2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷01（人教A版2019） 11页

‎2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷01（人教A版2019）‎ ‎（本卷满分150分，考试时间120分钟）‎ 测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1．对于空间任意一点和不共线的三点、、，有如下关系：，则( )。‎ A、四点、、、必共面 B、四点、、、必共面 C、四点、、、必共面 D、五点、、、、必共面 ‎【答案】B ‎【解析】由得：，可得四点、、、必共面，故选B。‎ ‎2．已知平面、的法向量分别为、且，则的值为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知得，即，则，故选A。‎ ‎3．若()，则直线被圆所截得的弦长为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵圆心到直线的距离，‎ 因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于，∴弦长为，故选D。‎ ‎4．已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知得三条直线必过同一个点，则联立解得这两条直线的交点为，‎ ‎ 代入可得，故选A。‎ ‎5．直线：(是不等于的整数)与直线的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线有( )。‎ A、条 B、条 C、条 D、无数条 ‎【答案】B ‎【解析】联立，∴，即，，‎ ‎ ∴或或或，∵，∴值有个，直线有七条，故选B。‎ ‎6．过点的直线与圆：交于、两点，当时，直线的斜率为( )。 ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，则圆心到直线的距离为，‎ 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆相切，不合题意，舍去，‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，‎ 解得，故选A。‎ ‎7．已知、两点，则直线与空间直角坐标系中的平面的交点坐标为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】设连线与平面的交点为，‎ ‎∵、、三点共线，则，‎ 则，‎ 则，解得，则，故选B。‎ ‎8．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建系，、，‎ 设，∵，∴，‎ 两边平方并整理得：，‎ ‎∴面积的最大值是，故选D。‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】BD ‎【解析】∵，∴，解得或，‎ 时，符合，当时，符合，故选BD。‎ ‎10．已知、、和为空间中的个单位向量，且，可能等于( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】CD ‎【解析】∵，而，‎ ‎∴，‎ 又∵、、、是单位向量，且，∴、、一定不共线，‎ ‎∴，故选CD。‎ ‎11．给出下列命题，其中不正确的为( )。‎ A、若，则必有与重合，与重合，与为同一线段 B、若，则是钝角 C、若，则与一定共线 D、非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面 ‎【答案】ABD ‎【解析】对于A，考虑平行四边形中，满足，‎ 不满足与重合，与重合，与为同一线段，故A错，‎ 对于B，当两个非零向量、的夹角为时，满足，‎ 但它们的夹角不是钝角，故B错，‎ 对于C，当时，，则与一定共线，故C对，‎ 对于D，考虑三棱柱，、、，‎ 满足与，与，与都是共面向量，但、、不共面，故D错，‎ 故选ABD。‎ ‎12．已知圆：，过点向圆作切线，切点为，再作斜率为的割线交圆于、两点，则的面积为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】BD ‎【解析】由题意知，过点作斜率为的割线，‎ 则直线的方程为，‎ 点到直线的距离为，‎ 则弦，‎ 过点作圆的切线，其中一条为轴，切点为轴，‎ 则点到直线的距离，‎ ‎∴的面积即为的面积，故，‎ 又另一条切线为，设直线的方程为，由题意得，‎ 且点到直线的距离，解得，‎ 则直线的方程为，‎ 与圆的方程联立易得，‎ 点到直线的距离，‎ 故，‎ 综上所述的面积为或，故选BD。‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知正方体中，，若，则 ， 。（本小题每空2.5分）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】∵，∴，∴，。‎ ‎14．已知直线及直线截圆所得的弦长均为，则圆的面积是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵已知的两条直线平行且截圆所得的弦长均为，‎ ‎∴圆心到直线的距离为两平行直线距离的一半，即，‎ 又直线截圆所得的弦长为，∴圆的半径，∴圆的面积是。‎ ‎15．如图所示，平行六面体中，，，，则线段的长度是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴‎ ‎ ，‎ ‎∴。‎ ‎16．已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点。若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆的圆心为，半径为，‎ 当与垂直时，的值最小，此时点到直线的距离为，‎ 由勾股定理得，又，解得，‎ 圆的圆心为，半径为，‎ ‎∵圆与圆外切，∴，∴，‎ ‎∵圆与直线相切，∴，解得。‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 如图所示，三棱柱中，、分别是、上的点，且，。设，，。‎ ‎(1)试用、、表示向量；‎ ‎(2)若，，，求的长。‎ ‎【解析】(1) 2分 ‎ ； 4分 ‎(2) 6分 ‎ ， 8分 ‎ 即，∴。 10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 过点作直线分别交、轴正半轴于、两点。‎ ‎(1)当面积最小时，求直线的方程。‎ ‎(2)当取最小值时，求直线的方程。‎ ‎【解析】设直线：(，)，∵直线经过点，∴， 2分 ‎(1)，∴，当且仅当，时等号成立， 4分 ‎∴当，时，最小，‎ 此时直线的方程为，即； 6分 ‎(2)∵，，，‎ ‎∴， 9分 当且仅当，时等号成立， 10分 ‎∴当取最小值时，直线的方程为。 12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图所示，在中，，为边上一点，且，，平面，且。‎ ‎(1)求证：平面平面；‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值。‎ ‎【解析】(1)证明：∵，，∴，∴，∴， 1分 又平面，平面，∴， 2分 又∵平面，，‎ ‎∴平面，即平面， 3分 又平面，∴平面平面； 4分 ‎(2)解：以、、所在射线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 设，则，，则，，，，‎ ‎∴，，， 6分 设平面的一个法向量为，∴，∴，‎ 令，则，，∴， 9分 设与平面所成的角为，‎ 则，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为。 12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知平行四边形的三个顶点的坐标为、、。‎ ‎(1)在中，求边中线所在直线方程； ‎ ‎(2)求平行四边形的顶点的坐标及边的长度；‎ ‎(3)求的面积。‎ ‎【解析】如图建系，‎ ‎(1)设边中点为，则点坐标为， 1分 ‎∴直线，∴直线的方程为：， 3分 即：，∴边中线所在直线的方程为：； 4分 ‎(2)设点的坐标为，由已知得为线段的中点，‎ 有，解得，∴， 6分 又∵、，则； 8分 ‎(3)由、得直线的方程为：， 9分 ‎ ∴到直线的距离，∴。 12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图1，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点。将沿折起到的位置，如图2。‎ ‎(1)证明：平面；‎ ‎(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值。‎ ‎【解析】(1)证明：在图1中，∵，，是的中点，，∴，‎ 即在图2中，、， 1分 又，、平面，平面， 3分 又，∴平面； 4分 ‎(2)解：由已知，平面平面，又由(1)知，、，‎ ‎∴为二面角的平面角，∴， 5分 如图，以为原点，、、为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，‎ ‎∵，，‎ ‎∴、、、，‎ ‎∴，，， 7分 设平面的法向量，则，即，‎ 令，则、，则， 9分 设平面的法向量，则，即，‎ 令，则、，则， 11分 设平面与平面的夹角的平面角为，‎ ‎∴。 12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 如图所示，直四棱柱的底面是菱形，，，，、、分别是、、的中点。‎ ‎(1)证明：平面；‎ ‎(2)求二面角的正弦值。‎ ‎【解析】(1)由题可得，四边形为菱形，且，连接，则，‎ 又∵为的中点，则，∴，即， 2分 又∵平面，平面，平面，‎ 则，，‎ ‎∴以为原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 4分 由为中点，为中点，为中点，，，‎ 可得，，， 5分 则，，，则，，‎ 则，∴，∴，‎ 又∵平面，平面，∴平面； 7分 ‎(2)由题可得，，，，‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ ‎∴，，，，‎ ‎∴由可得：，‎ 令，则，，则， 9分 ‎∴由可得：，‎ 令，则，，则， 11分 设二面角为，则，‎ 则，∴二面角的正弦值为。 12分