人教a版高中数学选修1-1考前过关训练第二课圆锥曲线与方程word版含答案 8页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 考前过关训练(二) 圆锥曲线与方程 (30 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1.(2015·湖南高考)若双曲线 - =1 的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 D.因为双曲线的一条渐近线经过点(3,-4),所以 3b=4a,所以 9(c2-a2)=16a2,所以 e= = . 【补偿训练】(2016·长沙高二检测)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2, 过 F2 的直线与圆 x2+y2=b2 相切于点 A,并与椭圆 C 交于不同的两点 P,Q,如图,若 PF1⊥PQ,则椭 圆的离心率为 ( ) A. B. C. D. 【解题指南】连接 OA,PF1,则 OA⊥PQ,又 PF1⊥PQ,所以 A 为线段 PF2 的中点,于是 PF1=2b.结合 椭圆的定义有 PF2=2a-2b,由此能求出椭圆的离心率. 【解析】选 C.连接 OA,PF1, 则 OA⊥PQ,又 PF1⊥PQ,可得 OA∥PF1, 所以 A 为线段 PF2 的中点, 于是 PF1=2b. 结合椭圆的定义有 PF2=2a-2b, 在直角三角形 PF1F2 中, 利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2, 将 c2=a2-b2 代入, 整理可得 b= a, 于是 e= = = = . 2.(2016·南昌高二检测)过双曲线 C: - =1 的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相 交于 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的 方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 【解题指南】设右焦点为 F,|OF|=|AF|=4. 【解析】选 A.设右焦点为 F.由题意得|OF|=|AF|=4,即 a2+b2=16, 可设 A(a,b),由 F(4,0)可得(a-4)2+b2=16, 故 a=2,b2=12,所以双曲线的方程为 - =1. 3.(2016·广州高二检测)以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2)的双曲线的标准方程是 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 【解析】选 C.设双曲线的标准方程是 - =1(a>0,b>0),因为双曲线以(-6,0),(6,0)为焦点, 且经过点(-5,2), 所以 解之得 a2=20,b2=16, 因此,该双曲线的标准方程为 - =1. 4.(2016·西安高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2 的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|, 则 cos∠F1PF2= ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.依题意:a=b= ,所以 c=2. 因为|PF1|=2|PF2|,则设|PF2|=m,则|PF1|=2m, 又|PF1|-|PF2|=2 =m. 所以|PF1|=4 ,|PF2|=2 . 又|F1F2|=4, 所以 cos∠F1PF2= = . 5.(2016·桂林高二检测)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交 点 为 A, 与 抛 物 线 的 准 线 的 交 点 为 B, 点 A 在 抛 物 线 准 线 上 的 射 影 为 C, 若 = , · =48,则抛物线的方程为 ( ) A.y2=4x B.y2=8x C.y2=16x D.y2=4 x 【解析】选 A.设抛物线的准线与 x 轴的交点为 D,依题意,F 为线段 AB 的中点, 故|AF|=|AC|=2|FD|=2p, |AB|=2|AF|=2|AC|=4p, 所以∠ABC=30°,| |=2 p, · =4p·2 p·cos30°=48,解得 p=2, 所以抛物线的方程为 y2=4x. 6.已知椭圆 + =1(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为其右焦点.若 AF⊥BF,设 ∠ABF=α,且α∈ ,则该椭圆离心率 e 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.已知椭圆 + =1(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为 B,F 为其右焦点,设左 焦点为 N 连接 AF,AN,BN,BF, 所以:四边形 AFBN 为长方形. 根据椭圆的定义得|AF|+|AN|=2a, ∠ABF=α,则∠ANF=α. 所以:2a=2ccosα+2csinα 利用 e= = = , α∈ , 所以 ≤α+ ≤ , 则 ≤ ≤ -1, 即椭圆离心率 e 的取值范围为 . 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2016·济南高二检测)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且|FA|=c,则双曲线的渐 近线方程为 . 【解题指南】本题考查了双曲线的知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为突破口求出 a,b 之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程. 【解析】由题意知 = =b, 抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为 , 即(c,-b),代入双曲线方程为 - =1,得 =2, 所以 = =1,所以渐近线方程为 y=±x. 答案:y=±x 【补偿训练】若曲线 + =1 的焦距与 k 无关,则它的焦点坐标是 . 【解析】因为 k+5>k-2, 又曲线 + =1 的焦距与 k 无关, 所以 k+5>0,k-2<0,曲线是焦点在 y 轴上的双曲线,且 a2=k+5,b2=2-k,c2=a2+b2=7,故焦点坐标 为(0,± ). 答案:(0,± ) 8.(2016·青岛高二检测)已知椭圆 + =1,过点 P(1,1)作直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点,则直线 l 的斜率为 . 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ①-②,得 + =0, 又点 P(1,1)是 AB 的中点, 所以 x1+x2=2,y1+y2=2, 所以 + =0, 从而 +y1-y2=0, 又 x1≠x2,所以直线 l 的斜率 k= =- . 答案:- 9.(2016·重庆高二检测)设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O 所成的角为 60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点, 则该双曲线的离心率的取值范围是 . 【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线 A1B1 和 A2B2 的斜率之间的关系即可. 【解析】由题意知,直线 A1B1 和 A2B2 关于 x 轴对称,又所成的角为 60°,所以直线方程为 y=± x 或 y=± x.又因为有且只有一对相交于点 O 所成的角为 60°的直线 A1B1 和 A2B2,使 |A1B1|=|A2B2|,所以渐近线斜率满足 < ≤ ,解得 1)上,直线 AB,AC 分别过椭圆 的左右焦点 F1,F2,当 · =0 时,有 9 · = . (1)求椭圆 M 的方程. (2)设 P 是椭圆 M 上的任一点,EF 为圆 N:x2+(y-2)2=1 的任一条直径,求 · 的最大值. 【解析】(1)因为 · =0,所以有 ⊥ , 所以△AF1F2 为直角三角形, 所以| |cos∠F1AF2=| |, 因为 9 · = , 所以 9 · =9| || |cos∠F1AF2 =9| |2= =| |2, 所以| |=3| |, 又| |+| |=2a, 所以| |= ,| |= , 在 Rt△AF1F2 中, 有| |2=| |2+| |2, 即 = +4(a2-1), 解得 a2=2,椭圆 M 的方程为 +y2=1. (2) · =( - )·( - ) =(- - )·( - )=(- )2- = -1,从而将求 · 的最大值转化为 求 的最大值,P 是椭圆 M 上的任一点,设 P(x0,y0),则有 + =1,即 =2-2 , 又 N(0,2),所以 = +(y0-2)2=-(y0+2)2+10, 而 y0∈,所以当 y0=-1 时, 取最大值 9, 故 · 的最大值为 8. 【补偿训练】设抛物线 y2=2px(p>0),Rt△AOB 内接于抛物线,O 为坐标原点,AO⊥BO,AO 所在 的直线方程为 y=2x,|AB|=5 ,求抛物线的方程. 【解题指南】根据 AO⊥BO,直线 AO 的斜率为 2,可知直线 BO 的斜率为- ,进而得出直线 BO 的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出 A,B 的坐标.根据两点间的距离为 5 求得 p. 【解析】因为 AO⊥BO,直线 AO 的斜率为 2, 所以直线 BO 的斜率为- ,即直线 BD 的方程为 y=- x, 把直线 y=2x 代入抛物线方程解得 A 坐标为 , 把直线 y=- x 代入抛物线方程解得 B 坐标为(8p,-4p). 因为|AB|=5 , 所以 +p2+64p2+16p2=25×13,所以 p2=4, 因为 p>0,所以 p=2.故抛物线方程为 y2=4x. 11.(2016·郑州高二检测)已知经过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G:x2=2py(p>0)相交于 B,C. (1)当直线 l 的斜率是 时, = ,求抛物线 G 的方程. (2)设线段 BC 的垂直平分线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. 【解析】(1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),由已知得,当 k1= 时, l 方程为 y= (x+4),即 x=2y-4.由 得 2y2-(8+p)y+8=0,所以由根与系数的关系得 又因为 = ,所以 y2= y1 或 y1=4y2. 由 p>0 得:y1=4,y2=1,p=2,即抛物线 G 的方程为 x2=4y. (2)由题意知 l 的斜率存在.设 l:y=k(x+4),BC 中点坐标为(x0,y0), 由 得 x2-4kx-16k=0.① 所以 x0= =2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k. 所以 BC 的垂直平分线的方程为 y-2k2-4k=- (x-2k), 所以 BC 的垂直平分线在 y 轴上的截距为 b=2k2+4k+2=2(k+1)2, 对于方程①由Δ=16k2+64k>0 得 k>0 或 k<-4. 所以 b∈(2,+∞). 所以 b 的取值范围为(2,+∞). 关闭 Word 文档返回原板块