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  • 2021-06-12 发布

2014高考数学百题精练分项解析3

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‎2014高考数学百题精练之分项解析3‎ 一、选择题(每小题6分,共42分)‎ ‎1.设0<x<1,则a=,b=1+x,c=中最大的一个是()‎ A.aB.bC.cD.不能确定 答案:C 解析:因0<x<1,故1-x2>0,即1+x<,b<c,又1+x-=()2+>0,故a<b,即最大的是C.‎ ‎2.已知a<0,b<-1,则下列不等式成立的是()‎ A.a>>B.>>a C.>>aD.>a>‎ 答案:C 解析:∵a<0,b<-1,则>0,b>-1.则b2>1.‎ ‎∴<1.又∵a<0,∴0>>a.‎ ‎∴>>a.故选C.‎ ‎3.设a>b>0,则下列关系式成立的是()‎ A.aabb>B.aabb<‎ C.aabb=D.aabb与的大小不确定 答案:A 解析:aabb÷=,因a>b>0,故ab>1,a-b>0,>1.‎ ‎4.设a,b∈R+,且ab-a-b≥1,则有()‎ A.a+b≥2(+1)B.a+b≤+1‎ C.a+b<+1D.a+b>2(+1)‎ 答案:A 解析:由ab≥1+a+b()2≥1+a+b,将a+b看作一整体即可.‎ ‎5.若0<x<,设a=2-xsinx,b=cos2x,则下式正确的是()‎ A.a≥bB.a=bC.a<bD.a>b 答案:D 解析:a-b=2-xsinx-cos2x ‎=sin2x-xsinx+1=(sinx-)2+1-,因为0<x<,所以0<<<1.所以a-b>0.‎ ‎6.设a,b,c为△ABC的3条边,且S=a2+b2+c2,P=ab+bc+ca,则()‎ A.S≥2PB.P<S<2PC.S>PD.P≤S<2P 答案:D 解析:2(S-P)=‎2a2+2b2+‎2c2-2ab-2bc‎-2ac=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0,‎ ‎∴S≥P.‎ ‎2P=2ab+2bc+2ca=(ab+bc)+(bc+ca)+(ca+ab)=b(a+c)+c(a+b)+a(c+b)>b2+c2+a2=S,‎ ‎∴2P>S.‎ ‎7.若a,xy∈R+,且+≤a恒成立,则a的最小值是()‎ A.2B.C.2D.1‎ 答案:B 解析:因()2=1+≤1+=2,‎ 故的最大值为.即amin=.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.在△ABC中,三边a、b、c的对角分别为A、B、C,若2b=a+c,则角B的范围是___________.‎ 答案:0<B≤‎ 解析:cosB=≥.‎ ‎∴0<B≤.‎ ‎9.已知ab+bc+ca=1,则当____________时,|a+b+c|取最小值_________________.‎ 答案:a=b=c=‎ 解析:|a+b+c|2=a2+b2+c2+2ab+2bc+‎2ac≥3ab+3bc+‎3ac=3.‎ ‎10.民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比应不小于10%,并且这个比越大,采光条件越好,则同时增加相等的窗户面积与地板面积,采光条件变_____________(填“好”或“坏”).‎ 答案:好 解析:设窗户面积为a,地板面积为b,则a<b,且≥10%,设增加面积为m,易知 ‎.‎ 三、解答题(11—13题每小题10分,14题13分,共43分)‎ ‎11.已知函数f(x)=x2+ax+b,当p、q满足p+q=1时,试证明pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对任意实数x、y都成立的充要条件是:0≤p≤1.‎ 证明:pf(x)+qf(y)-f(px+qy)‎ ‎=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b ‎=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy ‎=pq(x-y)2.‎ ‎∵(x-y)2≥0,‎ ‎∴欲使pq(x-y)2≥0对任意x、y都成立,‎ 只需pq≥0p(1-p)≥0p(p-1)≤00≤p≤1.‎ 故0≤p≤1是pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)成立的充要条件.‎ ‎12.若a、b∈R+且a+b=1,求证:≤2.‎ 证明:≤2‎ a+b+1+2≤4‎ ‎≤1‎ ab++≤1‎ ab≤.‎ ‎∵ab≤()2=成立,‎ ‎∴原不等式成立.‎ ‎13.已知a、b、x、y∈R+且,x>y.‎ 求证:.‎ 证法一:(作差比较法)‎ ‎∵,‎ 又且,a、b∈R+,‎ ‎∴b>a>0.又x>y>0,∴bx>ay.‎ ‎∴>0,即.‎ 证法二:(分析法)‎ ‎∵x、y、a、b∈R+,∴要证,只需证明x(y+b)>y(x+a),即证xb>ya,而同>0,∴b>a>0.又x>y>0,知xb>ya显然成立,故原不等式成立.‎ ‎14.给出不等式≥(x∈R).经验证:当c=1,2,3时,对于x取一切实数,不等式都成立,试问c取任何正数时,不等式对任何实数x是否都成立,若成立,则证明,若不成立,求c的取值范围.‎ 解析:由≥‎ ‎+≥+‎ ‎(-)+-≥0‎ ‎(-)(1-)≥0‎ 假设x∈R时恒成立,显然-≥0‎ 即有1-≥0‎ ‎·≥1x2≥-c 左边x2≥0,而右边不恒≤0,故此不等式不能恒成立.‎ 若恒成立则必有-c≤0‎ c≥1时恒成立.‎