【数学】2020届一轮复习北师大版三角恒等变换与解三角形作业 6页

一、选择题(本题共6个小题，每小题5分，共30分)‎ ‎1．(2018·德州二模)若cos＝，则sin 2α＝ ‎ A.　　　　B.　　　　 C．－　　　　D．－ 解析　因为cos＝，sin 2α＝cos＝2cos2－1＝－.‎ 答案　D ‎2．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝‎ A．4 B. C. D．2 解析　因为cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A.‎ 答案　A ‎3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是 A．3 B. C. D．3 解析　c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6，①‎ ‎∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②‎ 由①和②得ab＝6，‎ ‎∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.‎ 答案　C ‎4．(2018·阜阳模拟)已知cos＝，则cos＋sin2的值为 A．－ B. C. D．－ 解析　cos＋sin2＝－cos＋sin2 ‎＝1－2cos2＋1－cos2＝2－3cos2＝.‎ 答案　C ‎5．(2018·广东七校联考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin ‎ A＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为 A. B. C．2 D．2 解析　因为△ABC为锐角三角形，sin A＝，‎ 所以cos A＝.由S△ABC＝bcsin A＝，得bc＝3.①‎ 由cos A＝得b2＋c2＝6，②‎ 联立①②，解得b＝，故选A.‎ 答案　A ‎6．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝‎ A. B. C. D. 解析　因为a＝2，c＝，‎ 所以由正弦定理可知，＝，故sin A＝sin C.‎ 又B＝π－(A＋C)，‎ 故sin B＋sin A(sin C－cos C)‎ ‎＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ‎＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ‎＝(sin A＋cos A)sin C＝0.‎ 又C为△ABC的内角，‎ 故sin C≠0，‎ 则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.‎ 又A∈(0，π)，所以A＝.‎ 从而sin C＝sin A＝×＝.‎ 由A＝知C为锐角，故C＝.‎ 答案　B 二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)‎ ‎7．(2018·北京)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；‎ eq f(c,a)的取值范围是________．‎ 解析　△ABC的面积S＝acsin B＝(a2＋c2－b2)＝×2accos B，所以tan B＝，因为0°<∠B<180°，所以∠B＝60°.因为∠C为钝角，所以0°<∠A<30°，所以02，故的取值范围为(2，＋∞)．‎ 答案　60°　(2，＋∞)‎ ‎8．(2018·福州综合质检)‎ 如图，小明在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：≈1.414，≈2.236.‎ 解析　因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，所以v＝≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.‎ 答案　22.6‎ 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)‎ ‎9．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.‎ ‎(1)求cos∠ADB；‎ ‎(2)若DC＝2，求BC.‎ 解析　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝.‎ 由题设知，＝，所以sin∠ADB＝.‎ 由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝＝.‎ ‎(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.‎ 在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC ‎＝25＋8－2×5×2×＝25.‎ 所以BC＝5.‎ ‎10．(2018·巴蜀质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(ccos C，1)，n＝(2，acos B＋bcos A)，且m⊥n.‎ ‎(1)若c2＝7b2，S△ABC＝2，求a，b的值；‎ ‎(2)若λsin Acos A＝sin A＋cos A，求实数λ的取值范围．‎ 解析　(1)∵m⊥n，∴m·n＝2ccos C＋acos B＋bcos A＝0，‎ 由正弦定理得2sin Ccos C＋sin Acos B＋sin Bcos A＝0，‎ ‎∴2sin Ccos C＝－sin(A＋B)＝－sin C.‎ 又C∈(0，π)，sin C≠0，‎ ‎∴cos C＝－，∴C＝.‎ 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，‎ 又c2＝7b2，∴a2－6b2＋ab＝0，‎ ‎∴a＝2b或a＝－3b(舍去)，‎ 又S△ABC＝absin C＝2，∴ab＝8，∴a＝4，b＝2.‎ ‎(2)由(1)得A为锐角，故sin Acos A≠0.‎ 又λsin Acos A＝sin A＋cos A，‎ ‎∴λ＝，‎ 设t＝sin A＋cos A＝sin，‎ ‎∵A∈，∴1