高考数学专题复习（精选精讲）练习4-三角函数方法，公式精选精讲 20页

三角函数方法谈 ‎ 三角函数是数学④的重点内容，也是高考考查的着力点，其中三角函数的概念与性质常以选择题、填空题的形式出现，三角恒等变换常以解答题的形式出现，它们多是容易题或中档题，是不应失分的题目．因为三角函数内容丰富、公式众多，考查形式灵活，其题目也绚丽多姿．本文针对三角函数的六类重、热点问题归纳总结，以巩固所学，提高能力，实现三角函数知识的升级．‎ 一、单调性问题 此类问题主要考查三角函数的增减性，各象限中各个三角函数值的符号等．很多情况下，需要通过三角恒等变换将已知函数式化为一个角的一个三角函数式的形式来求解．‎ 例1（07湖南文）已知函数．‎ 求：函数的单调增区间．‎ 解析：．‎ 当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．‎ 点评：①在求单调区间时，要注意利用诱导公式、特殊角三角函数值、两角和与差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．利用三角公式将所给函数化为一个角的三角函数。②在求的单调区间时还应注意的正、负，同学们可以自己求一下的单调递减区间，并与本例所求得的区间对比一下．‎ 二、根据三角函数性质确定函数解析式问题 这类问题主要考查三角函数图象的性质以及识图的能力.关键是根据图象的位置求出相关参数A，，等。‎ 例2（江西）‎ ‎ 如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．‎ 解析：（1）将，代入函数，因为，所以．‎ 由已知，且，得．‎ ‎（2）因为点，是的中点，．所以点的坐标为．‎ 又因为点在的图象上，且，所以，‎ ‎，从而得或，即或．‎ 解析：本题主要考查三角函数图象的性质以及识图的能力.解决本题的关键是在于根据图象性质确定所给函数中的参数的值，根据题意图象与轴相交于点建立等式关系凭借的限制条件就能确定的值；本题的第二问实际是已知三角函数值求角问题，利用中点公式借助点将点表示出来代入函数式，凭借特殊角的三角函数值求角即可.‎ 三、求值与证明问题 此类题是高考中出现较多的题型，要求同学们掌握从题设条件入手、以题目结论或要求为目标，正确运用各类三角公式，消除角的差异，实现函数名称的转化，达到解（证）题的目的．‎ 深刻理解三角函数的概念，熟练掌握各类三角公式，熟悉三角恒等变换的常用思想方法和变换技巧，是解决问题的关键．‎ 例3（2007四川）已知cosα=,cos(α-β)＝，且0<β<α<,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β.‎ 解析：（Ⅰ）由，，得．∴．‎ 于是．‎ ‎（Ⅱ）由，得．‎ ‎　又∵，∴．由，得 ‎，∴．‎ 点评：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力．根据已知求解具有限制条件角的三角函数值时，首先确定所求角的范围，然后适当进行角的变换利用三角公式进行求值即可.‎ 四、最值或值域问题 这是在考试中出现频率很高的一类题型，要求掌握基本的三角公式和正弦、余弦等基本三角函数的值域．解题时，常常进行降次处理，尽量将异名三角函数化为同名三角函数，将不同的角化为相同的角．‎ 例4（2007湖北理）已知的面积为，且满足0≤≤，设和的夹角为．（I）求的取值范围；‎ ‎（II）求函数的最大值与最小值．‎ 解析：（Ⅰ）设中角的对边分别为，‎ 则由，，可得，．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎．‎ ‎，，．即当时，；当时，．‎ 点评：本题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．‎ 五、实际应用问题 ‎　　这类问题主要考查利用三角函数的性质及三角恒等变换解决有关实际应用问题．解题的关键是利用三角函数表示出各有关元素，从而建立起函数关系．‎ 例5（2007海南）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．‎ 解：在中，．‎ 由正弦定理得．所以．‎ 在中，．‎ 点评：本题考查正弦余弦定理应用及应用所学知识解决实际问题的能力.解三角形应按照由易到难的顺序来求解，选用边角时尽量避免复杂运算，有时需要对一些复杂图形特殊处理，平面几何知识“功不可没”.‎ 例6如图，扇形AOB的半径为1，中心角为600,PQRS是扇形的内接矩形，问P在怎样的位置时，‎ 矩形PQRS的面积最大？并求出这个最大值。‎ ‎．连接OP，设 于是 S矩形=(cosx-sinxcot600)sinx=‎ ‎ = 因为 x 所以当 S矩形max=.‎ 三角函数问题解法六种 ‎　　三角函数中，以公式多而著称．解题方法也较灵活，但并不是无法可寻，当然有它的规律性，近几年的高考中总能体现出其规律性．而对三角函数的考查解法，归纳起来主要有以下六种方法：‎ 一． 平方法 观察问题的条件和所求结论，是同角三角函数正余弦代数和形式或正余弦积的形式，可考虑将代数和取平方．这样能有机地将和差与乘积结合起来，从而顺利求解．‎ 例：已知且，是方程的两根，求的值．‎ 解析：由韦达定理得：‎ ‎　　　得：，或 ‎　　又原二次方程满足，或 ‎　　舍去得 注：解决数学问题应掌握一些基本的技能，如“取平方”，“取对数”，“取倒数”等技巧，以提高解题能力．‎ 二． 降幂法 涉及高次三角函数化简问题，常通过平方关系，倍角关系降幂得到解答．‎ 例：已知，则　　　　　（　　　）‎ A．　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ 解析： ，‎ ‎　　　，，，选A.‎ 注：本题降幂是一个重要环节，有很多涉及三角函数的化简、求值、性质等题目，入门的关键是恰当运用平方关系，如和倍角公式如，，等．‎ 三． 凑角法 还有一些求值问题，通过观察角之间的关系，恰当构造角使之与特殊角和其它角联系起来，能找出解答途径．‎ 例：已知，且，，求的值．‎ 解析：由得，从而 ‎　　　由得，从而 ‎　　　‎ 注：三角函数的求值其重要的一环是扫除角的差异、函数名称的差异、式子结构的差异．而凑角法是扫除这三个差异的重要方法．‎ 一． 换元法 解三角函数中的复合函数问题时，抓住特点巧妙换元可将复杂问题简单化．‎ 例：已知函数，求函数的最大值和最小值．‎ 解析：令，则可得由，得 原函数为，又在上单增．‎ 注：进几年高考热衷于复合三角函数问题，通过换元将三角函数式变形转化为其它常见的非三角函数问题，如转化为二次函数问题，这样会得到意想不到的效果．‎ 二． 讨论法 当涉及正负取舍或含参等的三角函数问题，往往要讨论作取舍．‎ 例：已知中，，求的值．‎ 解析：由得．当时，，‎ ‎　　　据余弦函数的单调性得：．‎ 但　．‎ ‎　　　当时，符合题意，故．‎ 注：讨论法是将问题化整为零，化难为简的重要方法，一般在用平方关系涉及象限角问题或含有绝对值的三角函数问题等，都得加以讨论．‎ 三． 图象法 在解决三角函数问题时，有时要借助图象才能更好地解决相应问题．‎ 例：设，若函数在上单调递增，求的取值范围． ‎ 解析：如图（右），据三角函数的图象及其性质 　　　２‎ 知在上单增． ‎ ‎　　　应该为的子区间．‎ ‎　　　　　　．‎ 注：三角函数的很多问题涉及图象，如能充分借助图象，进行直观分析，数形结合常能快捷解答问题．‎ 三角函数求值 ‎ 角的错觉.1 代数变形中扩大了角的范围.‎ ‎ ‎ ‎【错解】‎ 由已知条件相加解出，‎ ‎【辨析及对策】‎ ‎【正解】‎ ‎2几种角的概念不清.‎ ‎ ‎ ‎【错解】 ‎ 由余弦函数在第三象限是增函数，由已知用单调性可选A.‎ ‎【辨析及对策】‎ ‎ 角的概念不清，误将象限角看成区间角用单调性.‎ ‎【正解】‎ 可取特值排除A，B，C选D.‎ ‎3以偏概全.‎ ‎.‎ ‎【错解】‎ ‎【辨析及对策】‎ ‎ ‎ ‎【正解】‎ ‎4 忽视缩小角的范围.‎ ‎【错解】‎ ‎ ‎ ‎【辨析及对策】‎ 上述求解中忽略单角的范围的讨论导致两解，事实上，‎ ‎【正解】‎ 给值求角中先缩小角的范围“越小越好”，再选函数算值，利用单调性定角，可避免错误，‎ 误区警示二： ‎ ‎ 忽略隐含条件挖掘.‎ ‎1 忽略对隐含条件的挖掘.‎ ‎.‎ ‎【错解】‎ ‎【错因辨析及对策】‎ 忽略角的隐含条件的挖掘，平方使不等式扩大范围产生增解.‎ ‎【正解】‎ 事实上，由单位圆和三角函数定义和 或用辅助角化为一个角的正弦不等式求解避免出错 ‎ ‎2 误用判别式.‎ ‎ ‎ ‎【错解】‎ ‎【错因辨析及对策】 ‎ 原方程化为关于t的二次方程时，并非等价变换，因为原方程对一个正弦值都有两个自变量和它对应，换元后化归为二次方程根的分布求解可避面出错。‎ ‎【正解】‎ ‎3 误用用有界性.‎ ‎ ‎ ‎【四种错解成因探究及辨析】‎ ‎ 以上四种解法都是错误或不完备的，错因探究如下：‎ ‎【正解】‎ 用正、余弦函数的有界性确定最值时，一定要求得取最值时的自变量的值，检验自变量的值是不是在定义域内，能否是正、余函数取得最值。常常利用有界性有界性构建不等式组求交集可避免出错.‎ 构建不等式求交集 诱导公式 一、化简求值 直接利用诱导公式进行化简与求值，通常遵循的基本要领是：“奇变偶不变，符号看象限”，在解题中要充分体会和熟练运用公式．‎ 例1　已知，求．‎ 解析：首先利用，求出．再将所给式子利用诱导公式进行化简，再由“弦化切”，进而求值．‎ 由于．‎ 二、整体运用 整体观察角的结构特征，将所求的三角函数值中的角，转化为所给角与特殊角的和与差的形式，实现由未知向已知的转化．‎ 例2　（1）已知，求的值；‎ ‎（2）已知，又知是第三象限角，求的值．‎ 分析：首先对所求三角函数与已知的三角函数中的角作比较，采用整体分析的方法，建立角与角之间的联系．因为，，，，所以，运用诱导公式可以将（1）、（2）两个小题顺利的解决．‎ 解：（1），‎ ‎，‎ 所以，原式．‎ ‎（2），又由于是第三象限角，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ‎ ‎，‎ ‎∴原式．‎ 点评：角度的整体观察和角的常用变换技巧的灵活运用，是解决三角问题的灵魂．‎ 三、分类讨论 有些诱导公式，直接运用不方便时，需要对整数k进行分类讨论．‎ 例3　已知，求的值域．‎ 分析：这类问题的求解一般从化简开始，整个过程既需要用到诱导公式又需要用到同角三角函数的关系式，还必须对整数k进行分类讨论．‎ 解：当，时，‎ ‎．‎ 当，时， ‎ 综上，当k为整数时，的值域为．‎ 点评：当三角函数中含有时，不能直接运用诱导公式变形，需对k分奇、偶两类进行讨论．‎ 变量替换法 巧解数学三角题 在三角函数问题中，通过引人变量进行替换，把问题转化成对新变量的讨论。这种替换可以架起已知通向未知的桥梁，转化原问题的结构，简化解题过程。替换如果用的巧妙，还可以收到事半功倍的效果。‎ 一、代数替换 通过替换把三角问题转化为代数问题进行讨论，这样可以避开解三角函数式题的麻烦，达到化繁为简、化难为易的目的。‎ 例1求cos36°-cos72°的值。‎ 解：设x=cos36°，y=cos72°，由得，‎ 又，则。‎ 因为，‎ 所以x+y≠0所以，即。‎ 例2已知a>0，求y=(sinx+a)(cosx+a)的最大值与最小值。‎ 解：，‎ 设sinx+cosx=t，则且，代入已知式得：。‎ ‎（1）若，则当t=-a时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为。‎ ‎（2）若，则当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为。‎ 二、整体替换 用整体替换解一些三角习题，即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换。‎ 例3已知，求cosx+cosy的变化范围。‎ 解：设u=cosx+cosy，将已知式与待求式两边平方得：‎ ‎，（1）‎ ‎。（2）‎ ‎（1）+（2）得：，即，‎ 因为，‎ 所以，‎ 解得。‎ 所以。‎ 三、引入参数 通过引入参变量调节命题结构，把问题转化为对参变量的讨论。‎ 例5已知，其中，求tanθ。‎ 解：设，，则 ‎，解得：。若，则，不合题意，舍去。‎ 若，则，，故。‎ 例6求函数的最大值与最小值。‎ 解：设，cosx=s-t，由，得，‎ 因为，所以。‎ 于是有，‎ 因为，‎ 所以。‎ 所以函数y的最大值为，最小值为。‎ 四、降次换元 如果所求问题的条件或结论中的各项次数较高，可用“代换法”达到降次的目的，这是简化问题的最佳策略。‎ 例7已知，求证：‎ 证明：设，，，则已知条件式化为 ‎，化简即得：ab=c。‎ 所以。‎ 例8已知，求证：。‎ 证明：设，，则由得：，即，化简得：，即a=b，所以有。‎ 故。‎ 五、三角替换 对于有些三角问题，如果能依据其特征，合理地引入三角替换，把问题结构转化，这样解题构思别致，解题过程简捷巧妙。‎ 例9求函数的值域。‎ 解：由题意知：，即。‎ 设，其中，则。‎ 当时，，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 即。‎ 当时，，因为，，‎ 所以，即。‎ 综上述，所求函数的值域为。‎ 例10锐角α、β满足条件，求证。‎ 证明：由已知可设：，‎ 则，（1）‎ ‎，（2）‎ ‎（1）+（2）得：‎ ‎，所以，‎ 所以，‎ ‎，‎ 因为α、β为锐角，所以，‎ 所以，即有。‎ 例11已知，求证：。‎ 证明：由已知可设：，，‎ 则，（1）‎ ‎，（2）‎ ‎（1）-（2）得：‎ ‎，整理、变形又得：‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以。‎ 向量与三角综合题分类解析 平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。下面举列说明。‎ 一、求三角式的值 例1. 设（0，），，a与c的夹角为与c的夹角为，且，求的值。‎ 解析：因为 又因为与的夹角为，所以 又 而与的夹角为，所以 又 所以 所以 二、求两向量所成的角 例2. 已知，其中。‎ ‎（1）求证：与互相垂直；‎ ‎（2）若与（）的长度相等，求。‎ 解析：（1）因为 所以与互相垂直。‎ ‎（2）‎ 所以 因为 所以 有 因为，故 又因为 所以 三、判断三角形的形状 例3. 已知在△ABC中，，且，判断△ABC的形状。‎ 解析：因为 所以 所以 所以由向量的夹角公式，得：‎ 所以A＝60°，又 所以△ABC为等边三角形。‎ 四、求向量的模 例4. △ABC中，三个内角分别是A、B、C，向量，当时，求。‎ 解析：因为，则 又，即所以所以，故 五、其它综合问题 例5. 若向量，试判断数列是等差数列还是等比数列？‎ 解析：因为 所以 所以数列是等差数列。‎ 三角形中的三角习题汇编 ‎1.在中，，，，求的值和的面积 ‎3、解法一：∵sinA+cosA=cos(A－45°)=，∴cos(A－45°)= ‎ 又0°0, cosA<0.‎ ‎∵ ∴ ②‎ ‎①+②得： . ①--②得：‎ ‎∴ (以下同解法一)‎ 解法三：∵sinA+cosA= ∴(sinA+cosA)2=， ∴2sinAcosA=－ ∴sin‎2A=‎ 又∵00