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- 2021-06-15 发布
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[基础题组练]
1.已知命题p:“正数a的平方不等于0”,命题q:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的( )
A.逆命题 B.否命题
C.逆否命题 D.否定
解析:选B.命题p:“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数,则它的平方不等于0”,从而q是p的否命题.
2.“若x,y∈R,x2+y2=0,则x,y全为0”的逆否命题是 ( )
A.若x,y∈R,x,y全不为0,则x2+y2≠0
B.若x,y∈R,x,y不全为0,则x2+y2=0
C.若x,y∈R,x,y不全为0,则x2+y2≠0
D.若x,y∈R,x,y全为0,则x2+y2≠0
解析:选C.依题意得,原命题的题设为若x2+y2=0,结论为x,y全为零.逆否命题:若x,y不全为零,则x2+y2≠0,故选C.
3.如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选C.设集合A={(x,y)|x≠y},B={(x,y)|cos x≠cos y},则A的补集C={(x,y)|x=y},B的补集D={(x,y)|cos x=cos y},显然CD,所以BA.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件.
4.下列命题:
①“若a≤b,则a<b”的否命题;
②“若a=1,则ax2-x+3≥0的解集为R”的逆否命题;
③“周长相同的圆面积相等”的逆命题;
④“若x为有理数,则x为无理数”的逆否命题.
其中真命题的序号为( )
A.②④ B.①②③
C.②③④ D.①③④
解析:选B.对于①,逆命题为真,故否命题为真;
对于②,原命题为真,故逆否命题为真;
对于③,“面积相等的圆周长相同”为真;
对于④,“若x为有理数,则x为0或无理数”,故原命题为假,逆否命题为假.故选B.
5.设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选C.因为|a-3b|=|3a+b|,所以(a-3b)2=(3a+b)2,所以a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,又因为|a|=|b|=1,所以a·b=0,所以a⊥b;反之也成立.故选C.
6.(2020·咸阳模拟)已知p:m=-1,q:直线x-y=0与直线x+m2y=0互相垂直,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选A.由题意得直线x+m2y=0的斜率是-1,所以=-1,m=±1.所以p是q的充分不必要条件.故选A.
7.(2020·郑州模拟)设平面向量a,b,c均为非零向量,则“a·(b-c)=0”是“b=c”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选B.由b=c,得b-c=0,得a·(b-c)=0;反之不成立.故“a·(b-c)=0”是“b=c”的必要不充分条件.
8.使a>0,b>0成立的一个必要不充分条件是( )
A.a+b>0 B.a-b>0
C.ab>1 D.>1
解析:选A.因为a>0,b>0⇒a+b>0,反之不成立,而由a>0,b>0不能推出a-b>0,ab>1,>1,故选A.
9.在△ABC中,“A=B”是“tan A=tan B”的________条件.
解析:由A=B,得tan A=tan B,反之,若tan A=tan B,则A=B+kπ,k∈Z.因为0-n,则m2>n2”的逆命题,否命题,逆否命题中,假命题的个数是________.
解析:若m=2,n=3,则2>-3,但22<32,所以原命题为假命题,
则逆否命题也为假命题,若m=-3,n=-2,则(-3)2>(-2)2,但-3<2,所以逆命题是假命题,则否命题也是假命题.故假命题的个数为3.
答案:3
11.(2020·齐鲁名校调研)给出下列说法:
①“若x+y=,则sin x=cos y”的逆命题是假命题;
②“在△ABC中,sin B>sin C是B>C的充要条件”是真命题;
③“a=1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件;
④命题“若x<-1,则x2-2x-3>0”的否命题为“若x≥-1,则x2-2x-3≤0”.
以上说法中正确的是________(填序号).
解析:对于①,“若x+y=,则sin x=cos y”的逆命题是“若sin x=cos y,则x+y=”,当x=0,y=时,有sin x=cos y成立,但x+y=,故逆命题为假命题,①正确;对于②,在△ABC中,由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C,②正确;对于③,“a=±1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件,故③错误;对于④,根据否命题的定义知④正确.
答案:①②④
[综合题组练]
1.(2020·抚州七校联考)A,B,C三个学生参加了一次考试,A,B的得分均为70分,C的得分为65分.已知命题p:若及格分低于70分,则A,B,C都没有及格.则下列四个命题中为p的逆否命题的是( )
A.若及格分不低于70分,则A,B,C都及格
B.若A,B,C都及格,则及格分不低于70分
C.若A,B,C至少有一人及格,则及格分不低于70分
D.若A,B,C至少有一人及格,则及格分高于70分
解析:选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知,命题p的逆否命题是若A,B,C至少有一人及格,则及格分不低于70分.故选C.
2.(2020·合肥模拟)若a,b都是正整数,则a+b>ab成立的充要条件是( )
A.a=b=1 B.a,b至少有一个为1
C.a=b=2 D.a>1且b>1
解析:选B.因为a+b>ab,所以(a-1)(b-1)<1.因为a,b∈N+,所以(a-1)(b-1)∈N,所以(a-1)(b-1)=0,所以a=1或b=1.故选B.
3.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.
解析:由题意知ax2-2ax-3≤0恒成立,当a=0时,-3≤0成立;当a≠0时,得
解得-3≤a<0,故实数a的取值范围是-3≤a≤0.
答案:[-3,0]
4.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:x>a,且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p,则a的取值范围是________.
解析:由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p,可知﹁p是﹁q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件,故a≥1.
答案:[1,+∞)
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