山东省济宁市2020届高三6月高考模拟考试（三模）数学试题 Word版含解析 26页

‎2019—2020学年度高考模拟考试数学试题 第I卷(选择题 共60分)‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共，40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1.已知集合，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 先确定集合中的元素，然后根据交集定义求解．‎ ‎【详解】由题意，∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集的定义是解题基础．‎ ‎2.i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为( )‎ A. i B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简得，即得复数和它的虚部.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以.‎ 所以的虚部为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的混合运算，考查复数的共轭复数和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ - 26 -‎ ‎3.设、是非零向量，“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可求得、的夹角，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.‎ ‎【详解】设非零向量、的夹角为，若，则，又，，所以，.‎ 因此，“”是“”的充要条件.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查了向量垂直的数量积表示，考查计算能力与推理能力，属于基础题.‎ ‎4.在的展开式中，常数项为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将原式拆写成的形式，然后分两种情况求常数项即可．‎ ‎【详解】解：原式①，‎ 而的通项为：，当时，故①式中的前一项不会出常数项，‎ 当，即时，可得①式中的后一项的常数项乘以3即为所求，‎ 此时原式常数项为．‎ 故选：．‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式通项的应用，同时考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．‎ ‎5.函数的图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性，并利用特值法，即可确定正确选项.‎ ‎【详解】，所以为奇函数，由此排除AB选项，‎ ‎，，又，‎ ‎，故排除D选项.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查根据函数的解析式确定函数图象，属于基础题.‎ ‎6.设则有( )‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 26 -‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的性质确定的范围，根据指数函数性质确定的范围，然后可确定与的正负，从而得到正确选项．‎ ‎【详解】∵，又，∴，即，‎ ‎，‎ ‎∴，，∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考对数函数与指数函数的性质，解题中寻找中间值是解题关键，属于中档题．‎ ‎7.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径。“开立圆术”相当给出了一个已知球的体积V，求这个球的直径d的近似公式，即.随着人们对圆周率π值的认知越来越精确，还总结出了其他类似的近似公式.若取，试判断下列近似公式中最精确的一个是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用球体的体积公式得，得出的表达式，再将的近似值代入可得出的最精确的表达式.‎ ‎【详解】由球体的体积公式得，，，‎ ‎，，，与最为接近.‎ 故选：D - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查球体的体积公式，解题的关键在于理解题中定义，考查学生分析问题和理解问题的能力.‎ ‎8.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，，，先求出，再根据已知得到，得的值，即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得抛物线的焦点坐标为，准线方程为，‎ 设，，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，，.‎ 线段的中点到该抛物线准线的距离为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ - 26 -‎ 本题主要考查抛物线的简单几何性质和抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.下列说法正确的是( )‎ A. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B. 某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90％，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学 C. 回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 D. 在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位 ‎【答案】CD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据残差分析的性质判断A，C选项，由概率的意义判断B选项，根据回归直线方程的意义判断D.‎ ‎【详解】对A项，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故A错误；‎ 对B项，概率只说明事件发生的可能性，某次事件不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故B错误；‎ 对C项，在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故C正确；‎ 对D项，在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位，故D正确；‎ 故选：CD ‎【点睛】本题主要考查了误差分析的知识以及对概率意义的理解，，属于基础题.‎ ‎10.线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB//EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且.则( )‎ - 26 -‎ A. DF//平面BCE B. 异面直线BF与DC所成角为30°‎ C. △EFC为直角三角形 D. ‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 四边形确定一个平面，不平行，说明与平面有公共点，从而判断A选项；‎ 连接，交于点，根据题设条件得出为等边三角形，异面直线BF与DC所成的角为，从而判断B选项；‎ 求出三边的边长，根据勾股定理判断C选项；‎ 根据棱锥的体积公式得出，即可判断D选项.‎ ‎【详解】对A项，因为，，所以四边形确定一个平面 由于长度不相等，则不平行，即与平面有公共点，故A错误；‎ 对B项，连接，交于点 因为，，所以四边形为菱形 则，所以为等边三角形 由于点为的中点，则 因为，所以异面直线BF与DC所成的角为，故B正确；‎ - 26 -‎ 对C项，由于四边形为菱形，则 由面面垂直性质以及线面垂直的性质可知，‎ 所以 又，所以不是直角三角形，故C错误；‎ 对D项，因为，，，所以 由面面垂直的性质可知，平面，所以 过点作的垂线，垂足为，则 根据面面垂直的性质可知平面 则 即，故D正确；‎ 故选：BD - 26 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了判断线面平行，求异面直线的夹角，面面垂直性质的应用，棱锥体积公式的应用，属于中档题.‎ ‎11.已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，下列关于结论正确的是( )‎ A. B. 的一个周期是 C. 在上单调递减 D. 的最大值大于 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ 分析】‎ 将代入可判断A；根据函数周期的定义可判断B；根据取整函数的定义，可以判断在上函数值是确定的一个值，从而判断C；利用可判断D.‎ ‎【详解】由，‎ 对于A，，故A正确；‎ 对于B，因为 ‎，所以的一个周期是，故B正确；‎ 对于C，当时，，，所以，‎ 所以，故C错误；‎ 对于D，‎ ‎，故D正确；‎ 故选：ABD ‎【点睛】本题考查了三角函数相关性质的辨析，涉及到的知识点有取整函数、单调性、周期性、最值的综合应用，属于中档题.‎ - 26 -‎ ‎12.已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据互为反函数的性质可得的中点坐标为，从而可判断A；利用基本不等式可判断B、D；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C.‎ ‎【详解】函数与互为反函数，‎ 则与的图象关于对称，‎ 将与联立，则，‎ 由直线分别与函数和的图象交于点，‎ 作出函数图像：‎ 则的中点坐标为，‎ 对于A，由，解得，故A正确；‎ - 26 -‎ 对于B，，‎ 因为，即等号不成立，所以，故B正确；‎ 对于C，将与联立可得，即，‎ 设，且函数为单调递增函数，‎ ‎，，‎ 故函数的零点在上，即，由，则，‎ ‎，故C正确；‎ 对于D，由，解得，‎ 由于，则，故D错误；‎ 故选：ABC ‎【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由诱导公式得到，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以 - 26 -‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.‎ ‎14.在平行四边形ABCD中，，，，若，则__________.‎ ‎【答案】21‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图示和平面向量基本定理，得到，，然后得出，代入数据即可.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 因为，，所以，‎ 又，‎ ‎，又，‎ 所以，‎ ‎，，所以，‎ 代入数据可得.‎ 故答案为：21‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题主要考查平面基本定理，以及平面向量数量积的求法，解题的关键是选择适当的基底，用基底表示出所求向量.‎ ‎15.5人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是__________.(用数字作答)；5人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________(用数字作答)‎ ‎【答案】 (1). 72 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由分步原理，先排除甲乙两人外的3人，再将甲乙两人从4个空中选2个插入即可得解；‎ ‎（2）用捆绑法求出甲乙两人之间恰好有一人的排法共有种，5人并排站成一排共有种排法，再由古典概率公式计算即可.‎ ‎【详解】（1）先排除甲乙两人外的3人共有种排法，再将甲乙两人从4个空中选2个插入有种排法，所以甲乙两人不相邻的不同的排法共有种；‎ ‎（2）甲乙两人之间恰好有一人的排法共有种，5人并排站成一排共有种排法，所以甲乙两人之间恰好有一人的概率为.‎ 故答案为：（1）72；（2）‎ ‎【点睛】本题主要考查了用插空法，捆绑法求解排列组合应用问题，古典概率的计算，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.‎ ‎16.设双曲线的左、右焦点分别为，过作轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q坐标为且满足，若在双曲线C的右支上存在点P使得成立，则双曲线的离心率的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 26 -‎ ‎【分析】‎ 将代入双曲线的方程，求得点的坐标，由，结合离心率公式可得；再由双曲线的定义和不等式能成立思想，求出的最小值，结合离心率公式可得，再由，即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】将代入双曲线的方程，得，所以，‎ 又，得，所以，‎ 所以；‎ 因为，又在双曲线C的右支上存在点P使得成立，所以有，‎ 即，解得：，‎ 又，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线离心率的求解，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.如图，在四边形ABCD中，，_________，DC=2，在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答.(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分)①；②；③.‎ - 26 -‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求△ADC面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若选①，利用正弦定理得出，再结合，即可得出；‎ 若选②，由，得出，再结合，即可得出；‎ 若选③，利用正弦定理的边化角公式化简得出得出，再结合，即可得出；‎ ‎（2）由余弦定理结合基本不等式得出，最后由三角形的面积公式得出△ADC面积的最大值.‎ ‎【详解】（1）解：若选①在，由正弦定理可得：‎ 又，可得：‎ 又，，‎ ‎（2）在中，，由余弦定理可得：‎ 即 当且仅当时取“=”‎ 若选择②‎ - 26 -‎ ‎（1）由可得：‎ 又，‎ ‎（2）在中，，由余弦定理可得：‎ 即 ‎ 当且仅当时取“=”.‎ 若选③（1），由正弦定理得：‎ ‎ ‎ 即 又，所以；‎ ‎（2）在中，，由余弦定理可得：‎ 即 ‎ ‎ - 26 -‎ 当且仅当时取“=”‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.‎ ‎18.如图1，四边形ABCD为矩形，BC=2AB，E为AD的中点，将ABE、DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面平面BCE，平面平面BCE.‎ ‎（1）求证：平面平面DCE；‎ ‎（2）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明平面ABE，平面平面DCE即得证；‎ ‎（2）以点E为坐标原点，EB,EC所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法求直线FA与平面ADE所成角的正弦值得解.‎ ‎【详解】（1）证明：在图1中，BC=2AB，且E为AB的中点，‎ ‎，同理.‎ 所以，‎ 又平面平面BCE，平面平面，‎ 所以平面ABE，又平面，‎ 所以平面平面DCE. ‎ ‎（2）‎ - 26 -‎ 如图，以点E为坐标原点，EB,EC所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，设，‎ 则.‎ 向量，设平面ADE的法向量为 由，得，令，‎ 得平面ADE的一个法向量为， ‎ 又， ‎ 设直线FA与平面ADE所成角为，‎ 则 所以直线FA与平面ADE所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，考查空间直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19.已知数列的各项均为正数，其前项和.‎ ‎（1）求数列的通项公式an；‎ ‎（2）设；若称使数列的前项和为整数的正整数为“优化数”，试求区间(0，2020)内所有“优化数”的和S.‎ - 26 -‎ ‎【答案】（1）；（2）2026.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由数列的前和可得当时，，当时，，，可得数列是首项，公差的等差数列，可求得通项；‎ ‎（2）由（1）得，‎ 数列的前项和为，再令，则有，由知且，可求得.‎ ‎【详解】（1）由数列的前和知：‎ 当时，，，又，所以，‎ 当时，，整理得：，‎ 因为，所以有，所以数列是首项，公差的等差数列，‎ 数列的通项公式为； ‎ ‎（2）由知：，‎ 数列的前项和为 - 26 -‎ ‎，‎ 令，则有，‎ 由知且，‎ 所以区间内所有“优化数”的和为 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查由数列的前n项和求数列的通项，以及新定义运算，关键在于理解给出的新定义，转化运用等差数列或等比数列的公式和性质，属于难度题.‎ ‎20.过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段.目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成.到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和.2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：‎ 该经济农作物亩产量(kg)‎ 该经济农作物市场价格(元/kg)‎ 概率 概率 ‎（1）设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；‎ ‎（2）若该农户从2020年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16000元的概率；‎ ‎（3）2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元.假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020‎ - 26 -‎ 年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在2020年底可以脱贫?并说明理由.‎ ‎【答案】（1）分布列见解析；（2）0.896；（3）能预测该农户在2020年底可以脱贫，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先由题意假设出事件A ，B，并确定出发生的概率，由题意知利润=产量市场价格-成本，继而得到X所有可能取值，再由概率的基本性质可得相应概率，得到X的分布列;‎ ‎（2）将所求概率的事件记为C，由题意知每年收入相互独立，再由概率的基本性质可得，设这三年中有Y年的纯收入不少于16000元，变量服从二项分布，即可得解．‎ ‎（3）由（1）计算，再与4000进行比较即可得解．‎ ‎【详解】（1）由题意知：‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以X的所有可能取值为：23000，17000，12500‎ 设A表示事件“作物产量为900kg”，则；‎ B表示事件“作物市场价格为15元/kg”，则．‎ 则：‎ ‎，‎ 所以X的分布列为：‎ ‎23000‎ ‎17000‎ ‎12500‎ ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎（2）设C表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于16000元”，‎ 则，‎ - 26 -‎ 设这三年中有Y年的纯收入不少于16000元，‎ 则有：‎ 所以这三年中至少有两年的纯收入不少于16000元的概率为 ‎．‎ ‎（3）由（1）知，2020年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为 ‎（元）‎ 凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准，‎ 所以，能预测该农户在2020年底可以脱贫．‎ ‎【点睛】本题考查概率的基本性质，考查二项分布，考查期望，属于中档题．‎ ‎21.已知点F为椭圆的右焦点，点A为椭圆的右顶点.‎ ‎（1）求过点F、A且和直线相切的圆C的方程；‎ ‎（2）过点F任作一条不与轴重合的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线PA，QA分别与直线相交于点M，N.试证明：以线段MN为直径的圆恒过点F.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，即可求出其中垂线,即可得出半径为7,即可求出圆心坐标.即可写出圆C的方程.‎ 以线段MN为直径的圆恒过点等价于,讨论直线的斜率是否存在，写出直线，联立解出P、Q,结合写出直线,即可得到点M，N，结合，即可说明.‎ ‎【详解】（1）由已知得：‎ 圆C的圆心一定在线段AF中垂线上 由圆C与直线相切，得：圆C的半径 ‎ - 26 -‎ 设圆C的圆心坐标为，则有：‎ ‎，‎ 即圆心 圆C的方程为： ‎ ‎（2）证明：当直线斜率不存在时，其方程为,‎ 联立,解得，又因为.‎ 所以直线为.‎ 可求得M,N两点坐标分别为或，又 的斜率之积为：‎ ‎.‎ 当直线斜率存在时，设直线的方程为：‎ 联立方程组：，‎ 消去整理得：‎ ‎ ‎ 又设 由P,A,M共线得：，‎ 由Q,A,N共线得：， ‎ 所以FM,FN的斜率之积为：‎ - 26 -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综上可知：恒有 以线段MN为直径的圆恒过点F.‎ ‎【点睛】本题考查圆的标准方程与过定点问题,属于难题.确定圆的标准方程，一般需要确定其圆心与半径.圆过定点需要将其转化为两直线垂直来证明.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；‎ ‎（2）求函数的极值点；‎ ‎（3）设，若当时，不等式恒成立，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，无极值点；当时，的极小值点是，无极大值点；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出函数的导函数，由切点处的导数等于切线的斜率，得到关于、的一个方程，再由处的切线方程为得出切点坐标，由切点在曲线上得到关于、的方程，联立关于、的方程的两个方程组即可.‎ ‎（2）先求出导函数，判断函数的单调性，然后根据极值的定义求出即可.‎ ‎（3）化简得由不等式恒成立，转化为恒成立，只需，通过讨论的范围，求出即可.‎ - 26 -‎ ‎【详解】（1）由得 ‎ ‎ 由已知可得：即 ‎（2）‎ ‎ ‎ 所以：当，即时，在上为增函数，无极值点 当，即时，‎ 则有：当时，，当时，，‎ 在为减函数，在上为增函数，‎ 所以，是极小值点，无极大值点； ‎ 综上可知：当时，函数无极值点， ‎ 当时，函数的极小值点是，无极大值点 ‎（3）‎ 由题意知：当时，恒成立 又不等式等价于：，即 即 ①‎ ‎①式等价于 ‎ 由知，‎ 令，则原不等式即为：‎ - 26 -‎ 又在上为增函数 所以，原不等式等价于：， ②‎ 又②式等价于，即： ‎ 设，‎ 在上为增函数，在上为减函数，‎ 又 当时，在上为增函数，在上为减函数 ‎ ‎ 要使原不等式恒成立，须使，‎ 当时，则在上为减函数，‎ 要使原不等式恒成立，须使，‎ 时，原不等式恒成立 综上可知：的取值范围是，的最小值为 ‎【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，由曲线的切线方程求参数、函数的单调性、极值以及函数最值的应用，恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于综合题.‎ - 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