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  • 2021-06-12 发布

2007年湖南省高考数学试卷(文科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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‎2007年湖南省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1. 不等式x‎2‎‎>x的解集是‎(‎        ‎‎)‎ A.‎(-∞, 0)‎ B.‎(0, 1)‎ C.‎(1, +∞)‎ D.‎‎(-∞, 0)∪(1, +∞)‎ ‎2. 若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )‎ A.EF‎→‎‎=OF‎→‎+‎OE‎→‎ B.‎EF‎→‎‎=OF‎→‎-‎OE‎→‎ C.EF‎→‎‎=-OF‎→‎+‎OE‎→‎ D.‎EF‎→‎‎=-OF‎→‎-‎OE‎→‎ ‎3. 设p:b‎2‎-4ac>0(a≠0)‎,q:关于x的方程ax‎2‎+bx+c=0(a≠0)‎有实根,则p是q的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4. 在等比数列‎{an}(n∈N‎*‎)‎中,若a‎1‎‎=1,a‎4‎=‎‎1‎‎8‎,则该数列的前‎10‎项和为( )‎ A.‎2-‎‎1‎‎2‎‎8‎ B.‎2-‎‎1‎‎2‎‎9‎ C.‎2-‎‎1‎‎2‎‎10‎ D.‎‎2-‎‎1‎‎2‎‎11‎ ‎5. 在‎(1+x‎)‎n(n∈N‎*‎)‎的二项展开式中,若只有x‎5‎的系数最大,则n=(‎ ‎‎)‎ A.‎8‎ B.‎9‎ C.‎10‎ D.‎‎11‎ ‎6. 如图,在正四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,E、F分别是AB‎1‎、BC‎1‎的中点,则以下结论中不成立的是( )‎ A.EF与BB‎1‎垂直 B.EF与BD垂直 C.EF与CD异面 D.EF与A‎1‎C‎1‎异面 ‎7. 根据某水文观测点的历史统计数据,得到某条河流水位的频率分布直方图(如图),从图中可以看出,该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是( )‎ A.‎48‎米 B.‎49‎米 C.‎50‎米 D.‎51‎米 ‎8. 函数f(x)=‎‎4x-4,x≤1,‎x‎2‎‎-4x+3,x>1‎ 的图象和函数g(x)=log‎2‎x的图象的交点个数是‎(‎        ‎‎)‎ A.‎4‎ B.‎3‎ C.‎2‎ D.‎‎1‎ ‎9. 设F‎1‎、F‎2‎分别是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左、右焦点,P是其右准线上纵坐标为‎3‎c(c为半焦距)的点,且‎|F‎1‎F‎2‎|=|F‎2‎P|‎,则椭圆的离心率是( )‎ A.‎3‎‎-1‎‎2‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎5‎‎-1‎‎2‎ D.‎‎2‎‎2‎ ‎10. 设集合M={1, 2, 3, 4, 5, 6}‎,S‎1‎,S‎2‎,…,Sk都是M的含有两个元素的子集,且满足对任意的Si‎={ai, bi}‎,Sj‎={aj, bj}(i≠j, i,j∈{1, 2, ..., k})‎,都有min{aibi,biai}≠min{ajbj,bjaj}‎,其中min{x, y}‎表示两个数x,y中的较小者,则k的最大值是(        )‎ A.‎10‎ B.‎11‎ C.‎12‎ D.‎‎13‎ 二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)‎ ‎11. 圆心为‎(1, 1)‎且与直线x+y=4‎相切的圆的方程是________.‎ ‎12. 在‎△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=1,c=‎3‎,C=‎π‎3‎,则A=________.‎ ‎13. 若a>0,a‎2‎‎3‎=‎4‎‎9‎,则log‎2‎‎3‎a=‎________.‎ ‎ 6 / 6‎ ‎14. 设集合A={(x, y)|y≥|x-2|, x≥0}‎,B={(x, y)|y≤-x+b}‎,A∩B≠⌀‎,b的取值范围是________.‎ ‎15. 棱长为‎1‎的正方形ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎的‎8‎个顶点都在球O的表面上,则球O的表面积是________;设E、F分别是该正方形的棱AA‎1‎、DD‎1‎的中点,则直线EF被球O截得的线段长为________.‎ 三、解答题(共6小题,满分75分)‎ ‎16. 已知函数f(x)=1-2sin‎2‎(x+π‎8‎)+2sin(x+π‎8‎)cos(x+π‎8‎)‎.求:‎ ‎(1)函数f(x)‎的最小正周期;‎ ‎(2)函数f(x)‎的单调增区间.‎ ‎17. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有‎60%‎,参加过计算机培训的有‎75%‎.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.‎ ‎(I)‎任选‎1‎名下岗人员,求该人参加过培训的概率;‎ ‎(II)‎任选‎3‎名下岗人员,求这‎3‎人中至少有‎2‎人参加过培训的概率.‎ ‎18. 如图,已知直二面角α-PQ-β,A∈PQ,B∈α,C∈β,‎∠BAP=‎‎45‎‎∘‎,CA=CB,直线CA和平面α所成的角为‎30‎‎∘‎.‎ ‎(1)证明BC⊥PQ;‎ ‎(2)求二面角B-AC-P的大小.‎ ‎ 6 / 6‎ ‎19. 已知双曲线x‎2‎‎-y‎2‎=2‎的右焦点为F,过点F的动直线与双曲线相交于A、B两点,点C的坐标是‎(1, 0)‎.‎ ‎(1)求证:CA‎→‎‎⋅‎CB‎→‎为常数;‎ ‎(2)若动点M满足CM‎→‎‎=CA‎→‎+CB‎→‎+‎CO‎→‎(O为坐标原点),求点M的轨迹方程.‎ ‎20. 设Sn是数列‎{an}(n∈N‎*‎)‎的前n项和,a‎1‎‎=a,且Sn‎2‎‎=3n‎2‎an+‎Sn-1‎‎2‎,an‎≠0‎,n=2‎,‎3‎,‎4‎,….‎ ‎(1)证明数列‎{an+2‎-an}(n≥2)‎是常数数列;‎ ‎(2)试找出一个奇数a,使以‎18‎为首项,‎7‎为公比的等比数列‎{bn}(n∈N‎*‎)‎中的所有项都是数列‎{an}‎中的项,并指出bn是数列‎{an}‎中的第几项.‎ ‎21. 已知函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎+‎1‎‎2‎ax‎2‎+bx在区间‎[-1, 1), (1, 3]‎内各有一个极值点.‎ ‎(1)求a‎2‎‎-4b的最大值;‎ ‎(2)当a‎2‎‎-4b=8‎时,设函数y=f(x)‎在点A(‎1, f(1)‎)处的切线为l,若在点A处穿过y=f(x)‎的图象(即动点在点A附近沿曲线y=f(x)‎运动,经过点A时,从l的一侧进入另一侧),求函数f(x)‎的表达式.‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年湖南省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.D ‎2.B ‎3.A ‎4.B ‎5.C ‎6.D ‎7.C ‎8.B ‎9.D ‎10.B 二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)‎ ‎11.‎‎(x-1‎)‎‎2‎+(y-1‎)‎‎2‎=2‎ ‎12.‎π‎6‎ ‎13.‎‎3‎ ‎14.‎‎[2, +∞)‎ ‎15.‎3π,‎‎2‎ 三、解答题(共6小题,满分75分)‎ ‎16.解:f(x)=cos(2x+π‎4‎)+sin(2x+π‎4‎)=‎2‎sin(2x+π‎4‎+π‎4‎)=‎2‎sin(2x+π‎2‎)=‎2‎cos2x.(1)函数f(x)‎的最小正周期是T=‎2π‎2‎=π;‎ ‎(2)当‎2kπ-π≤2x≤2kπ,即kπ-π‎2‎≤x≤kπ(k∈Z)‎时,‎ 函数f(x)=‎2‎cos2x是增函数,‎ 故函数f(x)‎的单调递增区间是‎[kπ-π‎2‎,kπ](k∈Z)‎.‎ ‎17.解:任选‎1‎名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件A,“该人参加过计算机培训”为事件B,由题设知,事件A与B相互独立,且P(A)=0.6‎,P(B)=0.75‎.‎ ‎(I)‎任选‎1‎名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是P‎1‎‎=P(A‎¯‎⋅B‎¯‎)=P(A‎¯‎)⋅P(B‎¯‎)=0.4×0.25=0.1‎ 所以该人参加过培训的概率是‎1-P‎1‎=1-0.1=0.9‎.‎ ‎(II)‎任选‎3‎名下岗人员,‎3‎人中只有‎2‎人参加过培训的概率是P‎4‎‎=C‎3‎‎2‎×‎0.9‎‎2‎×0.1=0.243‎.‎ ‎3‎人都参加过培训的概率是P‎5‎‎=‎0.9‎‎3‎=0.729‎.‎ 所以‎3‎人中至少有‎2‎人参加过培训的概率是P‎4‎‎+P‎5‎=0.243+0.729=0.972‎.‎ ‎18.解:(1)在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O,连接OB.‎ 因为α⊥β,α∩β=PQ,所以CO⊥α,‎ 又因为CA=CB,所以OA=OB.‎ 而‎∠BAO=‎‎45‎‎∘‎,所以‎∠ABO=‎‎45‎‎∘‎,‎∠AOB=‎‎90‎‎∘‎.从而BO⊥PQ.又CO⊥PQ,‎ 所以PQ⊥‎平面OBC.因为BC⊂‎平面OBC,故PQ⊥BC.‎ ‎(2)由(1)知,BO⊥PQ,又α⊥β,α∩β=PQ,BO⊂α,所以BO⊥β.‎ 过点O作OH⊥AC于点H,连接BH,由三垂线定理知,BH⊥AC.‎ 故‎∠BHO是二面角B-AC-P的平面角.‎ 由(1)知,CO⊥α,所以‎∠CAO是CA和平面α所成的角,则‎∠CAO=‎‎30‎‎∘‎,‎ 不妨设AC=2‎,则AO=‎‎3‎,OH=AOsin‎30‎‎∘‎=‎‎3‎‎2‎.‎ 在Rt△OAB中,‎∠ABO=∠BAO=‎‎45‎‎∘‎,所以BO=AO=‎‎3‎,‎ ‎ 6 / 6‎ 于是在Rt△BOH中,tan∠BHO=BOOH=‎3‎‎3‎‎2‎=2‎.‎ 故二面角B-AC-P的大小为arctan2‎.‎ ‎19.(1)证明:由条件知F(2, 0)‎,设A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎.‎ 当AB与x轴垂直时,不妨取点A,B的坐标分别为‎(2,‎2‎)‎,‎(2,-‎2‎)‎,‎ 此时CA‎→‎‎⋅CB‎→‎=(1,‎2‎)⋅(1,-‎2‎)=-1‎.‎ 当AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-2)(k≠±1)‎.‎ 代入x‎2‎‎-y‎2‎=2‎,有‎(1-k‎2‎)x‎2‎+4k‎2‎x-(4k‎2‎+2)=0‎.‎ 则x‎1‎,x‎2‎是上述方程的两个实根,所以x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎4‎k‎2‎k‎2‎‎-1‎,x‎1‎x‎2‎‎=‎‎4k‎2‎+2‎k‎2‎‎-1‎,‎ 于是CA‎→‎‎⋅CB‎→‎=(x‎1‎-1)(x‎2‎-1)+‎y‎1‎y‎2‎ ‎=(x‎1‎-1)(x‎2‎-1)+k‎2‎(x‎1‎-2)(x‎2‎-2)‎ ‎=(k‎2‎+1)x‎1‎x‎2‎-(2k‎2‎+1)(x‎1‎+x‎2‎)+4k‎2‎+1‎ ‎=‎(k‎2‎+1)(4k‎2‎+2)‎k‎2‎‎-1‎-‎4k‎2‎(2k‎2‎+1)‎k‎2‎‎-1‎+4k‎2‎+1‎ ‎=-1.‎ ‎ 综上所述,CA‎→‎‎⋅‎CB‎→‎为常数‎-1‎.‎ ‎(2)设M(x, y)‎,则CM‎→‎‎=(x-1,y)‎,‎ 又CA‎→‎‎=(x‎1‎-1,y‎1‎)‎,CB‎→‎‎=(x‎2‎-1,y‎2‎)‎,CO‎→‎‎=(-1,0)‎,‎ 由CM‎→‎‎=CA‎→‎+CB‎→‎+‎CO‎→‎,得x-1=x‎1‎+x‎2‎-3‎y=y‎1‎+‎y‎2‎,即x‎1‎‎+x‎2‎=x+2‎y‎1‎‎+y‎2‎=y,①‎ 当AB不与x轴垂直时,由‎(1)‎,知x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎4‎k‎2‎k‎2‎‎-1‎,②‎ y‎1‎‎+y‎2‎=k(x‎1‎+x‎2‎-4)=k(‎4‎k‎2‎k-1‎-4)=‎‎4kk‎2‎‎-1‎‎.③‎ 由①②③得x+2=‎‎4‎k‎2‎k‎2‎‎-1‎,y=‎‎4kk‎2‎‎-1‎.‎ 当k≠0‎时,y≠0‎,则x+2‎y‎=k,‎ 则y=‎4⋅‎x+2‎y‎(x+2‎‎)‎‎2‎y‎2‎‎-1‎=‎‎4y(x+2)‎‎(x+2‎)‎‎2‎-‎y‎2‎,整理得x‎2‎‎-y‎2‎=4‎.‎ 当k=0‎时,点M的坐标为‎(-2, 0)‎,满足上述方程.‎ 当AB与x轴垂直时,求得M(2, 0)‎,也满足上述方程.‎ 故点M的轨迹方程是x‎2‎‎-y‎2‎=4‎.‎ ‎20.解:(1)当n≥2‎时,由已知得Sn‎2‎‎-Sn-1‎‎2‎=3‎n‎2‎an.‎ 因为an‎=Sn-Sn-1‎≠0‎,所以Sn‎+Sn-1‎=3‎n‎2‎.①‎ 于是Sn+1‎‎+Sn=3(n+1‎‎)‎‎2‎.②‎ 由②-①得:an+1‎‎+an=6n+3‎.③‎ 于是an+2‎‎+an+1‎=6n+9‎.④‎ 由④-③得:an+2‎‎-an=6‎.⑤‎ 即数列‎{an+2‎-an}(n≥2)‎是常数数列.‎ ‎(2)由①有S‎2‎‎+S‎1‎=12‎,所以a‎2‎‎=12-2a.‎ 由③有a‎3‎‎+a‎2‎=15‎,所以a‎3‎‎=3+2a,‎ 而⑤表明:数列‎{a‎2k}‎和‎{a‎2k+1‎}‎分别是以a‎2‎,a‎3‎为首项,‎6‎为公差的等差数列.‎ 所以a‎2k‎=a‎2‎+(k-1)×6=6k-2a+6‎,a‎2k+1‎‎=a‎3‎+(k-1)×6=6k+2a-3‎,k∈N*‎.‎ 由题设知,bn‎=18×‎‎7‎n-1‎.当a为奇数时,a‎2k+1‎为奇数,而bn为偶数,‎ 所以bn不是数列‎{a‎2k+1‎}‎中的项,bn只可能是数列‎{a‎2k}‎中的项.‎ 若b‎1‎‎=18‎是数列‎{a‎2k}‎中的第k‎0‎项,‎ 由‎18=6k‎0‎-2a+6‎得a=3k‎0‎-6‎,取k‎0‎‎=3‎,得a=3‎.‎ 此时a‎2k‎=6k,由bn‎=‎a‎2k得‎18×‎7‎n-1‎=6k,k=3×‎7‎n-1‎∈N*‎,‎ 从而bn是数列‎{an}‎中的第‎6×‎‎7‎n-1‎项.‎ ‎21.解:(1)因为函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎+‎1‎‎2‎ax‎2‎+bx在区间‎[-1, 1), (1, 3]‎内分别有一个极值点,所以f‎'‎‎(x)=x‎2‎+ax+b=0‎在‎[-1, 1), (1, 3]‎内分别有一个实根,‎ ‎ 6 / 6‎ 设两实根为x‎1‎,x‎2‎‎(x‎1‎0‎;‎ 或当m‎1‎‎0‎,当‎10‎,当‎10‎;‎ 或当m‎1‎‎