2007年湖南省高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 6页

‎2007年湖南省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. 不等式x‎2‎‎>x的解集是‎(‎        ‎‎)‎ A.‎(-∞, 0)‎ B.‎(0, 1)‎ C.‎(1, +∞)‎ D.‎‎(-∞, 0)∪(1, +∞)‎ ‎2. 若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）‎ A.EF‎→‎‎=OF‎→‎+‎OE‎→‎ B.‎EF‎→‎‎=OF‎→‎-‎OE‎→‎ C.EF‎→‎‎=-OF‎→‎+‎OE‎→‎ D.‎EF‎→‎‎=-OF‎→‎-‎OE‎→‎ ‎3. 设p:b‎2‎-4ac>0(a≠0)‎，q：关于x的方程ax‎2‎+bx+c=0(a≠0)‎有实根，则p是q的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4. 在等比数列‎{an}(n∈N‎*‎)‎中，若a‎1‎‎=1，a‎4‎=‎‎1‎‎8‎，则该数列的前‎10‎项和为（ ）‎ A.‎2-‎‎1‎‎2‎‎8‎ B.‎2-‎‎1‎‎2‎‎9‎ C.‎2-‎‎1‎‎2‎‎10‎ D.‎‎2-‎‎1‎‎2‎‎11‎ ‎5. 在‎(1+x‎)‎n(n∈N‎*‎)‎的二项展开式中，若只有x‎5‎的系数最大，则n=(‎ ‎‎)‎ A.‎8‎ B.‎9‎ C.‎10‎ D.‎‎11‎ ‎6. 如图，在正四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，E、F分别是AB‎1‎、BC‎1‎的中点，则以下结论中不成立的是（ ）‎ A.EF与BB‎1‎垂直 B.EF与BD垂直 C.EF与CD异面 D.EF与A‎1‎C‎1‎异面 ‎7. 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图），从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ）‎ A.‎48‎米 B.‎49‎米 C.‎50‎米 D.‎51‎米 ‎8. 函数f(x)=‎‎4x-4,x≤1，‎x‎2‎‎-4x+3，x>1‎ 的图象和函数g(x)=log‎2‎x的图象的交点个数是‎(‎        ‎‎)‎ A.‎4‎ B.‎3‎ C.‎2‎ D.‎‎1‎ ‎9. 设F‎1‎、F‎2‎分别是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为‎3‎c（c为半焦距）的点，且‎|F‎1‎F‎2‎|=|F‎2‎P|‎，则椭圆的离心率是（ ）‎ A.‎3‎‎-1‎‎2‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎5‎‎-1‎‎2‎ D.‎‎2‎‎2‎ ‎10. 设集合M={1, 2, 3, 4, 5, 6}‎，S‎1‎,S‎2‎,…,Sk都是M的含有两个元素的子集，且满足对任意的Si‎={ai, bi}‎，Sj‎={aj, bj}(i≠j, i,j∈{1, 2, ..., k})‎，都有min{aibi，biai}≠min{ajbj，bjaj}‎，其中min{x, y}‎表示两个数x，y中的较小者，则k的最大值是(        )‎ A.‎10‎ B.‎11‎ C.‎12‎ D.‎‎13‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11. 圆心为‎(1, 1)‎且与直线x+y=4‎相切的圆的方程是________．‎ ‎12. 在‎△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=1,c=‎3‎,C=‎π‎3‎，则A＝________．‎ ‎13. 若a>0,a‎2‎‎3‎=‎4‎‎9‎，则log‎2‎‎3‎a=‎________．‎ ‎ 6 / 6‎ ‎14. 设集合A={(x, y)|y≥|x-2|, x≥0}‎，B={(x, y)|y≤-x+b}‎，A∩B≠⌀‎，b的取值范围是________．‎ ‎15. 棱长为‎1‎的正方形ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎的‎8‎个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是________；设E、F分别是该正方形的棱AA‎1‎、DD‎1‎的中点，则直线EF被球O截得的线段长为________．‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16. 已知函数f(x)=1-2sin‎2‎(x+π‎8‎)+2sin(x+π‎8‎)cos(x+π‎8‎)‎．求：‎ ‎（1）函数f(x)‎的最小正周期；‎ ‎（2）函数f(x)‎的单调增区间．‎ ‎17. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有‎60%‎，参加过计算机培训的有‎75%‎．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．‎ ‎(I)‎任选‎1‎名下岗人员，求该人参加过培训的概率；‎ ‎(II)‎任选‎3‎名下岗人员，求这‎3‎人中至少有‎2‎人参加过培训的概率．‎ ‎18. 如图，已知直二面角α-PQ-β，A∈PQ，B∈α，C∈β，‎∠BAP=‎‎45‎‎∘‎，CA=CB，直线CA和平面α所成的角为‎30‎‎∘‎．‎ ‎（1）证明BC⊥PQ；‎ ‎（2）求二面角B-AC-P的大小．‎ ‎ 6 / 6‎ ‎19. 已知双曲线x‎2‎‎-y‎2‎=2‎的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A、B两点，点C的坐标是‎(1, 0)‎．‎ ‎（1）求证：CA‎→‎‎⋅‎CB‎→‎为常数；‎ ‎（2）若动点M满足CM‎→‎‎=CA‎→‎+CB‎→‎+‎CO‎→‎（O为坐标原点），求点M的轨迹方程．‎ ‎20. 设Sn是数列‎{an}(n∈N‎*‎)‎的前n项和，a‎1‎‎=a，且Sn‎2‎‎=3n‎2‎an+‎Sn-1‎‎2‎，an‎≠0‎，n=2‎，‎3‎，‎4‎，…．‎ ‎（1）证明数列‎{an+2‎-an}(n≥2)‎是常数数列；‎ ‎（2）试找出一个奇数a，使以‎18‎为首项，‎7‎为公比的等比数列‎{bn}(n∈N‎*‎)‎中的所有项都是数列‎{an}‎中的项，并指出bn是数列‎{an}‎中的第几项．‎ ‎21. 已知函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎+‎1‎‎2‎ax‎2‎+bx在区间‎[-1, 1), (1, 3]‎内各有一个极值点．‎ ‎（1）求a‎2‎‎-4b的最大值；‎ ‎（2）当a‎2‎‎-4b=8‎时，设函数y=f(x)‎在点A（‎1, f(1)‎）处的切线为l，若在点A处穿过y=f(x)‎的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f(x)‎运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f(x)‎的表达式．‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年湖南省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.D ‎2.B ‎3.A ‎4.B ‎5.C ‎6.D ‎7.C ‎8.B ‎9.D ‎10.B 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11.‎‎(x-1‎)‎‎2‎+(y-1‎)‎‎2‎=2‎ ‎12.‎π‎6‎ ‎13.‎‎3‎ ‎14.‎‎[2, +∞)‎ ‎15.‎3π,‎‎2‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16.解：f(x)=cos(2x+π‎4‎)+sin(2x+π‎4‎)=‎2‎sin(2x+π‎4‎+π‎4‎)=‎2‎sin(2x+π‎2‎)=‎2‎cos2x．（1）函数f(x)‎的最小正周期是T=‎2π‎2‎=π；‎ ‎（2）当‎2kπ-π≤2x≤2kπ，即kπ-π‎2‎≤x≤kπ(k∈Z)‎时，‎ 函数f(x)=‎2‎cos2x是增函数，‎ 故函数f(x)‎的单调递增区间是‎[kπ-π‎2‎，kπ](k∈Z)‎．‎ ‎17.解：任选‎1‎名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)=0.6‎，P(B)=0.75‎．‎ ‎(I)‎任选‎1‎名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是P‎1‎‎=P(A‎¯‎⋅B‎¯‎)=P(A‎¯‎)⋅P(B‎¯‎)=0.4×0.25=0.1‎ 所以该人参加过培训的概率是‎1-P‎1‎=1-0.1=0.9‎．‎ ‎(II)‎任选‎3‎名下岗人员，‎3‎人中只有‎2‎人参加过培训的概率是P‎4‎‎=C‎3‎‎2‎×‎0.9‎‎2‎×0.1=0.243‎．‎ ‎3‎人都参加过培训的概率是P‎5‎‎=‎0.9‎‎3‎=0.729‎．‎ 所以‎3‎人中至少有‎2‎人参加过培训的概率是P‎4‎‎+P‎5‎=0.243+0.729=0.972‎．‎ ‎18.解：（1）在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连接OB．‎ 因为α⊥β，α∩β=PQ，所以CO⊥α，‎ 又因为CA=CB，所以OA=OB．‎ 而‎∠BAO=‎‎45‎‎∘‎，所以‎∠ABO=‎‎45‎‎∘‎，‎∠AOB=‎‎90‎‎∘‎．从而BO⊥PQ．又CO⊥PQ，‎ 所以PQ⊥‎平面OBC．因为BC⊂‎平面OBC，故PQ⊥BC．‎ ‎（2）由（1）知，BO⊥PQ，又α⊥β，α∩β=PQ，BO⊂α，所以BO⊥β．‎ 过点O作OH⊥AC于点H，连接BH，由三垂线定理知，BH⊥AC．‎ 故‎∠BHO是二面角B-AC-P的平面角．‎ 由（1）知，CO⊥α，所以‎∠CAO是CA和平面α所成的角，则‎∠CAO=‎‎30‎‎∘‎，‎ 不妨设AC=2‎，则AO=‎‎3‎，OH=AOsin‎30‎‎∘‎=‎‎3‎‎2‎．‎ 在Rt△OAB中，‎∠ABO=∠BAO=‎‎45‎‎∘‎，所以BO=AO=‎‎3‎，‎ ‎ 6 / 6‎ 于是在Rt△BOH中，tan∠BHO=BOOH=‎3‎‎3‎‎2‎=2‎．‎ 故二面角B-AC-P的大小为arctan2‎．‎ ‎19.（1）证明：由条件知F(2, 0)‎，设A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎．‎ 当AB与x轴垂直时，不妨取点A，B的坐标分别为‎(2,‎2‎)‎，‎(2,-‎2‎)‎，‎ 此时CA‎→‎‎⋅CB‎→‎=(1,‎2‎)⋅(1,-‎2‎)=-1‎．‎ 当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为y=k(x-2)(k≠±1)‎．‎ 代入x‎2‎‎-y‎2‎=2‎，有‎(1-k‎2‎)x‎2‎+4k‎2‎x-(4k‎2‎+2)=0‎．‎ 则x‎1‎，x‎2‎是上述方程的两个实根，所以x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎4‎k‎2‎k‎2‎‎-1‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎4k‎2‎+2‎k‎2‎‎-1‎，‎ 于是CA‎→‎‎⋅CB‎→‎=(x‎1‎-1)(x‎2‎-1)+‎y‎1‎y‎2‎ ‎=(x‎1‎-1)(x‎2‎-1)+k‎2‎(x‎1‎-2)(x‎2‎-2)‎ ‎=(k‎2‎+1)x‎1‎x‎2‎-(2k‎2‎+1)(x‎1‎+x‎2‎)+4k‎2‎+1‎ ‎=‎(k‎2‎+1)(4k‎2‎+2)‎k‎2‎‎-1‎-‎4k‎2‎(2k‎2‎+1)‎k‎2‎‎-1‎+4k‎2‎+1‎ ‎=-1．‎ ‎ 综上所述，CA‎→‎‎⋅‎CB‎→‎为常数‎-1‎．‎ ‎（2）设M(x, y)‎，则CM‎→‎‎=(x-1,y)‎，‎ 又CA‎→‎‎=(x‎1‎-1,y‎1‎)‎，CB‎→‎‎=(x‎2‎-1,y‎2‎)‎，CO‎→‎‎=(-1,0)‎，‎ 由CM‎→‎‎=CA‎→‎+CB‎→‎+‎CO‎→‎，得x-1=x‎1‎+x‎2‎-3‎y=y‎1‎+‎y‎2‎，即x‎1‎‎+x‎2‎=x+2‎y‎1‎‎+y‎2‎=y，①‎ 当AB不与x轴垂直时，由‎（1）‎，知x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎4‎k‎2‎k‎2‎‎-1‎，②‎ y‎1‎‎+y‎2‎=k(x‎1‎+x‎2‎-4)=k(‎4‎k‎2‎k-1‎-4)=‎‎4kk‎2‎‎-1‎‎．③‎ 由①②③得x+2=‎‎4‎k‎2‎k‎2‎‎-1‎，y=‎‎4kk‎2‎‎-1‎．‎ 当k≠0‎时，y≠0‎，则x+2‎y‎=k，‎ 则y=‎4⋅‎x+2‎y‎(x+2‎‎)‎‎2‎y‎2‎‎-1‎=‎‎4y(x+2)‎‎(x+2‎)‎‎2‎-‎y‎2‎，整理得x‎2‎‎-y‎2‎=4‎．‎ 当k=0‎时，点M的坐标为‎(-2, 0)‎，满足上述方程．‎ 当AB与x轴垂直时，求得M(2, 0)‎，也满足上述方程．‎ 故点M的轨迹方程是x‎2‎‎-y‎2‎=4‎．‎ ‎20.解：（1）当n≥2‎时，由已知得Sn‎2‎‎-Sn-1‎‎2‎=3‎n‎2‎an．‎ 因为an‎=Sn-Sn-1‎≠0‎，所以Sn‎+Sn-1‎=3‎n‎2‎．①‎ 于是Sn+1‎‎+Sn=3(n+1‎‎)‎‎2‎．②‎ 由②-①得：an+1‎‎+an=6n+3‎．③‎ 于是an+2‎‎+an+1‎=6n+9‎．④‎ 由④-③得：an+2‎‎-an=6‎．⑤‎ 即数列‎{an+2‎-an}(n≥2)‎是常数数列．‎ ‎（2）由①有S‎2‎‎+S‎1‎=12‎，所以a‎2‎‎=12-2a．‎ 由③有a‎3‎‎+a‎2‎=15‎，所以a‎3‎‎=3+2a，‎ 而⑤表明：数列‎{a‎2k}‎和‎{a‎2k+1‎}‎分别是以a‎2‎，a‎3‎为首项，‎6‎为公差的等差数列．‎ 所以a‎2k‎=a‎2‎+(k-1)×6=6k-2a+6‎，a‎2k+1‎‎=a‎3‎+(k-1)×6=6k+2a-3‎，k∈N*‎．‎ 由题设知，bn‎=18×‎‎7‎n-1‎．当a为奇数时，a‎2k+1‎为奇数，而bn为偶数，‎ 所以bn不是数列‎{a‎2k+1‎}‎中的项，bn只可能是数列‎{a‎2k}‎中的项．‎ 若b‎1‎‎=18‎是数列‎{a‎2k}‎中的第k‎0‎项，‎ 由‎18=6k‎0‎-2a+6‎得a=3k‎0‎-6‎，取k‎0‎‎=3‎，得a=3‎．‎ 此时a‎2k‎=6k，由bn‎=‎a‎2k得‎18×‎7‎n-1‎=6k，k=3×‎7‎n-1‎∈N*‎，‎ 从而bn是数列‎{an}‎中的第‎6×‎‎7‎n-1‎项．‎ ‎21.解：（1）因为函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎+‎1‎‎2‎ax‎2‎+bx在区间‎[-1, 1), (1, 3]‎内分别有一个极值点，所以f‎'‎‎(x)=x‎2‎+ax+b=0‎在‎[-1, 1), (1, 3]‎内分别有一个实根，‎ ‎ 6 / 6‎ 设两实根为x‎1‎，x‎2‎‎(x‎1‎0‎；‎ 或当m‎1‎‎0‎，当‎10‎，当‎10‎；‎ 或当m‎1‎‎