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- 2021-06-15 发布
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第2讲 空间点、线、面的位置关系
[做真题]
1.(2019·高考全国卷Ⅱ)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
解析:选B.对于A,α内有无数条直线与β平行,当这无数条直线互相平行时,α与β可能相交,所以A不正确;对于B,根据两平面平行的判定定理与性质知,B正确;对于C,平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,所以C不正确;对于D,垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行,如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面,但它们是相交的,所以D不正确.综上可知选B.
2.(2019·高考全国卷Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
解析:选B.取CD的中点O,连接ON,EO,因为△ECD为正三角形,所以EO⊥CD,又平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD,所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2,则EO=,ON=1,所以EN2=EO2+ON2=4,得EN=2.过M作CD的垂线,垂足为P,连接BP,则MP=,CP=,所以BM2=MP2+BP2=()2+()2+22=7,得BM=,所以BM≠EN.连接BD,BE,因为四边形ABCD为正方形,所以N为BD的中点,即EN,MB均在平面BDE内,所以直线BM,EN是相交直线,选B.
3.(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析:选C.
如图,连接BD1,交DB1于O,取AB的中点M,连接DM,OM,易知O为BD1的中点,所以AD1∥OM,则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,AD1==2,DM==,
DB1==,所以OM=AD1=1,OD=DB1=,于是在△DMO中,由余弦定理,得cos∠MOD==,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为,故选C.
4.(2019·高考全国卷Ⅰ)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN∥平面C1DE;
(2)求二面角AMA1N的正弦值.
解:(1)证明:连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=B1C.
又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.
由题设知A1B1綊DC,可得B1C綊A1D,故ME綊ND,
因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.
又MN⊄平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.
(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则
A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,,2),N(1,0,2),=(0,0,-4),
=(-1,,-2),=(-1,0,-2),=(0,-3,0).
设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则
所以
可取m=(,1,0).
设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则
所以可取n=(2,0,-1).
于是cos〈m,n〉===,
所以二面角AMA1N的正弦值为.
[山东省学习指导意见]
1.点、线、面之间的位置关系
借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解可以作为推理依据的公理和定理(四个公理、一个定理).
2.空间位置的判定与说明
以立体几何的上述定义,公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨,
认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定(四个判定定理、四个性质定理)能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.
空间线面位置关系的判定
[考法全练]
1.(多选)下列命题正确的是( )
A.梯形一定是平面图形
B.若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行
C.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
D.若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合
解析:选AC.对于A,由于两条平行直线确定一个平面,所以梯形可以确定一个平面,故A正确;对于B,两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行或异面或相交,故B错误;对于C,两两相交的三条直线最多可以确定三个平面,故C正确;对于D,若两个平面有三个公共点,则这两个平面相交或重合,故D错误.
2.(2019·江西七校第一次联考)设m,n是空间中两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若m∥n,n⊂α,则m∥α
B.若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n
C.若α∥β,m⊥α,则m⊥β
D.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β
解析:选C.若m∥n,n⊂α,则m∥α或m⊂α,所以选项A不正确;若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n或m与n异面,所以选项B不正确;由面面平行的性质、线面垂直的性质及判定知选项C是正确的;若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β或α与β相交,所以选项D不正确.故选C.
3.(2019·武汉市调研测试)已知两个平面相互垂直,下列命题中,
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线;
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线;
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面;
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的命题是( )
A.①② B.①③
C.② D.②④
解析:选C.构造正方体ABCDA1B1C1D1,如图,①,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面
ADD1A1⊥平面ABCD,A1D⊂平面ADD1A1,BD⊂平面ABCD,但A1D与BD不垂直,故①错;
②,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,l是平面ADD1A1内的任意一条直线,l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直,故②正确;
③,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,A1D⊂平面ADD1A1,但A1D与平面ABCD不垂直,故③错;
④,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,过交线AD上的点作交线的垂线l,则l可能与另一平面垂直,也可能与另一平面不垂直,故④错.故选C.
4.(2019·福建省质量检查)如图,AB是圆锥SO的底面圆O的直径,D是圆O上异于A,B的任意一点,以AO为直径的圆与AD的另一个交点为C,P为SD的中点.现给出以下结论:
①△SAC为直角三角形;
②平面SAD⊥平面SBD;
③平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行.
其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:选C.如图,
连接OC,因为AO为圆的直径,所以AC⊥OC,因为SO垂直于底面圆O,AC⊂底面圆O,所以AC⊥SO,因为SO∩OC=O,所以AC⊥平面SOC.又SC⊂平面SOC,所以AC⊥SC,所以△SAC为直角三角形,故①正确.由于点D是圆O上的动点,所以平面SAD不能总垂直于平面SBD,故②错误,连接DO并延长交圆O于E,连接SE,PO,因为P为SD的中点,O为DE的中点,所以OP∥SE.又OP⊂平面PAB,SE⊄平面PAB,所以SE∥平面PAB,故③正确,故选C.
5.(2019·河北省九校第二次联考)已知两条不同的直线m,n,两个不重合的平面α,β
,给出下面五个命题:
①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;
②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;
③m∥n,m∥α⇒n∥α;
④m⊥α,m∥β⇒α⊥β;
⑤α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.
其中正确命题的序号是________.
解析:命题①,显然正确;命题②,m,n可能异面,故②为假命题;命题③,可能n⊂α,故③为假命题;命题④,由线面垂直、线面平行的性质以及面面垂直的判定知④为真命题;命题⑤,由m∥n,m⊥α,得n⊥α,又α∥β,所以n⊥β,故⑤为真命题.综上,正确的命题为①④⑤.
答案:①④⑤
判断与空间位置关系有关的命题真假的3种方法
(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.
(2)借助于反证法,当从正面入手较难时,可利用反证法,推出与题设或公认的结论相矛盾的命题,进而作出判断.
(3)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结合有关定理,进行肯定或否定.
空间中平行、垂直关系的证明
[典型例题]
由四棱柱ABCDA1B1C1D1截
去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.
(1)证明:A1O∥平面B1CD1;
(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.
【证明】
(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,
由于ABCDA1B1C1D1为四棱柱,
所以A1O1∥OC,
A1O1=OC,
因此四边形A1OCO1为平行四边形,
所以A1O∥O1C.
又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,
所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,
所以EM⊥BD.
又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以A1E⊥BD.
因为B1D1∥BD,
所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.
又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,
所以B1D1⊥平面A1EM.
又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
平行关系及垂直关系的转化
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.
[对点训练]
1.如图,在四棱锥PABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,AD∥BC,PA⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=AD,E为AD的中点.
(1)求证:PA⊥CD.
(2)求证:平面PBD⊥平面PAB.
证明:(1)因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,
又因为PA⊥AB,
所以PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥CD.
(2)由已知,BC∥ED,且BC=ED,所以四边形BCDE是平行四边形,
又CD⊥AD,BC=CD,
所以四边形BCDE是正方形,连接CE(图略),
所以BD⊥CE,
又因为BC∥AE,BC=AE,
所以四边形ABCE是平行四边形,
所以CE∥AB,则BD⊥AB.
由(1)知PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥BD,
又因为PA∩AB=A,则BD⊥平面PAB,
且BD⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAB.
2.如图,已知斜三棱柱ABCA1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.
(1)当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.
解:(1)
如图,取D1为线段A1C1的中点,此时=1,
连接A1B交AB1于点O,连接OD1.
由棱柱的性质,知四边形A1ABB1为平行四边形,
所以点O为A1B的中点.
在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,
所以OD1∥BC1.
又因为OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,
所以BC1∥平面AB1D1.
所以当=1时,BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1,
且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,
平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.
因此BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.
因为=,=.
又因为=1,所以=1,即=1.
平面图形的折叠问题
[典型例题]
如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AB=BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置,使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上,如图②所示,点E,F分别为棱PC,CD的中点.
(1)求证:平面OEF∥平面PAD;
(2)求证:CD⊥平面POF;
(3)若AD=3,CD=4,AB=5,求三棱锥ECFO的体积.
【解】 (1)证明:因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上,
所以PO⊥平面ADC,所以PO⊥AC.
由题意知O是AC的中点,又点E是PC的中点,
所以OE∥PA,又OE⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,
所以OE∥平面PAD.同理,OF∥平面PAD.
又OE∩OF=O,OE,OF⊂平面OEF,
所以平面OEF∥平面PAD.
(2)证明:因为OF∥AD,AD⊥CD,
所以OF⊥CD.
又PO⊥平面ADC,CD⊂平面ADC,
所以PO⊥CD.
又OF∩PO=O,所以CD⊥平面POF.
(3)因为∠ADC=90°,AD=3,CD=4,
所以S△ACD=×3×4=6,
而点O,F分别是AC,CD的中点,
所以S△CFO=S△ACD=,
由题意可知△ACP是边长为5的等边三角形,
所以OP=,
即点P到平面ACD的距离为,
又E为PC的中点,所以E到平面CFO的距离为,
故VECFO=××=.
平面图形折叠问题的求解方法
(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.
(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形.
[对点训练]
如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1BCDE.
(1)证明:CD⊥平面A1OC;
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为36,求a的值.
解:(1)证明:在题图1中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,
∠BAD=,
所以BE⊥AC.
即在题图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,
从而BE⊥平面A1OC,
又CD∥BE,
所以CD⊥平面A1OC.
(2)由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,
且平面A1BE∩平面BCDE=BE,
又由(1)知,A1O⊥BE,
所以A1O⊥平面BCDE,
即A1O是四棱锥A1BCDE的高.
由题图1知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BE·OC=a2.
从而四棱锥A1BCDE的体积为
V=×S×A1O=×a2×a=a3,
由a3=36,得a=6.
一、选择题
1.(2019·合肥市第一次质量检测)平面α外有两条直线a,b,它们在平面α内的投影分别是直线m,n,则下列命题正确的是( )
A.若a⊥b,则m⊥n
B.若m⊥n,则a⊥b
C.若m∥n,则a∥b
D.若m与n相交,则a与b相交或异面
解析:选D.对于选项A,当直线a,b相交,且所在平面与平面α垂直时,直线m,n重合,故A不正确;对于选项B,不妨在正方体ABCDA1B1C1D1中考虑,取面对角线AB1,AD1,其所在直线分别记为a,b,其在平面ABCD上的投影分别为AB,AD,记为m,n,此时m⊥n,但a与b不垂直,故B不正确;对于选项C,不妨在正方体ABCDA1B1C1D1中考虑,取面对角线AB1,CD1,其所在直线分别记为a,b,其在平面ABCD上的投影分别为AB,CD,记为m,n,此时m∥n,但a与b不平行,故C不正确;对于选项D,若m与n相交,
则a与b不可能平行,只能是相交或异面,故D正确,选D.
2.(2019·长春市质量监测(一))在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为( )
A.1 B.
C. D.
解析:选D.由题意画出图形如图所示,取AD1的中点为O,连接OC1,OA1,易知OA1⊥平面ABC1D1,所以∠A1C1O是直线A1C1与平面ABC1D1所成的角,在Rt△OA1C1 中,A1C1=2OA1,所以sin∠A1C1O==.故选D.
3.如图,在三棱锥DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BCD
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE
解析:选C.因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理,DE⊥AC,由于DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.
4.(2019·江西省五校协作体试题)如图,圆锥的底面直径AB=4,高OC=2,D为底面圆周上的一点,且∠AOD=,则直线AD与BC所成的角为( )
A. B.
C. D.
解析:选B.如图,过点O作OE⊥AB交底面圆于E,分别以OE,OB,OC所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,因为∠AOD=π,所以∠BOD=,则D(,1,0),A(0,-2,0),B(0,2,0),C(0,0,2),=(,3,0),=(0,-2,2),所以cos〈,〉==-,则直线AD与BC所成的角为,故选B.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,将△ACD沿AC折起,使得D折起后的位置为D1,且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上,在四面体D1ABC的四个面中,有n对平面相互垂直,则n等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:选B.
如图,设D1在平面ABC上的射影为E,连接D1E,则D1E⊥平面ABC,
因为D1E⊂平面ABD1,
所以平面ABD1⊥平面ABC.
因为D1E⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以D1E⊥BC,又AB⊥BC,D1E∩AB=E,
所以BC⊥平面ABD1,
又BC⊂平面BCD1,
所以平面BCD1⊥平面ABD1,
因为BC⊥平面ABD1,AD1⊂平面ABD1,
所以BC⊥AD1,又CD1⊥AD1,BC∩CD1=C,
所以AD1⊥平面BCD1,又AD1⊂平面ACD1,
所以平面ACD1⊥平面BCD1.
所以共有3对平面互相垂直.故选B.
6.(多选)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段BC1上运动,则下列判断中正确的是( )
A.平面PB1D⊥平面ACD1
B.A1P∥平面ACD1
C.异面直线A1P与AD1所成角的范围是
D.三棱锥D1APC的体积不变
解析:选ABD.对于A,根据正方体的性质,有DB1⊥平面ACD1,又DB1⊂平面PB1D,则平面PB1D⊥平面ACD1,故A正确;对于B,连接A1B,A1C1,易证明平面BA1C1∥平面ACD1,又A1P⊂平面BA1C1,所以A1P∥平面ACD1,故B正确;对于C,当P与线段BC1的两端点重合时,A1P与AD1所成角取最小值,当P与线段BC1的中点重合时,A1P与AD1所成角取最大值,故A1P与AD1所成角的范围是,故C错误;对于D,V三棱锥D1APC=V三棱锥CAD1P,因为点C到平面AD1P的距离不变,且△AD1P的面积不变,所以三棱锥CAD1P的体积不变,故D正确.故选ABD.
二、填空题
7.(2019·沈阳市质量监测(一))如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,下面结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号)
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥平面CB1D1;
③异面直线AC与A1B成60°角;
④AC1与底面ABCD所成角的正切值是.
解析:对于①,BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,①正确;对于②,因为AA1⊥平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1,连接A1C1,又A1C1⊥B1D1,所以B1D1⊥平面AA1C1,所以B1D1⊥AC1,同理B1C⊥AC1,所以AC1⊥平面CB1D1,②正确;对于③,易知AC∥A1C1,异面直线AC与A1B所成角为∠BA1C1,连接BC1,又△A1C1B为等边三角形,所以∠BA1C1=60°,异面直线AC与A1B成60°角,③正确;对于④,AC1与底面ABCD所成角的正切值是==≠,故④不正确.故正确的结论为①②③.
答案:①②③
8.(2019·武汉市调研测试)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点A关于平面BDC1的对称点为M,则M到平面A1B1C1D1的距离为________.
解析:法一:建立如图所示的空间直角坐标系,正方体的棱长为1,在正方体ABCDA1B1C1D1下面补一个棱长为1的正方体ABCDA2B2C2D2,连接A2C2,B2D2,AC2,设B2D2∩A2C2=E,连接CE交AC2于M(即A关于平面BDC1的对称点),易得M,所以点M到平面A1B1C1D1的距离为1-=.
法二:依题意,点M在平面ACC1A1上,建立如图所示的平面直角坐标系,由已知得A,C1,直线OC1的方程为y=x,其斜率为,
因为点A关于直线OC1的对称点为M,设M(a,b),
所以,解得,
所以点M到直线A1C1的距离为1-=,
所以点A关于平面BDC1的对称点M到平面A1B1C1D1的距离为.
答案:
9.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=4,AA1=2.过点A1作平面α与AB,AD分别交于M,N两点,若AA1与平面α所成的角为45°,则截面A1MN面积的最小值是________,此时AM=________.
解析:如图,过点A作AE⊥MN,连接A1E,因为A1A⊥平面ABCD,所以A1A⊥MN,所以MN⊥平面A1AE,所以A1E⊥MN,平面A1AE⊥平面A1MN,所以∠AA1E为AA1与平面A1MN所成的角,所以∠AA1E=45°,在Rt△A1AE中,因为AA1=2,所以AE=2,A1E=2,在Rt△MAN中,由射影定理得ME·EN=AE2=4,由基本不等式得MN=ME+EN≥2=4,当且仅当ME=EN,即E为MN的中点时等号成立,所以截面A1MN面积的最小值为×4×2=4.因为AM2+AN2=MN2,所以AM=2.
答案:4 2
三、解答题
10.如图,在三棱锥ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD、BD上,且EF⊥AD.
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
证明:(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,
所以EF∥AB.
又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD,
平面ABD∩平面BCD=BD,
BC⊂平面BCD且BC⊥BD,
所以BC⊥平面ABD.
因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.
又因为AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC⊂平面ABC,
所以AD⊥AC.
11.如图所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.
求证:(1)AF∥平面BCE;
(2)平面BCE⊥平面CDE.
证明:(1)如图,取CE的中点G,
连接FG,
BG.
因为F为CD的中点,
所以GF∥DE且GF=DE.
因为AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,所以AB∥DE,
所以GF∥AB.
又因为AB=DE,所以GF=AB.
所以四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG.
因为AF⊄平面BCE,BG⊂平面BCE,
所以AF∥平面BCE.
(2)因为△ACD为等边三角形,F为CD的中点,
所以AF⊥CD.
因为DE⊥平面ACD,AF⊂平面ACD,
所以DE⊥AF.
又CD∩DE=D,
所以AF⊥平面CDE.
因为BG∥AF,所以BG⊥平面CDE.
又因为BG⊂平面BCE,
所以平面BCE⊥平面CDE.
12.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.
(1)求证:AB⊥平面ADC;
(2)若AD=1,AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为,求点B到平面ADE的距离.
解:(1)证明:因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
又DC⊥BD,DC⊂平面BCD,
所以DC⊥平面ABD.
因为AB⊂平面ABD,
所以DC⊥AB.
又因为折叠前后均有AD⊥AB,
且DC∩AD=D,
所以AB⊥平面ADC.
(2)由(1)知DC⊥平面ABD,
所以AC在平面ABD内的正投影为AD,
即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成的角.
依题意知tan ∠CAD==,
因为AD=1,所以DC=.
设AB=x(x>0),则BD=,
易知△ABD∽△DCB,所以=,
即=,解得x=,
故AB=,BD=,BC=3.
由于AB⊥平面ADC,
所以AB⊥AC,又E为BC的中点,所以由平面几何知识得AE==,
同理DE==,
所以S△ADE=×1× =.
因为DC⊥平面ABD,所以VABCD=CD·S△ABD=.
设点B到平面ADE的距离为d,
则d·S△ADE=VBADE=VABDE=VABCD=,
所以d=,即点B到平面ADE的距离为.
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