黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题 Word版含解析 17页

- 1 - 大庆实验中学 2019-2020 学年度上学期期末高二数学（文） 一、选择题 1.命题“ ，使 ”否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 由特称命题与全称命题的否定求解即可. 【详解】解：由特称命题的否定为全称命题可得：命题“ ，使 ”否定是“ ， ”， 故选：B. 【点睛】本题考查了特称命题与全称命题的否定，属基础题. 2. 是方程 表示的图形为双曲线的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 方程 表示的图形为双曲线的充要条件为 ， 再判断“ ”与 “ ”的充要性即可. 【详解】解：方程 表示的图形为双曲线的充要条件为 ， 即 或 ，即 ， 又“ ”能推出 “ ” 0x R∃ ∈ 0 0 2xe x< + x R∀ ∈ 2xe x≤ + x R∀ ∈ 2xe x≥ + x R∀ ∉ 2xe x< + x R∀ ∈ 2xe x> + 0x R∃ ∈ 0 0 2xe x< + x R∀ ∈ 2xe x≥ + ( ), 2m∈ −∞ − 2 2 15 2 x y m m + =− + 2 2 15 2 x y m m + =− + (5 )( 2) 0m m− + < ( ), 2m∈ −∞ − ( , 2) (5, )m ∈ −∞ − ∪ +∞ 2 2 15 2 x y m m + =− + (5 )( 2) 0m m− + < 2m < − 5m > ( , 2) (5, )m ∈ −∞ − ∪ +∞ ( ), 2m∈ −∞ − ( , 2) (5, )m ∈ −∞ − ∪ +∞ - 2 - 但 “ ”不能推出 “ ”， 即“ ”是 “ ” 充分不必要条件， 即 是方程 表示的图形为双曲线的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，重点考查了充分必要条件，属基础题. 3.已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出导函数 ，再计算导数值． 【详解】∵ ，∴ ，∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的导数公式和导数运算法则是解题基础． 4. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是“甲降落在指定范围”，q 是“ 乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　） A. （￢p）∨（￢q） B. p∨（￢q） C. （￢p）∧（￢q） D. p∨q 【答案】A 【解析】 试题分析：由“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义可知是“甲学员没有降落在指 定范围或乙学员没有降落在指定范围”,故应选 A. 考点：复合命题的构成及运用. 【易错点晴】本题是一道命题的真假和复合命题的真假的实际运用问题.求解时先搞清楚所给 的两个命题的内容,再选择复合命题的形式将所求问题的表达方式.首先欲求问题中的命题“ 至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义是指“有一位学员或两位学员没有降落”，因 此将其已知两个命题的内容进行联系，从而将问题转化为“甲学员没有降落在指定范围或乙 学员没有降落在指定范围”. 的 ( , 2) (5, )m ∈ −∞ − ∪ +∞ ( ), 2m∈ −∞ − ( ), 2m∈ −∞ − ( , 2) (5, )m ∈ −∞ − ∪ +∞ ( ), 2m∈ −∞ − 2 2 15 2 x y m m + =− + 2( ) 3f x x= (3)f ′ = 6 12 18 27 ( )f x′ 2( ) 3f x x= ( ) 6f x x′ = (3) 6 3 18f ′ = × = - 3 - 5.双曲线 的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据双曲线渐近线方程的求法，求得双曲线的渐近线. 【详解】焦点在 轴上，双曲线的标准方程为 ， ，所以渐近线方程 . 故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题. 6.已知椭圆 的上、下顶点分别为 、 ，左、右焦点分别为 、 ，若四边形 是正方形，则此椭圆的离心率 等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：设椭圆的方程为： ，则由题意可得 ，所以椭圆的离心 率 ． 考点：椭圆 离心率． 7.已知函数 ，则该函数的导函数 的 2 2 19 4 x y− = − 3 2y x= ± 9 4y x= ± 2 3y x= ± 4 9y x= ± y 2 2 14 9 y x− = 2, 3a b= = 2 3y x= ± C 1B 2B 1F 2F 1 1 2 2B F B F e 1 3 1 2 2 2 3 2 2 sin( ) x xf x x += '( )f x = - 4 - A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意可得 ，故选 B． 8.过椭圆 内一点 引一条恰好被 点平分的弦，则这条弦所在直线的方 程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由 作 差 得 ，选 A. 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦 AB 所在直线方程的斜率 k,方法一利用 点差法，列出有关弦 AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率 k，利用根与 系数的关系及中点坐标公式求得直线方程. 9.设 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，且 ，则 的面积等于( ) A. B. C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 根据双曲线 定义 ，联立 解得 ，由于的 2 2 cosx x x + 2 2 cos sinx x x x x + − 2 2 cos sinx x x x x + − 2 cosx x− 2 2 2 2 (2 cos ) ( sin ) cos sin'( ) x x x x x x x x xf x x x + − + + −= = 2 24 5 20x y+ = (1,1)P P 4 5 9 0x y+ − = 5 4 9 0x y+ − = 4 5 1 0x y− + = 5 4 1 0x y− − = 2 2 2 2 1 1 2 24 5 20,4 5 20,x y x y+ = + = 2 2 2 2 1 2 1 2 44( ) 5( ) 0 4(2 1) 5(2 1) 0 5x x y y k k− + − = ∴ × + × = ∴ = − 41 ( 1)5y x∴ − = − − ∴ 4 5 9 0x y+ − = 1 2,F F 2 2 13 yx − = P 1 23| | 5| |PF PF= 1 2PF F∆ 2 2 4 3 1 2 2 2PF PF a− = = 1 23 5PF PF= 1 25, 3PF PF= = - 5 - ，故 为直角三角形，故面积为 . 10.若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于 a 的不等式组，解出即可． 【详解】 的定义域是（0，+∞）， ， 若函数 有两个不同的极值点， 则 在（0，+∞）由 2 个不同的实数根， 故 ，解得： ， 故选 D． 【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题． 11.若点 P 是以 F 为焦点的抛物线 y2＝4x 上的一个动点，B （3，2），则|PB|+|PF|的最小值 为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 利用抛物线的定义 等于 到准线的距离，数形结合即可求出答案. 【详解】抛物线 的准线 方程为 ，过点 做 ，垂直为 ， ， 2 4c = 1 2PF F∆ 1 3 4 62 × × = ( ) 21 2 ln2f x x x a x= − + a 1a > 1 0a− < < 1a < 0 1a< < ( )f x ( ) 2 22 a x x af x x x x − +′ = − + = ( )f x ( ) 2 2g x x x a= − + 1 4 4 0 2 4 4 02 a ax ∆ = − > − −= > 0 1a< < | |PF P 2 4y x= l 1x = − P PD l⊥ D | | | | | | | | | | 4PB PF PB PD BD+ = + ≥ = - 6 - 当且仅当， 三点共线时，等号成立. 故选:B 【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法， 是基础题． 12.已知函数 ，若函数 为常数)有三个零点，则实数 a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分段函数，利用导数研究函数单调性，逐段分析函数单调性及极值、端点值；因为函数 为常数)有三个零点，则曲线 与直线 有三个交点，结合 的值域分析，即可求解。 【详解】①当 时， ， ， 令 ，则 时， 单调递增， ； , ,P B D ( ) 2 ln , 0 2 , 0 x xf x x x x x  >=   +  ( ) (y f x a a= − 1,e  +∞   11, e  −   1{ 1} 0, e  − ∪   1( , 1) ,e  −∞ − ∪ +∞   ( ) (y f x a a= − ( )y f x= y a= ( )y f x= 0x > ln( ) xf x x = 2 1 ln'( ) xf x x −= '( ) 0f x = x e= (0, )x e∴ ∈ '( ) 0, ( )f x f x> 1( ) ( , )f x e ∈ −∞ - 7 - 时， 单调递增， ②当 时， ，二次函数，开口向上，对称轴 ，且 时， 单调递减， ； 时， 单调递增， . 因为函数 为常数)有三个零点，则曲线 与直线 有三个交点，则 故选：B. 【点睛】函数 有零点问题，转化为方程 的根的问题. 二、填空题 13.函数 在 处的切线方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】 先求函数的导函数，再求斜率，然后利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：由函数 ， 求导可得 ， 所以 ， 又 ， 即函数 在 处的切线方程是 ，即 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础 题. 14.已知实数 x，y 满足 ，则 2x+y 的最小值是_____； 【答案】-18 ( , )x e∈ +∞ '( ) 0, ( )f x f x< 1( ) (0, )f x e ∈ 0x ≤ 2( ) 2f x x x= + 1x = − ( 1) 1, (0) 0f f− = − = ( , 1)x∴ ∈ −∞ − ( )f x ( ) ( 1, )f x ∈ − +∞ ( 1,0)x∈ − ( )f x ( ) ( 1,0)f x ∈ − ( ) (y f x a a= − ( )y f x= y a= 1( 1, )a e ∈ − ( )y f x a= − ( )f x a= ( ) xf x xe= 0x = y x= ( ) xf x xe= ( )' ( 1) xf x x e= + ( )' 0 1f = ( )0 0f = ( ) xf x xe= 0x = 0 1 ( 0)y x− = × − y x= y x= 0 6 0 4 0 x y y x y − ≥  + ≥  + − ≤ - 8 - 【解析】 【分析】 作出可行域后,根据目标函数的斜率找到最优解即可得到答案. 【详解】画出可行域，如图所示: 设 z＝2x+y 变形得 y＝﹣2x+z，作直线 y＝﹣2x+z， 由图知,当该直线过 A（﹣6，﹣6）时,z 取得最小值﹣18； 则 z＝2x+y 的最小值是﹣18． 故答案 : . 【点睛】本题考查了简单的线性规划求最值,根据斜率关系找到最优解是解题关键,属于基础 题. 15.已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 ： 交抛物线于 ， 两点，则 等于__________． 【答案】8 【解析】 由题意得 F（1，0），所以直线 过焦点，因此由焦点弦公式得 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若 为抛物线 上一点，由定义易得 ；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 ，则弦长为 可由根与系数的关 系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得 到． 为 18− C 2 4y x= F l 1y x= − A B AB l AB 2 2 0 2 4 8sin sin 45 p θ= = = 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)y px p= > 0 2 pPF x= + AB 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1 2,AB x x p x x= + + + - 9 - 16.若函数 在 上是单调减函数，则 的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 函 数 在 上 是 单 调 减 函 数 等 价 于 在 上恒成立，再利用分离变量最值法求解即可. 【详解】解：因为函数 ， 所以 ， 由函数 在 上是单调减函数， 则 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 设 ， 则 ， 当 时， ， 即 ， 即 的取值范围是 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查了函数导函数的求法，重点考查了利用导数研究不等式恒成立问题，属中 档题. ( ) 1lnf x x ax x = + + [ )1,+∞ a 1, 4  −∞ −   ( ) 1lnf x x ax x = + + [ )1,+∞ ( )' 2 1 1 0f x ax x = + − ≤ [ )1,+∞ ( ) 1lnf x x ax x = + + ( )' 2 1 1f x ax x = + − ( ) 1lnf x x ax x = + + [ )1,+∞ ( )' 2 1 1 0f x ax x = + − ≤ [ )1,+∞ 2 1 1a x x ≤ − [ )1,+∞ [ )2 1 1( ) , 1,g x xx x = − ∈ +∞ [ )21 1 1( ) ( ) , 1,2 4g x xx = − − ∈ +∞ 2x = min 1( ) 4g x = − 1 4a −≤ a 1, 4  −∞ −   1, 4  −∞ −   - 10 - 三、解答题 17.已知抛物线 的准线方程为 . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）直线 交抛物线于 、 两点，求弦长 . 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）8. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）依已知得 ，所以 ；（Ⅱ）设 ， ，由 消去 ， 得 ,再利用韦达定理求弦长 . 【详解】（Ⅰ）依已知得 ，所以 ； （Ⅱ）设 ， ，由 消去 ，得 ， 则 ， ， 所以 . 【点睛】本题主要考查抛物线 简单几何性质和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理 解能力掌握水平及其应用能力. 18.已知直线 的参数方程是 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极 轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ． （1）求直线 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程； （2）设圆 与直线 交于 、 两点，若 点的直角坐标为 ，求 的值． 【答案】（1）直线 l 的方程为 ,圆 C 的方程为 （2） 的 2 2 ( 0)y px p= > 1x = − p : 1l y x= − A B AB 12 p = 2p = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 1 4 y x y x = −  = y 2 6 1 0x x− + = AB 12 p = 2p = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 1 4 y x y x = −  = y 2 6 1 0x x− + = 1 2 6x x+ = 1 2 1x x = ( ) ( )2 2 1 2 1 2AB x x y y= − + − ( )2 1 22 x x= ⋅ − ( )2 1 2 1 22 4x x x x= ⋅ + − 2 32 8= ⋅ = l 2 12{ ( ) 2 2 x t t y t = + = − 是参数 x =2 2 cos( )4 πρ θ + l C l A B P (1,0) PA PB+ 1 0x y+ − = ( ) ( )2 21 1 2x y− + + = 6PA PB+ = - 11 - 【解析】 【详解】试题分析： (1)消去参数可得直线 的普通方程为 ，极坐标方程转化为直角坐标方程可得圆 C 的直角坐标方程是 (2)利用题意由弦长公式可得 . 试题解析： 解：（1）∵直线 l 的参数方程是 （ 是参数），∴ ． 即直线 的普通方程为 ． ∵ ，∴ ∴圆 C 的直角坐标方程为 ， 即 或 （2）将 代入 得 ，∴ ． ∴ ． 19.已知函数 . （1）求函数 的单调区间； （2）当 时，求函数 的最大值与最小值. 【答案】（1） 的递增区间是 和 ；递减区间是 ，（2）最大值是 ，最小值是 【解析】 l 1 0x y+ − = ( ) ( )2 21 1 2x y− + + = 6PA PB+ = 2 12 2 2 x t y t  = +  = − t 1 0x y+ − = l 1 0x y+ − = 2 2cos 2cos 2sin4 πρ θ θ θ = + = −   2 2 cos 2 sinρ ρ θ ρ θ= − 2 2 2 2x y x y+ = − 2 2 2 2 0x y x y+ − + = ( ) ( )2 21 1 2x y− + + = 2 12 2 2 x t y t  = +  = − 2 2 2 2 0x y x y+ − + = 2 2 1 0t t− − = 1 2 1 22, 1t t t t+ = ⋅ = − ( )2 1 2 1 2 1 24 6PA PB t t t t t t+ = − = + − ⋅ = ( ) 3 23 9 1f x x x x= + − + ( )f x [ ]4,4x∈ − ( )f x ( )f x ( ), 3−∞ − ( )1,+∞ ( )3,1− 77 4− - 12 - 【分析】 （1）先求导，再解 ， 的解集即可得解； （2）由函数的单调性，先求极值，再求端点值，再比较大小求值域即可. 【详解】解：（1） 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 所以 的递增区间是 和 ；递减区间是 ； （2）由（1）知， 在 ， 上单调递增，在区间 上单调递减， 所以 的极大值为 ，极小值为 ， 又因为 ， ， 所以 的最大值是 ，最小值是 . 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，重点考查了利用函数的单调性求函数的值 域，属基础题. 20.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （2）设直线 与 轴的交点为 A，与 y 轴的交点为 B，P 是曲线 C 上一点，求 面积的最 大值. 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）用消参数法可得曲线 的普通方程，由公式 可化极坐标方程为直角坐标方 ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( ) ( ) ( )( )2 23 6 9 3 2 3 3 3 1f x x x x x x x′ = + − = + − = + − ( ), 3x∈ −∞ − ( ) 0f x′ > ( )f x ( )3,1x∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x ( ), 3−∞ − ( )1,+∞ ( )3,1− ( )f x [ ]4, 3− − [ ]1,4 [ ]3,1− ( )f x ( )3 28f − = ( )1 4f = − ( )4 21f − = ( )4 77f = ( )f x 77 4− xOy C 2 cos sin x y α α = +  = α O x l cos( ) 14 πρ θ − = C l l x PAB∆ ( )2 22 1x y− + = 2x y+ = 2 C cos sin x y ρ θ ρ θ =  = - 13 - 程； （2）求出 两点坐标，得 ， 到直线 的距离的最大值等于圆心到直线 的距离加上 圆的半径，由此可得 面积最大值． 【详解】（1）由 得 ，这是曲线 的普通方程， 由 得 ，∴ ，即 ． （2）由（1）知直线 与坐标轴的交点为 ， ， 圆 方程为 ，圆心为 ，半径为 ，点 在圆 上， 圆心 到直线 的距离为 ， 到直线 的距离的最大值为 ，又 ， ∴ ． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参 数方程用消参数法可化为普通方程，利用公式 可进行极坐标方程与直角坐标方程 的互化． 21.如图，椭圆 ： 的离心率为 ，设 ， 分别为椭圆 的右顶 点，下顶点， 的面积为 1. （1）求椭圆 的方程； ,A B AB P l l ABP∆ 2 cos sin x y α α = +  = 2 2( 2) 1x y− + = C cos( ) 14 πρ θ − = 2 2cos sin 12 2 ρ θ ρ θ+ = 2 2 12 2x y+ = 2x y+ = l ( 2,0)A (0, 2)B C 2 2( 2) 1x y− + = (2,0)C 1r = P C C l 2 0 2 2 1 2 d + − = = − P AB 2h d r= + = 2AB = max 1( ) 2 2 22ABPS∆ = × × = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 A B C OAB∆ C - 14 - （2）已知不经过点 的直线 ： 交椭圆于 ， 两点，且 , 求证：直线 过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意建立 的方程组求解； （2）直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系， ， ， 由已知可知 ，转化为坐标关系，代入根与系数的关系得到 或 ，再验证是否成立，证明直线过定点. 【详解】解：（1）由已知， ， ，可得 ， 又因 ，即 ， 所以 ，即 ， ， 所以椭圆 的方程为 . （2）联立 ，得 ， ，设 ， ，则 ， ， ① 因为 , ，即 即 ， 又 ， ， ， A l ( 0, )y kx m k m R= + ≠ ∈ P Q PA QA⊥ l 2 2 14 x y+ = , ,a b c 1 2 2 8 4 1 kmx x k −+ = + 2 1 2 2 4 4 4 1 mx x k −⋅ = + 0AP AQ⋅ =  1 2k m= − 5 6k m= − 3 2 c a = 2 2 2 21c b a a = − 2 24a b= 1AOBS∆ = 1 12 ab = 2 22( ) 4bb = 2 1b = 2 4a = C 2 2 14 x y+ = 2 2 14 y kx m x y = + + = ( )2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = ( )2 216 1 4 0k m∆ = × + − > 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y 1 2 2 8 4 1 kmx x k −+ = + 2 1 2 2 4 4 4 1 mx x k −⋅ = + PA QA⊥ ∴ 0AP AQ⋅ =  1 1 2 2( 2, ) ( 2, ) 0x y x y− ⋅ − = ( )1 2 1 2 1 22 4 0x x x x y y⋅ − + + ⋅ + = 1 1y kx m= + 2 2y kx m= + ( )2 2 1 2 1 2 1 2y y k x x m km x x= + + + - 15 - 即 ， ② 把①代入②得： 得 或 ， 所以直线 的方程为 或 ， 所以直线 过定点 或 （舍去）， 综上所述直线 过定点 . 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中直线过定点问题，第二 问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达 定理，弦长公式都是解题的基本工具. 22. . （1）当 时，求 的单调区间. （2）当 时， ，求 范围. 【答案】（1）单调增区间为 ，单调减区间为 （2） 【解析】 【分析】 （1）先求导，再解不等式 ， 的解集即可； （2）先求导，再讨论当 时， 当 时，函数在区间 的单调性，然后求最 值即可得解. 【详解】解：（1）当 时， ， ， 令 ，解得 ， 当 时， ， 单调递减； ( ) ( )2 2 1 2 1 21 ( 2) 4 0k x x km x x m+ ⋅ + − + + + = 2 2 2 2 2 24 4 4 4 8 16k m k m k m km− + − − + ( )2 2 2 24 16 4k m k m= − + + + 2 212 16 5 0k km m+ + = 1 2k m= − 5 6k m= − l 1 ( 2)2y m x= − − 5 6 6 5y m x = − −   l 6( ,0)5 (2,0) l 6( ,0)5 ( ) ( )21 lnf x x m x= − + 4m = − ( )f x 1x ≥ ( ) 0f x ≥ m ( )2 + ∞， ( )0 2， 0m ≥ ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ > 0m− ≤ 0m− > [ )1,+∞ 4m = − ( ) ( ) ( )21 4ln 0f x x x x= − − > ( ) ( ) ( )( )22 2 2 1 242 2 x x x xf x x x x x − − + −′ = − − = = ( ) 0f x′ = 2x = 0 2x< < ( ) 0f x′ < ( )f x - 16 - 当 时， ， 单调递增， 即 的单调增区间为 ， 的单调减区间为 . （2）因为 . 当 即 时， 在 上显然恒成立， 所以 在区间 上单调递增， 所以 满足题意； 当 即 时，不妨令 ， 则 ， 又 ，则 ， 令 ，则 则 时， ，即 单调递减， 即 ， 即 不满足题意； 综上可得 的范围为： . 【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题. 2x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x ( )2 + ∞， ( )f x ( )0 2， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 1 2 1 1mf x x x x m xx x ′ = − + = − − − ≥   0m− ≤ 0m ≥ ( ) 0f x′ ≥ [ )1,+∞ ( )f x [ )1,+∞ ( ) ( )1 0f x f≥ = 0m− > 0m < ( )2 1x x m− = − 1 1 2x m= ± − 0m < 1 1 2 1m− − < 1 1 2 1m+ − > 0 1 1 2x m= + − 0 1x > ( )01,x x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( ) ( )0 1 0f x f< = 0m < m 0m ≥ - 17 -