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- 2021-06-15 发布
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命题角度 5.4:圆锥曲线的最值范围问题
1. 已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 3
2
,短轴长为 2.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)设直线 :l y kx m 与椭圆 C 交于 ,M N 两点, O 为坐标原点,若 5
4OM ONk k ,求
原点O 到直线l 的距离的取值范围.
【答案】(1)
2
2 14
x y ;(2) 2 140, 7
(2)设 1 1,M x y , 2 2,N x y ,联立 2
2{
14
y kx m
x y
得 2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m ,
依 题 意 , 2 2 28 4 4 1 4 4 0km k m , 化 简 得 2 24 1m k , ① ,
1 2 2
8
4 1
kmx x k
,
2
1 2 2
4 4
4 1
mx x k
,
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2y y kx m kx m k x x km x x m ,若 5
4OM ONk k ,则 1 2
1 2
5
4
y y
x x
,
即 1 2 1 24 5y y x x , ∴ 2 2
1 2 1 2 1 24 4 4 5k x x km x x m x x , ∴
2
2 2
2 2
4 1 84 5 4 4 04 1 4 1
m kmk km mk k
, 即
2 2 2 2 2 24 5 1 8 4 1 0k m k m m k ﹣ ,化简得 2 2 5
4m k ,②,由①②得 2 60 5m ,
21 5
20 4k , ∵ 原 点 O 到 直 线 l 的 距 离
21
md
k
, ∴
2
2
2
2 2 2
5
94 11 1 4 1
kmd k k k
,又∵ 21 5
20 4k ,∴ 2 80 7d ,∴原点 O 到直
线l 的距离的取值范围是 2 140, 7
2.已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 3
2
,短轴长为 2 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;
(Ⅱ)若圆 2 2: 1O x y 的切线 l 与曲线 E 相交于 A 、 B 两点,线段 AB 的中点为 M ,求
OM 的最大值.
【答案】(Ⅰ)C 的标准方程
2
2 14
x y (Ⅱ) OM 的最大值等于 5
4
【解析】试题分析:(1)待定系数法求椭圆方程;(2)借助韦达定理表示 OM 的最大值,利用二
次函数求最值.
试题解析:
(I) 2 2b ,所以 1b ,又
2 2 3
2
a b
a
,解得 2a .
所以椭圆 C 的标准方程
2
2 14
x y .
(II)设 1 1,A x y , 2 2,B x y , 0 0,M x y ,易知直线l 的斜率不为0 ,则设 :l x my t .
因为l 与圆O 相切,则
2
1
1
t
m
,即 2 2 1t m ;
由
2 24 4{ x y
x my t
消去 x ,得 2 2 24 2 4 0m y mty t ,
则 2 2 2 2 2 2=4 4 4 4 16 4 48 0m t t m m t , 1 2 2
2
4
mty y m
,
0 2 4
mty m
, 0 0 2
4
4
tx my t m
,即 2 2
4 ,4 4
t mtM m m
,
2 2 2 22 2
2
2 22 2 2 2
16 1 164
4 4 4 4
t m m mt mtOM m m m m
,
设 2 4x m , 则 4x ,
2
2
2 2
3 12 36 9 1 1 25 251 36 8 16 16
x xOM x x x x
,
当 8x 时等号成立,所以 OM 的最大值等于 5
4
.
3. 如图,已知椭圆 E :
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率为 2
2
, A 、 B 为椭圆的左右顶
点,焦点到短轴端点的距离为 2, P 、Q 为椭圆 E 上异于 A 、B 的两点,且直线 BQ 的斜率
等于直线 AP 斜率的 2 倍.
(Ⅰ)求证:直线 BP 与直线 BQ 的斜率乘积为定值;
(Ⅱ)求三角形 APQ 的面积 S 的最大值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 32
9
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由椭圆的方程可得点 P,A,B 的坐标,利用两点式求直线斜率的方法
可 求 出 BP,BQ 的 斜 率 乘 积 为 定 值 -1 ;( Ⅱ ) 当 直 线 PQ 的 斜 率 存 在 时 ,
216 7 149 2 2APQS t t
, 20 1t t , 32
9APQS ,当直线 PQl 的斜率 k 不存在时,
1 8 8 32
2 3 3 9APQS ,故综合 ΔAPQS 的最大值为 32
9
.
试题解析:
(Ⅰ)
2 2
14 2
x y .
1
2AP BPk k ,故 1BP BQk k .
2y kx k 或 2
3y kx k ,所以过定点 2,0 或 2 ,03
,
点 2,0 为右端点,舍去,
1 2
1
2APQ APM AQMS S S OM y y
2 2 2 2 2
2 22 2
8 2 4 16 98 16
3 92 1 2 1
k k b k k
k k
22 2
16 7 1 149 2 2 1 2 2 1k k
,
令 2
1
2 1 tk
( 0 1t ),
216 7 149 2 2APQS t t
, 20 1t t , 32
9APQS ,
当直线 PQl 的斜率 k 不存在时, 1 1,P x y , 1 1,Q x y ,
1
2AP BQk k ,即 1 1
1 1
2
2 2
y y
x x
,解得 1
2
3x , 1
4
3y ,
1 8 8 32
2 3 3 9APQS ,
所以 APQS 的最大值为 32
9
.
4 已知椭圆 :E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1F 、 2F , A 为椭圆 E 的右顶点,
B , C 分别为椭圆 E 的上、下顶点.线段 2CF 的延长线与线段 AB 交于点 M ,与椭圆 E 交
于点 P .(1)若椭圆的离心率为 2
2
, 1PFC 的面积为 12,求椭圆 E 的方程;(2)设
2 1ΔS CMF CPFS ,求实数 的最小值.
【答案】(1)
2 2
118 9
x y (2) 2 2 2
试题解析:解:(1) 1 2FCF 是等腰直角三角形,由勾股定理知,
2 2 2
1 1| | | |PF CF CP 22 2
1 2| |PF a a PF 22 2
1 1| | 3PF a a PF 解得,
1
5a
3PF , 2 3
aPF , 4
3
aPC ,
则
1
1 4 122 3PF C
aS a ,即 2 18a , 2 9b .
所以椭圆 E 的方程为
2 2
118 9
x y .
(2)设 ,P x y ,因为直线 AB 的方程为 by x ba
,直线 PC 的方程为 by x ba
,
所以联立方程解得 2 ,ac ab bcM a c a c
.
因为
1 1CMF CPFS S ,所以 CM CP ,所以CM CP ,
所以 2 , ,ac ab bc x y ba c a c
,所以
2acx a c
, 2ab b a cy a c
,
代入椭圆 E 的方程,得
22
2 22 2
24 1
a a cc
a c a c
,
即 224 2c a a c 22 a c ,
所以
2 2 21
1
a c e
a a c e
2 21 2 2 1 21 1e ee e
=2 2 2 ,
因为 0 1e 所以1 1 2e ,所以当且仅当 1 2e 即 2 1e 时,
取到最小值 2 2 2 .
5.已知点 M 是圆心为 E 的圆 2 23 16x y 上的动点,点 3,0F ,线段 MF 的垂直
平分线交 EM 于点 P .
(1)求动点 P 的轨迹C 的方程;
(2)矩形 ABCD 的边所在直线与曲线C 均相切,设矩形 ABCD 的面积为 S ,求 S 的取值范
围.
【答案】(1)
2
2 14
x y ;(2) 8 10S .
【解析】试题分析:(1)利用定义法求椭圆的轨迹方程;(2)设 AB 的方程为 1y k x m ,
CD 的方程为 1y k x m ,直线 AB 与 CD 间的距离为 1 2
1
2
1
md
k
,直线 BC 与 AD 间的
距离为 2 2
2
2
1
nd
k
,
2 2
21 2
1 2
2
2 2 94 4
11 1 2
m nS
k k k k
,从而得到 S 的范围.
(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时,易得 8S ;
②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时,其四边所在直线的斜率存在且不为 0,
设 AB 的方程为 1y k x m , BC 的方程为 2y k x n ,则 CD 的方程为 1y k x m , AD
的方程为 2y k x n ,其中 1 2 1k k ,
直线 AB 与 CD 间的距离为
1 2 2
1 1
2
1 1
m m md
k k
,
同理直线 BC 与 AD 间的距离为
2 2 2
2 2
2
1 1
n n nd
k k
,
所以 1 2 2 2
1 2
2 2 *
1 1
m nS d d
k k
2
2
2 2 2
1 1
1
1 1{ 2 1 04 4
x y k x k mx m
y k x m
,
因 为 直 线 AB 与 椭 圆 相 切 , 所 以 2 2
14 1 0k m , 所 以 2
14 1m k , 同 理
2
24 1n k ,
所以
2 2 2 22 2
1 2 1 21 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
4 16 4 14 4 1 4 1
1 1 1
k k k kk kS
k k k k k k
2 2
1 2
2 2
1 2
4 17 4
2
k k
k k
2 2
21 2
1 2
2
9 94 4 4 4
2 12k k k k
,
2
1 2
1
1 2k k
(当且仅当 1 1k 时,不等式取等号),
所以 94 4 4 42 2S
,即8 10S ,
由①②可知, 8 10S .
6.已知椭圆
2 2
2 2: 1x yC a b
( 0a b )的右焦点为 F ,过椭圆 C 中心的弦 PQ 长为 2,且
090PFQ , PQF 的面积为 1.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设 1 2,A A 分别为椭圆C 的左、右顶点, S 为直线 2 2x 上一动点,直线 1A S 交椭圆C
于点 M ,直线 2A S 交椭圆于点 N ,设 1 2,S S 分别为 1 2A SA , MSN 的面积,求 1
2
S
S
的最大
值.
【答案】(1)
2
2 12
x y (2)见解析
【解析】试题分析:
(1)由题意求得 1, 1c b ,则椭圆方程为
2
2 12
x y ;
(2) 由 题 意 求 得 面 积 比 值 的 解 析 式
1 2
22 2
2 2
A SA 1 2
22 2 2MSN
t 9 3t 3
2S SA ·SA t 9 t 1 1 4· ·S SM·SN t 3 t 3 3 3t 3
, 当 且 仅 当
2 29 3 3t t ,即 3t 时取“ ”.
试题解析:
解:
(2)设直线 1
3 2: 2A S x yt
,代入 2 22 2x y 中,
得 2
2
18 122 0y yt t
,解得 1 2
6
9
ty t
同理,设直线 2
2: 2A S x yt
,带入 2 22 2x y 中,
得 2
2
2 42 0y yt t
,解得 2 2
2
1
ty t
1 2
2 2
1 2
2 2
· 9 1·· 3 3
A SA
MSN
S SA SA t t
S SM SN t t
22 2
22
9 3 3
2 1 4·3 33
t t
t
当且仅当 2 29 3 3t t ,即 3t 时取“ ”
7. 已知圆 ,点 是圆 上任意一点,线段 的垂直平分线交 于点 ,
当点 在圆上运动时,点 的轨迹为曲线 .
(Ⅰ)求曲线 的方程;
(Ⅱ)若直线 与曲线 相交于 两点, 为坐标原点,求 面积的最大值.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
【 解 析 】 试 题 分 析 :( 1 ) 由 垂 直 平 分 线 的 几 何 意 义 可 知 ,
,满足椭圆的定义。(2)直线 与椭圆组方程组,
由 韦 达 定 理 、 弦 长 公 式 和 点 到 直 线 的 距 离 公 式 , 可 求 得
.由 ,得 及均值不等式可求得 面积的最大
值.
(Ⅱ)设 .
联立 消去 ,得 .
此时有 .
由一元二次方程根与系数的关系,得
, .
∴ .
∵原点 到直线 的距离 ,
∴ .
由 ,得 .又 ,∴据基本不等式,得
.
当且仅当 时,不等式取等号.
∴ 面积的最大值为 .
8.已知点 1,0F ,点 A 是直线 1 : 1l x 上的动点,过 A 作直线 2l , 1 2l l ,线段 AF 的垂
直平分线与 2l 交于点 P .
(1)求点 P 的轨迹C 的方程;
(2)若点 ,M N 是直线 1l 上两个不同的点,且 PMN 的内切圆方程为 2 2 =1x y ,直线 PF 的
斜率为 k ,求 k
MN
的取值范围.
【答案】(1) 2 4y x ;(2) 10, 2
.
【解析】试题分析:(1)利用抛物线定义求解即可;
(2)设出 PMN 的三个顶点的坐标,表示出 ,PM PN 的解析式,化简之后可得 ,m n 为关于
t 的方程 2
0 0 01 2 1 0x t y t x 的两根,然后由韦达定理表示 MN 的长度,最后在 PF
中消去参数 ,m n ,故可以得到 k
MN
的取值范围.
试题解析: (1)据题设分析知,点 P 的轨迹 C 是以点 1,0F 为焦点,直线 1 : 1l x 为准线
的抛物线,所以曲线C 的方程为 2 4y x .
(2)设 0 0,P x y ,点 1,M m ,点 1,N n ,
直线 PM 的方程为 0
0
11
y my m xx
,
化简,得 0 0 0 01 1 0y m x x y y m m x ,
又因为 PMN 内切圆的方程为 2 2 1x y .
所以圆心 0,0 到直线 PM 的距离为 1,即
0 0
2 2
0 0
1
1
1
y m m x
y m x
,
所以 2 2 2 22
0 0 0 0 0 0+ 1 2 1 1y m x y m m y m x m x ,
由题意,得 0 1x ,所以 2
0 0 01 2 1 0x m y m x .
同理,有 2
0 0 01 2 1 0x n y n x ,
所以 ,m n 是关于t 的方程 2
0 0 01 2 1 0x t y t x 的两根,
所以 00
0 0
12 ,1 1
xym n mnx x
因为
所以
2
2 00
2
00
4 14= 4 11
xyMN m n m n mn xx
.
因为 2
0 0 0 04 , 2y x y x ,
所以
2
00 0 0
2 2
00 0
4 116 4 1= 211 1
xx x xMN xx x
.
直线 PF 的斜率 0
0 1
yk x
,则 00
0 0
2=1 1
xyk x x
,
所以 0
2
0 0
0
0
1
14 1 4
k x
MN x x x x
.
因为函数 1y x x
在 1, 上单调递增,所以当 0 1x 时, 0
0
1 0x x
,
所以
0
0
1 10 1 44x x
,所以
0
0
1 10 1 24x x
,
所以 10 2
k
MN
.所以 k
MN
的取值范围是 10, 2
.
9. 如下图,已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的上顶点为 A ,左、右顶点为 B C、 ,右焦点为
F , 3AF ,且 ABC 的周长为 14.
(I)求椭圆的离心率;
(II)过点 4,0M 的直线 l 与椭圆相交于不同两点 P Q、 ,点 N 在线段 PQ 上.设
MP MQ
PN QN
,试判断点 N 是否在一条定直线上,并求实数λ的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 2
3e ;(Ⅱ) 4 ,3
.
试题解析:
(I)由 2 2 2 2| |AF b c a ,得 3a ,
ABC 的周长为 2 14AC a ,即 2 2 7b a a ,得 2 7b ,
所以 2c ,椭圆的离心率为 2
3e ;
(II)显然直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 4y k x ,
设 P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),
由 MP MQ
PN QN
,得 1 2
0 1 2 0
y y
y y y y
,化简得 1 2 0 1 22y y y y y ①,-----6 分
由
2 2
4 ,
{
1.9 7
y k x
x y
消去 x,得 2 2 29 7 56 49 0k y ky k ,
得 1 2 2
56
9 7
ky y k
,
2
1 2 2
49
9 7
ky y k
,
代入①式得 0
7
4y k ,由 0 0 4y k x 得 0
9
4x ,
01
1 0 1 0
1
7
44 41 1 9
4
MP xx
PN x x x x x
,
因为 1
9 34 x ,得 1
9 30 4 4x ,所以 7 41 3 3
,
因此,N 在一条直线 9
4x 上,实数 4 ,3
.
【法二:显然直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 4y k x ,不妨设 0k ,
设 P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0), 2 1y y ,
由 MP MQ
PN QN
,得 1 2
0 1 2 0
y y
y y y y
,化简得 1 2 0 1 22y y y y y ①,6 分
由 1 0 1y y y , 2 2 0y y y ,得 1 2 2 1y y y y ②,
由
2 2
4 ,
{
1.9 7
y k x
x y
消去 x,得 2 2 29 7 56 49 0k y ky k ,
可知 2 2 256 4 9 7 49k k k 2 249 36 1 0k k ,
得 1 2 2
56
9 7
ky y k
,
2
1 2 2
49
9 7
ky y k
, 1,2 2
56
2 9 7
ky
k
,
代入①式得 0
7
4y k ,由 0 0 4y k x 得 0
9
4x ,
由②式得 2
56
9 7
k
k
29 7k
,得
2 2
56 4 4
342 1 3 1
k
k k k
,
因此,N 在一条直线 9
4x 上,实数 4 ,3
.
法三:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0), 2 1x x ,由 MP MQ
PN QN
,
得 , ,MP PN MQ QN
所以
0
1
0
1
0
2
0
2
4
1
1
4
1
1
xx
yy
xx
yy
,将 1 1,A x y , 2 2,B x y 代入椭圆方程得
上面两式相减化简得 0
9
4x
01
1 0 1 0
1
7
44 41 1 9
4
MP xx
PN x x x x x
,
因为 1
9 34 x ,得 1
9 30 4 4x ,所以 7 41 3 3
,
因此,N 在一条直线 9
4x 上,实数 4 ,3
.
点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是
一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最
终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,
尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.
10.平面直角坐标系 中,已知椭圆 : 的离心率为 ,左、右焦
点分别是 . 以 为圆心以 3 为半径的圆与以 为圆心 1 为半径的圆相交,且交点在椭
圆 上.
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ )设椭圆 为椭圆 上任意一点,过点 的直线 交椭
圆 于 两点,射线 交椭圆 于点 .
( i )求 的值;
(ii)求△ 面积的最大值.
【答案】(I)
2
2 14
x y ;(II)( i )2;(ii) 6 3 .
(II)由(I)知椭圆 E 的方程为
2 2
116 4
x y
(i)设 0 0,P x y , OQ
OP
,由题意知 0 0,Q x y
因为
2
20
0 14
x y
又 2 2
0 0 116 4
x y ,即
22
20
0 14 4
x y
所以 2 ,即 2OQ
OP
(ii)设 1 1 2 2, , ,A x y B x y
将 y kx m 代入椭圆 E 的方程,
可得 2 2 21 4 8 4 16 0k x kmx m
由 0 ,可得 2 24 16m k …………………………①
则有
2
1 2 1 22 2
8 4 16,1 4 1 4
km mx x x xk k
所以
2 2
1 2 2
4 16 4
1 4
k mx x k
因为直线 y kx m 与轴交点的坐标为 0,m
所以 OAB 的面积
2 2
2 2 2
2 16 41
2 1 4
k m mS m x x k
2 2 2 2 2
2 2 2
2 (16 4 ) 2 41 4 1 4 1 4
k m m m m
k k k
令
2
21 4
m tk
将 y kx m 代入椭圆 C 的方程
可得 2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m
由 0 ,可得 2 21 4m k …………………………………………②
由①②可知 0 1t
因此 22 4 2 4S t t t t
故 2 3S
当且仅当 1t ,即 2 21 4m k 时取得最大值 2 3
由(i)知, ABQ 面积为3S
所以 ABQ 面积的最大值为 6 3 .
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