x=13(2-1-m)时g(x)有极大值；
当x=13(2+1-m)时g(x)有极小值．
21.解：（1）由已知得ca=22a2c=2，
解得a=2，c=1
∴ b=a2-c2=1∴ 所求椭圆的方程为x22+y2=1
(2)由（1）得F1(-1, 0)、F2(1, 0)
①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，
由x=-1x22+y2=1得y=±22
设M(-1,22)、N(-1,-22)，
∴ |F2M→+F2N→|=|(-2,22)+(-2,-22)|=|(-4,0)|=4，这与已知相矛盾．
②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+1)，
设M(x1, y1)、N(x2, y2)，
联立y=k(x+1)x22+y2=1，消元得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0
∴ x1+x2=-4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2，
∴ y1+y2=k(x1+x2+2)=2k1+2k2．
又∵ F2M→=(x1-1,y1)，F2N→=(x2-1,y2)
∴ F2M→+F2N→=(x1+x2-2,y1+y2)
11 / 11
∴ |F2M→+F2N→|=(x1+x2-2)2+(y1+y2)2=(8k2+21+2k2)2+(2k1+2k2)2=2263
化简得40k4-23k2-17=0
解得k2=1或k2=-1740（舍去）
∴ k=±1
∴ 所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1
【分析】
解：（1）由已知得ca=22a2c=2，
解得a=2，c=1
∴ b=a2-c2=1∴ 所求椭圆的方程为x22+y2=1
(2)由（1）得F1(-1, 0)、F2(1, 0)
①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，
由x=-1x22+y2=1得y=±22
设M(-1,22)、N(-1,-22)，
∴ |F2M→+F2N→|=|(-2,22)+(-2,-22)|=|(-4,0)|=4，这与已知相矛盾．
②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+1)，
设M(x1, y1)、N(x2, y2)，
联立y=k(x+1)x22+y2=1，消元得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0
∴ x1+x2=-4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2，
∴ y1+y2=k(x1+x2+2)=2k1+2k2．
又∵ F2M→=(x1-1,y1)，F2N→=(x2-1,y2)
∴ F2M→+F2N→=(x1+x2-2,y1+y2)
∴ |F2M→+F2N→|=(x1+x2-2)2+(y1+y2)2=(8k2+21+2k2)2+(2k1+2k2)2=2263
化简得40k4-23k2-17=0
解得k2=1或k2=-1740（舍去）
∴ k=±1
∴ 所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1
22.解：( I)当n=1时，a1=5S1+1，∴ a1=-14
又∵ an=5Sn+1，an+1=5Sn+1+1∴ an+1-an=5an+1，即an+1an=-14
∴ 数列{an}是首项为a1=-14，公比为q=-14的等比数列，
∴ an=(-14)n，bn=4+(-14)n1-(-14)n(n∈N*)
( II)不存在正整数k，使得Rn≥4k成立．
证明：由(I)知bn=4+(-14)n1-(-14)n=4+5(-4)n-1
∵ b2k-1+b2k=8+5(-4)2k-1-1+5(-4)2k-1=8+516k-1-2016k+4=8-15×16k-40(16k-1)(16k+4)<8．
∴ 当n为偶数时，设n=2m(m∈N*)
∴ Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+...+(b2m-1+b2m)<8m=4n
当n为奇数时，设n=2m-1(m∈N*)
∴ Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+...+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1<8(m-1)+4=8m-4=4n
∴ 对于一切的正整数n，都有Rn<4k
∴ 不存在正整数k，使得Rn≥4k成立．
(III)由bn=4+5(-4)n-1得cn=b2n-b2n-1=542n-1+542n-1+1=25×16n(16n-1)(16n+4)=25×16n(16n)2+3×16n-4<25×16n(16n)2=2516n
11 / 11
又b1=3，b2=133，∴ c2=43，当n=1时，T1<32，
当n≥2时，
Tn<43+25×(1162+1163+…+116n)=43+25×1162[1-(116)n-2]1-116
<43+25×11621-116=6948<32．
【分析】
解：( I)当n=1时，a1=5S1+1，∴ a1=-14
又∵ an=5Sn+1，an+1=5Sn+1+1∴ an+1-an=5an+1，即an+1an=-14
∴ 数列{an}是首项为a1=-14，公比为q=-14的等比数列，
∴ an=(-14)n，bn=4+(-14)n1-(-14)n(n∈N*)
( II)不存在正整数k，使得Rn≥4k成立．
证明：由(I)知bn=4+(-14)n1-(-14)n=4+5(-4)n-1
∵ b2k-1+b2k=8+5(-4)2k-1-1+5(-4)2k-1=8+516k-1-2016k+4=8-15×16k-40(16k-1)(16k+4)<8．
∴ 当n为偶数时，设n=2m(m∈N*)
∴ Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+...+(b2m-1+b2m)<8m=4n
当n为奇数时，设n=2m-1(m∈N*)
∴ Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+...+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1<8(m-1)+4=8m-4=4n
∴ 对于一切的正整数n，都有Rn<4k
∴ 不存在正整数k，使得Rn≥4k成立．
(III)由bn=4+5(-4)n-1得cn=b2n-b2n-1=542n-1+542n-1+1=25×16n(16n-1)(16n+4)=25×16n(16n)2+3×16n-4<25×16n(16n)2=2516n
又b1=3，b2=133，∴ c2=43，当n=1时，T1<32，
当n≥2时，
Tn<43+25×(1162+1163+…+116n)=43+25×1162[1-(116)n-2]1-116
<43+25×11621-116=6948<32．
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