2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第五章　第1讲　平面向量的概念及线性运算 6页

[基础题组练] 1.如图，已知AP→＝4 3AB→，用OA→ ，OB→ 表示OP→ ，则OP→ 等于( ) A.1 3OA→ －4 3OB→ B.1 3OA→ ＋4 3OB→ C．－1 3OA→ ＋4 3OB→ D．－1 3OA→ －4 3OB→ 解析：选 C.OP→ ＝OA→ ＋AP→＝OA→ ＋4 3AB→＝OA→ ＋4 3(OB→ －OA→ )＝－1 3OA→ ＋4 3OB→ .故选 C. 2．在△ABC 中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点， 若AO→ ＝λAB→＋μBC→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( ) A．1 B．1 2 C.1 3 D．2 3 解析：选 D.由题意易得AD→ ＝AB→＋BD→ ＝AB→＋1 3BC→， 所以 2AO→ ＝AB→＋1 3BC→，即AO→ ＝1 2AB→＋1 6BC→. 故λ＋μ＝1 2 ＋1 6 ＝2 3. 3．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)设 a，b 是非零向量，记 a 与 b 所成的角为 θ，下列四个条件中，使 a |a| ＝ b |b| 成立的充要条件是( ) A．a∥b B．θ＝0 C．θ＝π 2 D．θ＝π 解析：选 B. a |a| ＝ b |b| 等价于非零向量 a 与 b 同向共线，即θ＝0，故选 B. 4．(2020·合肥一模)已知 A，B，C 三点不共线，且点 O 满足 16OA→ －12OB→ －3OC→ ＝0， 则( ) A.OA→ ＝12AB→＋3AC→ B．OA→ ＝12AB→－3AC→ C.OA→ ＝－12AB→＋3AC→ D．OA→ ＝－12AB→－3AC→ 解析：选A.对于A，OA→ ＝12AB→＋3AC→＝12(OB→ －OA→ )＋3(OC→ －OA→ )＝12OB→ ＋3OC→ －15OA→ ， 整理，可得 16OA→ －12OB→ －3OC→ ＝0，这与题干中条件相符合，故选 A. 5.如图，在△ABC 中，AD→ ＝2 3AC→，BP→＝1 3BD→ ，若AP→＝λAB→＋μAC→，则λ μ 的值为( ) A．－3 B．3 C．2 D．－2 解析：选 B.因为AP→＝AB→＋BP→， BP→＝1 3BD→ ＝1 3(AD→ －AB→)＝1 3AD→ －1 3AB→＝1 3 ×2 3AC→－1 3AB→＝2 9AC→－1 3AB→， 所以AP→＝AB→＋ 2 9AC→－1 3AB→ ＝2 3AB→＋2 9AC→. 又AP→＝λAB→＋μAC→，所以λ＝2 3 ，μ＝2 9 ， 所以λ μ ＝2 3 ×9 2 ＝3.故选 B. 6．若|AB→|＝|AC→|＝|AB→－AC→|＝2，则|AB→＋AC→|＝________． 解析：因为|AB→|＝|AC→|＝|AB→－AC→|＝2，所以△ABC 是边长为 2 的正三角形，所以|AB→＋AC→| 为△ABC 的边 BC 上的高的 2 倍，所以|AB→＋AC→|＝2 3. 答案：2 3 7．已知 O 为△ABC 内一点，且 2AO→ ＝OB→ ＋OC→ ，AD→ ＝tAC→，若 B，O，D 三点共线， 则 t 的值为________． 解析：设线段 BC 的中点为 M，则OB→ ＋OC→ ＝2OM→ . 因为 2AO→ ＝OB→ ＋OC→ ，所以AO→ ＝OM→ ， 则AO→ ＝1 2AM→ ＝1 4(AB→＋AC→)＝1 4 AB→＋1 tAD→ ＝1 4AB→＋1 4tAD→ . 由 B，O，D 三点共线，得1 4 ＋1 4t ＝1，解得 t＝1 3. 答案：1 3 8．在△ABC 中，∠A＝60°，∠A 的平分线交 BC 于点 D，若 AB＝4，且AD→ ＝1 4AC→ ＋ λAB→(λ∈R)，则 AD 的长为________． 解析：因为 B，D，C 三点共线，所以1 4 ＋λ＝1，解得λ＝3 4 ，如图，过点 D 分别作 AC， AB 的平行线交 AB，AC 于点 M，N，则AN→＝1 4AC→，AM→ ＝3 4AB→，因为△ABC 中，∠A＝60°， ∠A 的平分线交 BC 于点 D，所以四边形 AMDN 是菱形，因为 AB＝4，所以 AN＝AM＝3， AD＝3 3. 答案：3 3 9.在△ABC 中，D，E 分别为 BC，AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB＝2GE，设 AB→＝a，AC→＝b，试用 a，b 表示AD→ ，AG→ . 解：AD→ ＝1 2(AB→＋AC→)＝1 2a＋1 2b； AG→ ＝AB→＋BG→ ＝AB→＋2 3BE→＝AB→＋1 3(BA→＋BC→)＝2 3AB→＋1 3(AC→－AB→)＝1 3AB→＋1 3AC→＝1 3a＋1 3b. 10．经过△OAB 重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，设OP→ ＝mOA→ ，OQ→ ＝nOB→ ， m，n∈R，求1 n ＋1 m 的值． 解：设OA→ ＝a，OB→ ＝b，则OG→ ＝1 3(a＋b)， PQ→ ＝OQ→ －OP→ ＝nb－ma， PG→ ＝OG→ －OP→ ＝1 3(a＋b)－ma＝ 1 3 －m a＋1 3b. 由 P，G，Q 共线得，存在实数λ使得PQ→ ＝λPG→ ， 即 nb－ma＝λ 1 3 －m a＋1 3λb， 则 －m＝λ 1 3 －m ， n＝1 3λ， 消去λ，得1 n ＋1 m ＝3. [综合题组练] 1．已知向量 a，b 不共线，且 c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若 c 与 d 反向共线，则实数 λ的值为( ) A．1 B．－1 2 C．1 或－1 2 D．－1 或－1 2 解析：选 B.由于 c 与 d 反向共线，则存在实数 k 使 c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ －1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于 a，b 不共线，所以有 λ＝k， 2λk－k＝1， 整理得 2λ2－ λ－1＝0，解得λ＝1 或λ＝－1 2.又因为 k＜0，所以λ＜0，故λ＝－1 2. 2.(一题多解)如图，在△ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且满足 BD＝1 2DC，过点 D 的直 线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N 若AM→ ＝mAB→，AN→＝nAC→，则( ) A．m＋n 是定值，定值为 2 B．2m＋n 是定值，定值为 3 C.1 m ＋1 n 是定值，定值为 2 D.2 m ＋1 n 是定值，定值为 3 解析：选 D.法一：如图，过点 C 作 CE 平行于 MN 交 AB 于点 E. 由AN→＝n AC→可得AC AN ＝1 n ，所以AE EM ＝AC CN ＝ 1 n－1 ，由 BD＝1 2DC 可得BM ME ＝ 1 2 ，所以AM AB ＝ n n＋n－1 2 ＝ 2n 3n－1 ，因为AM→ ＝mAB→，所以 m＝ 2n 3n－1 ， 整理可得2 m ＋1 n ＝3. 法二：因为 M，D，N 三点共线，所以AD→ ＝λAM→ ＋(1－λ)·AN→. 又AM→ ＝mAB→，AN→＝nAC→，所以AD→ ＝λmAB→＋(1－λ)·nAC→.又BD→ ＝1 2DC→ ，所以AD→ －AB→＝1 2AC→ －1 2AD→ ，所以AD→ ＝1 3AC→＋2 3AB→.比较系数知λm＝2 3 ，(1－λ)n＝1 3 ，所以2 m ＋1 n ＝3，故选 D. 3．(2020·铜川模拟)在△ABC 中，点 D 是边 BC 上任意一点，M 是线段 AD 的中点，若 存在实数λ和μ，使得BM→ ＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ＝________． 解析：如图，因为点 D 在边 BC 上，所以存在 t∈R，使得BD→ ＝tBC→＝t(AC→－AB→)．因为 M 是线段 AD 的中点，所以BM→ ＝1 2(BA→＋BD→ )＝1 2(－AB→＋tAC→－tAB→)＝－1 2(t＋1)·AB→＋1 2tAC→. 又BM→ ＝λAB→＋μAC→，所以λ＝－1 2(t＋1)，μ＝1 2t， 所以λ＋μ＝－1 2. 答案：－1 2. 4．已知 P 为△ABC 所在平面内一点，AB→＋PB→＋PC→＝0，|AB→|＝|PB→|＝|PC→|＝2，则△ABC 的面积为________． 解析：因为AB→＋PB→＋PC→＝0，所以AB→＝－(PB→＋PC→)． 由平行四边形法则可知，以PB→，PC→为边组成的平行四边形的一条对角线与AB→反向，且 长度相等．因为|AB→|＝|PB→|＝|PC→|＝2，所以以PB→，PC→为边的平行四边形为菱形，且除 BC 外 的另一条对角线长为 2，所以 BC＝2 3，∠ABC＝90°，所以 S△ABC＝1 2AB·BC＝1 2 ×2×2 3＝ 2 3. 答案：2 3 5．在如图所示的方格纸中，向量 a，b，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上， 若 c 与 xa＋yb(x，y 为非零实数)共线，求x y 的值． 解：设 e1，e2 分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量 c＝e1－2e2， a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由 c 与 xa＋yb 共线，得 c＝λ(xa＋yb)，所以 e1－2e2＝2λ(x－y)e1 ＋λ(x－2y)e2，所以 2λ（x－y）＝1， λ（x－2y）＝－2， 所以 x＝3 λ ， y＝ 5 2λ ， 所以x y 的值为6 5. 6．已知 O，A，B 是不共线的三点，且OP→ ＝mOA→ ＋nOB→ (m，n∈R)． (1)若 m＋n＝1，求证：A，P，B 三点共线； (2)若 A，P，B 三点共线，求证：m＋n＝1. 证明：(1)若 m＋n＝1， 则OP→ ＝mOA→ ＋(1－m)OB→ ＝OB→ ＋m(OA→ －OB→ )， 所以OP→ －OB→ ＝m(OA→ －OB→ )， 即BP→＝mBA→， 所以BP→与BA→共线． 又因为BP→与BA→有公共点 B， 所以 A，P，B 三点共线． (2)若 A，P，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP→＝λBA→， 所以OP→ －OB→ ＝λ(OA→ －OB→ )． 又OP→ ＝mOA→ ＋nOB→ . 故有 mOA→ ＋(n－1)OB→ ＝λOA→ －λOB→ ， 即(m－λ)OA→ ＋(n＋λ－1)OB→ ＝0. 因为 O，A，B 不共线， 所以OA→ ，OB→ 不共线， 所以 m－λ＝0， n＋λ－1＝0， 所以 m＋n＝1.