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  • 2021-06-15 发布

2020高考数学二轮复习练习:第二部分 专题三 第2讲 空间点、线、面的位置关系含解析

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第2讲 空间点、线、面的位置关系 ‎[做真题]‎ ‎1.(2019·高考全国卷Ⅱ)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是(  )‎ A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 解析:选B.对于A,α内有无数条直线与β平行,当这无数条直线互相平行时,α与β可能相交,所以A不正确;对于B,根据两平面平行的判定定理与性质知,B正确;对于C,平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,所以C不正确;对于D,垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行,如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面,但它们是相交的,所以D不正确.综上可知选B.‎ ‎2.(2019·高考全国卷Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则(  )‎ A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 解析:选B.取CD的中点O,连接ON,EO,因为△ECD为正三角形,所以EO⊥CD,又平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD,所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2,则EO=,ON=1,所以EN2=EO2+ON2=4,得EN=2.过M作CD的垂线,垂足为P,连接BP,则MP=,CP=,所以BM2=MP2+BP2=()2+()2+22=7,得BM=,所以BM≠EN.连接BD,BE,因为四边形ABCD为正方形,所以N为BD的中点,即EN,MB均在平面BDE内,所以直线BM,EN是相交直线,选B.‎ ‎3.(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(  )‎ A.        B. C. D. 解析:选C.‎ 如图,连接BD1,交DB1于O,取AB的中点M,连接DM,OM,易知O为BD1的中点,所以AD1∥OM,则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,AD1==2,DM==,‎ DB1==,所以OM=AD1=1,OD=DB1=,于是在△DMO中,由余弦定理,得cos∠MOD==,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为,故选C.‎ ‎4.(2019·高考全国卷Ⅰ)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. ‎ ‎(1)证明:MN∥平面C1DE;‎ ‎(2)求二面角AMA1N的正弦值.‎ 解:(1)证明:连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=B1C.‎ 又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.‎ 由题设知A1B1綊DC,可得B1C綊A1D,故ME綊ND,‎ 因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.‎ 又MN⊄平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.‎ ‎(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则 ‎ A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,,2),N(1,0,2),=(0,0,-4),‎ =(-1,,-2),=(-1,0,-2),=(0,-3,0). ‎ 设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则 所以 可取m=(,1,0).‎ 设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则 所以可取n=(2,0,-1).‎ 于是cos〈m,n〉===,‎ 所以二面角AMA1N的正弦值为.‎ ‎[山东省学习指导意见]‎ ‎1.点、线、面之间的位置关系 借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解可以作为推理依据的公理和定理(四个公理、一个定理). ‎ ‎2.空间位置的判定与说明 以立体几何的上述定义,公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨,‎ 认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定(四个判定定理、四个性质定理)能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.‎ ‎   空间线面位置关系的判定 ‎[考法全练]‎ ‎1.(多选)下列命题正确的是(  )‎ A.梯形一定是平面图形 B.若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行 C.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 D.若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合 解析:选AC.对于A,由于两条平行直线确定一个平面,所以梯形可以确定一个平面,故A正确;对于B,两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行或异面或相交,故B错误;对于C,两两相交的三条直线最多可以确定三个平面,故C正确;对于D,若两个平面有三个公共点,则这两个平面相交或重合,故D错误.‎ ‎2.(2019·江西七校第一次联考)设m,n是空间中两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是(  )‎ A.若m∥n,n⊂α,则m∥α B.若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n C.若α∥β,m⊥α,则m⊥β D.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β 解析:选C.若m∥n,n⊂α,则m∥α或m⊂α,所以选项A不正确;若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n或m与n异面,所以选项B不正确;由面面平行的性质、线面垂直的性质及判定知选项C是正确的;若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β或α与β相交,所以选项D不正确.故选C.‎ ‎3.(2019·武汉市调研测试)已知两个平面相互垂直,下列命题中,‎ ‎①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线;‎ ‎②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线;‎ ‎③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面;‎ ‎④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.‎ 其中正确的命题是(  )‎ A.①②         B.①③‎ C.② D.②④‎ 解析:选C.构造正方体ABCDA1B1C1D1,如图,①,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面 ADD1A1⊥平面ABCD,A1D⊂平面ADD1A1,BD⊂平面ABCD,但A1D与BD不垂直,故①错;‎ ‎②,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,l是平面ADD1A1内的任意一条直线,l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直,故②正确;‎ ‎③,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,A1D⊂平面ADD1A1,但A1D与平面ABCD不垂直,故③错;‎ ‎④,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,过交线AD上的点作交线的垂线l,则l可能与另一平面垂直,也可能与另一平面不垂直,故④错.故选C.‎ ‎4.(2019·福建省质量检查)如图,AB是圆锥SO的底面圆O的直径,D是圆O上异于A,B的任意一点,以AO为直径的圆与AD的另一个交点为C,P为SD的中点.现给出以下结论:‎ ‎①△SAC为直角三角形;‎ ‎②平面SAD⊥平面SBD;‎ ‎③平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行.‎ 其中正确结论的个数是(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 解析:选C.如图,‎ 连接OC,因为AO为圆的直径,所以AC⊥OC,因为SO垂直于底面圆O,AC⊂底面圆O,所以AC⊥SO,因为SO∩OC=O,所以AC⊥平面SOC.又SC⊂平面SOC,所以AC⊥SC,所以△SAC为直角三角形,故①正确.由于点D是圆O上的动点,所以平面SAD不能总垂直于平面SBD,故②错误,连接DO并延长交圆O于E,连接SE,PO,因为P为SD的中点,O为DE的中点,所以OP∥SE.又OP⊂平面PAB,SE⊄平面PAB,所以SE∥平面PAB,故③正确,故选C.‎ ‎5.(2019·河北省九校第二次联考)已知两条不同的直线m,n,两个不重合的平面α,β ‎,给出下面五个命题:‎ ‎①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;‎ ‎②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;‎ ‎③m∥n,m∥α⇒n∥α;‎ ‎④m⊥α,m∥β⇒α⊥β;‎ ‎⑤α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.‎ 其中正确命题的序号是________.‎ 解析:命题①,显然正确;命题②,m,n可能异面,故②为假命题;命题③,可能n⊂α,故③为假命题;命题④,由线面垂直、线面平行的性质以及面面垂直的判定知④为真命题;命题⑤,由m∥n,m⊥α,得n⊥α,又α∥β,所以n⊥β,故⑤为真命题.综上,正确的命题为①④⑤.‎ 答案:①④⑤‎ 判断与空间位置关系有关的命题真假的3种方法 ‎(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.‎ ‎(2)借助于反证法,当从正面入手较难时,可利用反证法,推出与题设或公认的结论相矛盾的命题,进而作出判断.‎ ‎(3)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结合有关定理,进行肯定或否定.  ‎ ‎   空间中平行、垂直关系的证明 ‎[典型例题]‎ ‎ 由四棱柱ABCDA1B1C1D1截 去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.‎ ‎(1)证明:A1O∥平面B1CD1;‎ ‎(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.‎ ‎【证明】 ‎ ‎(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,‎ 由于ABCDA1B1C1D1为四棱柱,‎ 所以A1O1∥OC,‎ A1O1=OC,‎ 因此四边形A1OCO1为平行四边形,‎ 所以A1O∥O1C.‎ 又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,‎ 所以A1O∥平面B1CD1.‎ ‎(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,‎ 所以EM⊥BD.‎ 又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,‎ 所以A1E⊥BD.‎ 因为B1D1∥BD,‎ 所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.‎ 又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,‎ 所以B1D1⊥平面A1EM.‎ 又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.‎ 平行关系及垂直关系的转化 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.‎ ‎  ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1.如图,在四棱锥PABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,AD∥BC,PA⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=AD,E为AD的中点.‎ ‎(1)求证:PA⊥CD.‎ ‎(2)求证:平面PBD⊥平面PAB.‎ 证明:(1)因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,‎ 又因为PA⊥AB,‎ 所以PA⊥平面ABCD,‎ 所以PA⊥CD.‎ ‎(2)由已知,BC∥ED,且BC=ED,所以四边形BCDE是平行四边形,‎ 又CD⊥AD,BC=CD,‎ 所以四边形BCDE是正方形,连接CE(图略),‎ 所以BD⊥CE,‎ 又因为BC∥AE,BC=AE,‎ 所以四边形ABCE是平行四边形,‎ 所以CE∥AB,则BD⊥AB.‎ 由(1)知PA⊥平面ABCD,‎ 所以PA⊥BD,‎ 又因为PA∩AB=A,则BD⊥平面PAB,‎ 且BD⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAB.‎ ‎2.如图,已知斜三棱柱ABCA1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.‎ ‎(1)当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?‎ ‎(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.‎ 解:(1)‎ 如图,取D1为线段A1C1的中点,此时=1,‎ 连接A1B交AB1于点O,连接OD1.‎ 由棱柱的性质,知四边形A1ABB1为平行四边形,‎ 所以点O为A1B的中点.‎ 在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,‎ 所以OD1∥BC1.‎ 又因为OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,‎ 所以BC1∥平面AB1D1.‎ 所以当=1时,BC1∥平面AB1D1.‎ ‎(2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1,‎ 且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,‎ 平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.‎ 因此BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.‎ 因为=,=.‎ 又因为=1,所以=1,即=1.‎ ‎        平面图形的折叠问题 ‎[典型例题]‎ ‎ 如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AB=BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置,使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上,如图②所示,点E,F分别为棱PC,CD的中点.‎ ‎(1)求证:平面OEF∥平面PAD;‎ ‎(2)求证:CD⊥平面POF;‎ ‎(3)若AD=3,CD=4,AB=5,求三棱锥ECFO的体积.‎ ‎【解】 (1)证明:因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上,‎ 所以PO⊥平面ADC,所以PO⊥AC.‎ 由题意知O是AC的中点,又点E是PC的中点,‎ 所以OE∥PA,又OE⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,‎ 所以OE∥平面PAD.同理,OF∥平面PAD.‎ 又OE∩OF=O,OE,OF⊂平面OEF,‎ 所以平面OEF∥平面PAD.‎ ‎(2)证明:因为OF∥AD,AD⊥CD,‎ 所以OF⊥CD.‎ 又PO⊥平面ADC,CD⊂平面ADC,‎ 所以PO⊥CD.‎ 又OF∩PO=O,所以CD⊥平面POF.‎ ‎(3)因为∠ADC=90°,AD=3,CD=4,‎ 所以S△ACD=×3×4=6,‎ 而点O,F分别是AC,CD的中点,‎ 所以S△CFO=S△ACD=,‎ 由题意可知△ACP是边长为5的等边三角形,‎ 所以OP=,‎ 即点P到平面ACD的距离为,‎ 又E为PC的中点,所以E到平面CFO的距离为,‎ 故VECFO=××=.‎ 平面图形折叠问题的求解方法 ‎(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.‎ ‎(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形.  ‎ ‎[对点训练]‎ 如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1BCDE.‎ ‎(1)证明:CD⊥平面A1OC;‎ ‎(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为36,求a的值.‎ 解:(1)证明:在题图1中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,‎ ‎∠BAD=,‎ 所以BE⊥AC.‎ 即在题图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,‎ 从而BE⊥平面A1OC,‎ 又CD∥BE,‎ 所以CD⊥平面A1OC.‎ ‎(2)由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,‎ 且平面A1BE∩平面BCDE=BE,‎ 又由(1)知,A1O⊥BE,‎ 所以A1O⊥平面BCDE,‎ 即A1O是四棱锥A1BCDE的高.‎ 由题图1知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BE·OC=a2.‎ 从而四棱锥A1BCDE的体积为 V=×S×A1O=×a2×a=a3,‎ 由a3=36,得a=6.‎ 一、选择题 ‎1.(2019·合肥市第一次质量检测)平面α外有两条直线a,b,它们在平面α内的投影分别是直线m,n,则下列命题正确的是(  )‎ A.若a⊥b,则m⊥n B.若m⊥n,则a⊥b C.若m∥n,则a∥b D.若m与n相交,则a与b相交或异面 解析:选D.对于选项A,当直线a,b相交,且所在平面与平面α垂直时,直线m,n重合,故A不正确;对于选项B,不妨在正方体ABCDA1B1C1D1中考虑,取面对角线AB1,AD1,其所在直线分别记为a,b,其在平面ABCD上的投影分别为AB,AD,记为m,n,此时m⊥n,但a与b不垂直,故B不正确;对于选项C,不妨在正方体ABCDA1B1C1D1中考虑,取面对角线AB1,CD1,其所在直线分别记为a,b,其在平面ABCD上的投影分别为AB,CD,记为m,n,此时m∥n,但a与b不平行,故C不正确;对于选项D,若m与n相交,‎ 则a与b不可能平行,只能是相交或异面,故D正确,选D.‎ ‎2.(2019·长春市质量监测(一))在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为(  )‎ A.1         B. C. D. 解析:选D.由题意画出图形如图所示,取AD1的中点为O,连接OC1,OA1,易知OA1⊥平面ABC1D1,所以∠A1C1O是直线A1C1与平面ABC1D1所成的角,在Rt△OA1C1 中,A1C1=2OA1,所以sin∠A1C1O==.故选D.‎ ‎3.如图,在三棱锥DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是(  )‎ A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BCD C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE 解析:选C.因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理,DE⊥AC,由于DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.‎ ‎4.(2019·江西省五校协作体试题)如图,圆锥的底面直径AB=4,高OC=2,D为底面圆周上的一点,且∠AOD=,则直线AD与BC所成的角为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.如图,过点O作OE⊥AB交底面圆于E,分别以OE,OB,OC所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,因为∠AOD=π,所以∠BOD=,则D(,1,0),A(0,-2,0),B(0,2,0),C(0,0,2),=(,3,0),=(0,-2,2),所以cos〈,〉==-,则直线AD与BC所成的角为,故选B.‎ ‎5.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,将△ACD沿AC折起,使得D折起后的位置为D1,且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上,在四面体D1ABC的四个面中,有n对平面相互垂直,则n等于(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.5‎ 解析:选B.‎ 如图,设D1在平面ABC上的射影为E,连接D1E,则D1E⊥平面ABC,‎ 因为D1E⊂平面ABD1,‎ 所以平面ABD1⊥平面ABC.‎ 因为D1E⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,‎ 所以D1E⊥BC,又AB⊥BC,D1E∩AB=E,‎ 所以BC⊥平面ABD1,‎ 又BC⊂平面BCD1,‎ 所以平面BCD1⊥平面ABD1,‎ 因为BC⊥平面ABD1,AD1⊂平面ABD1,‎ 所以BC⊥AD1,又CD1⊥AD1,BC∩CD1=C,‎ 所以AD1⊥平面BCD1,又AD1⊂平面ACD1,‎ 所以平面ACD1⊥平面BCD1.‎ 所以共有3对平面互相垂直.故选B.‎ ‎6.(多选)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段BC1上运动,则下列判断中正确的是(  )‎ A.平面PB1D⊥平面ACD1‎ B.A1P∥平面ACD1‎ C.异面直线A1P与AD1所成角的范围是 D.三棱锥D1APC的体积不变 解析:选ABD.对于A,根据正方体的性质,有DB1⊥平面ACD1,又DB1⊂平面PB1D,则平面PB1D⊥平面ACD1,故A正确;对于B,连接A1B,A1C1,易证明平面BA1C1∥平面ACD1,又A1P⊂平面BA1C1,所以A1P∥平面ACD1,故B正确;对于C,当P与线段BC1的两端点重合时,A1P与AD1所成角取最小值,当P与线段BC1的中点重合时,A1P与AD1所成角取最大值,故A1P与AD1所成角的范围是,故C错误;对于D,V三棱锥D1APC=V三棱锥CAD1P,因为点C到平面AD1P的距离不变,且△AD1P的面积不变,所以三棱锥CAD1P的体积不变,故D正确.故选ABD.‎ 二、填空题 ‎7.(2019·沈阳市质量监测(一))如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,下面结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①BD∥平面CB1D1;‎ ‎②AC1⊥平面CB1D1;‎ ‎③异面直线AC与A1B成60°角;‎ ‎④AC1与底面ABCD所成角的正切值是.‎ 解析:对于①,BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,①正确;对于②,因为AA1⊥平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1,连接A1C1,又A1C1⊥B1D1,所以B1D1⊥平面AA1C1,所以B1D1⊥AC1,同理B1C⊥AC1,所以AC1⊥平面CB1D1,②正确;对于③,易知AC∥A1C1,异面直线AC与A1B所成角为∠BA1C1,连接BC1,又△A1C1B为等边三角形,所以∠BA1C1=60°,异面直线AC与A1B成60°角,③正确;对于④,AC1与底面ABCD所成角的正切值是==≠,故④不正确.故正确的结论为①②③.‎ 答案:①②③‎ ‎8.(2019·武汉市调研测试)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点A关于平面BDC1的对称点为M,则M到平面A1B1C1D1的距离为________.‎ 解析:法一:建立如图所示的空间直角坐标系,正方体的棱长为1,在正方体ABCDA1B1C1D1下面补一个棱长为1的正方体ABCDA2B2C2D2,连接A2C2,B2D2,AC2,设B2D2∩A2C2=E,连接CE交AC2于M(即A关于平面BDC1的对称点),易得M,所以点M到平面A1B1C1D1的距离为1-=.‎ 法二:依题意,点M在平面ACC1A1上,建立如图所示的平面直角坐标系,由已知得A,C1,直线OC1的方程为y=x,其斜率为,‎ 因为点A关于直线OC1的对称点为M,设M(a,b),‎ 所以,解得,‎ 所以点M到直线A1C1的距离为1-=,‎ 所以点A关于平面BDC1的对称点M到平面A1B1C1D1的距离为.‎ 答案: ‎9.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=4,AA1=2.过点A1作平面α与AB,AD分别交于M,N两点,若AA1与平面α所成的角为45°,则截面A1MN面积的最小值是________,此时AM=________.‎ 解析:如图,过点A作AE⊥MN,连接A1E,因为A1A⊥平面ABCD,所以A1A⊥MN,所以MN⊥平面A1AE,所以A1E⊥MN,平面A1AE⊥平面A1MN,所以∠AA1E为AA1与平面A1MN所成的角,所以∠AA1E=45°,在Rt△A1AE中,因为AA1=2,所以AE=2,A1E=2,在Rt△MAN中,由射影定理得ME·EN=AE2=4,由基本不等式得MN=ME+EN≥2=4,当且仅当ME=EN,即E为MN的中点时等号成立,所以截面A1MN面积的最小值为×4×2=4.因为AM2+AN2=MN2,所以AM=2.‎ 答案:4 2 三、解答题 ‎10.如图,在三棱锥ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD、BD上,且EF⊥AD.‎ 求证:(1)EF∥平面ABC;‎ ‎(2)AD⊥AC.‎ 证明:(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,‎ 所以EF∥AB.‎ 又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,‎ 所以EF∥平面ABC.‎ ‎(2)因为平面ABD⊥平面BCD,‎ 平面ABD∩平面BCD=BD,‎ BC⊂平面BCD且BC⊥BD,‎ 所以BC⊥平面ABD.‎ 因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.‎ 又因为AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,‎ 所以AD⊥平面ABC.‎ 又因为AC⊂平面ABC,‎ 所以AD⊥AC.‎ ‎11.如图所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.‎ 求证:(1)AF∥平面BCE;‎ ‎(2)平面BCE⊥平面CDE.‎ 证明:(1)如图,取CE的中点G,‎ 连接FG,‎ BG.‎ 因为F为CD的中点,‎ 所以GF∥DE且GF=DE.‎ 因为AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,所以AB∥DE,‎ 所以GF∥AB.‎ 又因为AB=DE,所以GF=AB.‎ 所以四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG.‎ 因为AF⊄平面BCE,BG⊂平面BCE,‎ 所以AF∥平面BCE.‎ ‎(2)因为△ACD为等边三角形,F为CD的中点,‎ 所以AF⊥CD.‎ 因为DE⊥平面ACD,AF⊂平面ACD,‎ 所以DE⊥AF.‎ 又CD∩DE=D,‎ 所以AF⊥平面CDE.‎ 因为BG∥AF,所以BG⊥平面CDE.‎ 又因为BG⊂平面BCE,‎ 所以平面BCE⊥平面CDE.‎ ‎12.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.‎ ‎(1)求证:AB⊥平面ADC;‎ ‎(2)若AD=1,AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为,求点B到平面ADE的距离.‎ 解:(1)证明:因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,‎ 又DC⊥BD,DC⊂平面BCD,‎ 所以DC⊥平面ABD.‎ 因为AB⊂平面ABD,‎ 所以DC⊥AB.‎ 又因为折叠前后均有AD⊥AB,‎ 且DC∩AD=D,‎ 所以AB⊥平面ADC.‎ ‎(2)由(1)知DC⊥平面ABD,‎ 所以AC在平面ABD内的正投影为AD,‎ 即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成的角.‎ 依题意知tan ∠CAD==,‎ 因为AD=1,所以DC=.‎ 设AB=x(x>0),则BD=,‎ 易知△ABD∽△DCB,所以=,‎ 即=,解得x=,‎ 故AB=,BD=,BC=3.‎ 由于AB⊥平面ADC,‎ 所以AB⊥AC,又E为BC的中点,所以由平面几何知识得AE==,‎ 同理DE==,‎ 所以S△ADE=×1× =.‎ 因为DC⊥平面ABD,所以VABCD=CD·S△ABD=.‎ 设点B到平面ADE的距离为d,‎ 则d·S△ADE=VBADE=VABDE=VABCD=,‎ 所以d=,即点B到平面ADE的距离为.‎ ‎ ‎