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- 2021-06-15 发布
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课时跟踪检测(三) 合情推理与演绎推理
一、选择题
1.下列类比推理恰当的是( )
A.把 a(b+c)与 loga(x+y)类比,则有 loga(x+y)=logax+logay
B.把 a(b+c)与 sin(x+y)类比,则有 sin(x+y)=sin x+sin y
C.把(ab)n 与(a+b)n 类比,则有(a+b)n=an+bn
D.把 a(b+c)与 a·(b+c)类比,则有 a·(b+c)=a·b+a·c
答案:D
2.已知{bn}为等比数列,b5=2,则 b1b2b3…b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类
似结论为( )
A.a1a2a3…a9=29 B.a1+a2+…+a9=29
C.a1a2…a9=2×9 D.a1+a2+…+a9=2×9
解析:选 D 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算,从而有 a1+a2+…+a9=2
+2+…+ 29 个
=2×9.
3.观察式子:
1+ 1
22<3
2
,
1+ 1
22
+ 1
32<5
3
,
1+ 1
22
+ 1
32
+ 1
42<7
4
,…,
则可归纳出第 n-1 个式子为( )
A.1+ 1
22
+ 1
32
+…+ 1
n2< 1
2n-1
B.1+ 1
22
+ 1
32
+…+ 1
n2< 1
2n+1
C.1+ 1
22
+ 1
32
+…+ 1
n2<2n-1
n
D.1+ 1
22
+ 1
32
+…+ 1
n2< 2n
2n+1
解析:选 C 观察可得第 n-1 个式子为:
不等式的左边为
1
i2 的前 n 项的和,
右边为分式2n-1
n .
4.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:
他们研究过图(1)中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;
类似地,称图(2)中的 1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数
的是( )
A.289 B.1 024
C.1 225 D.1 378
解析:选 C 记三角形数构成的数列为{an},
则 a1=1,a2=3=1+2,
a3=6=1+2+3,
a4=10=1+2+3+4,
可得通项公式为
an=1+2+3+…+n=nn+1
2
.
同理可得正方形数构成的数列的通项公式为 bn=n2.
将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式,使得 n 都为正整数的只有 1 225.
5.将正整数排成下表:
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
… …
则在表中数字 2 013 出现在( )
A.第 44 行第 78 列
B.第 45 行第 78 列
C.第 44 行第 77 列
D.第 45 行第 77 列
解析:选 D 第 n 行有 2n-1 个数字,
前 n 行的数字个数为 1+3+5+…+(2n-1)=n2.
∵442=1 936,452=2 025,
且 1 936<2 013<2 025,
∴2 013 在第 45 行.
又 2 025-2 013=12,
且第 45 行有 2×45-1=89 个数字,
∴2 013 在第 89-12=77 列.
二、填空题
6.设函数 f(x)= x
x+2(x>0),观察:
f1(x)=f(x)= x
x+2
,
f2(x)=f(f1(x))= x
3x+4
,
f3(x)=f(f2(x))= x
7x+8
,
f4(x)=f(f3(x))= x
15x+16
,
…
根据以上事实,由归纳推理可得:
当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________________________.
解析:由已知可归纳如下:
f1(x)= x
21-1x+21
,
f2(x)= x
22-1x+22
,
f3(x)= x
23-1x+23
,
f4(x)= x
24-1x+24
,
…,
fn(x)= x
2n-1x+2n.
答案: x
2n-1x+2n
7.在平面直角坐标系 xOy 中,二元一次方程 Ax+By=0(A,B 不同时为 0)表示过原点的
直线.类似地:在空间直角坐标系 Oxyz 中,三元一次方程 Ax+By+Cz=0(A,B,C 不同时
为 0)表示_________________.
解析:由方程的特点可知:平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面,“过原点”
类比仍为“过原点”,因此应得到:在空间直角坐标系 Oxyz 中,三元一次方程 Ax+By+Cz
=0(A,B,C 不同时为 0)表示过原点的平面.
答案:过原点的平面
8.观察下列等式:
23=3+5,
33=7+9+11,
43=13+15+17+19,
53=21+23+25+27+29,…,
若类似上面各式方法将 m3 分拆得到的等式右边最后一个数是 109,则正整数 m 等于
________.
解析:经观察,等式右边的数组成数列:3,5,7,9,11,…,所以由 3+(n-1)×2=109 得 n
=54,再由等式右边的数的个数为 2,3,4,…,且分别等于左边数的底数,
可得 2+3+4+…+m=54,
即m-1m+2
2
=54,解得 m=10.
答案:10
三、解答题
9.如图所示为 m 行 m+1 列的士兵方阵(m∈N*,m≥2).
(1)写出一个数列,用它表示当 m 分别是 2,3,4,5,…时,方阵中士兵的人数;
(2)若把(1)中的数列记为{an},归纳该数列的通项公式;
(3)求 a10,并说明 a10 表示的实际意义;
(4)已知 an=9 900,an 是数列第几项?
解:(1)当 m=2 时,表示一个 2 行 3 列的士兵方阵,共有 6 人,依次可以得到当 m=3,4,5,…
时的士兵人数分别为 12,20,30,….故所求数列为 6,12,20,30,….
(2)因为 a1=2×3,a2=3×4,a3=4×5,…,
所以猜想 an=(n+1)(n+2),n∈N*.
(3)a10=11×12=132.
a10 表示 11 行 12 列的士兵方阵的人数为 132.
(4)令(n+1)(n+2)=9 900,
所以 n=98,
即 an 是数列的第 98 项,此时方阵为 99 行 100 列.
10.已知椭圆具有以下性质:已知 M,N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭
圆上任意一点,若直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN,那么 kPM 与 kPN 之积是与
点 P 的位置无关的定值.试对双曲线x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)写出类似的性质,并加以证明.
解:类似的性质为:
已知 M,N 是双曲线x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)上关于原点对称的两个点,
点 P 是双曲线上任意一点,
若直线 PM,PN 的斜率都存在,
并记为 kPM,kPN,
那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值.
证明如下:设点 M,P 的坐标为(m,n),(x,y),
则 N 点的坐标为(-m,-n).
∵点 M(m,n)在已知双曲线x2
a2
-y2
b2
=1 上,
∴m2
a2
-n2
b2
=1,得 n2=b2
a2m2-b2.
同理 y2=b2
a2x2-b2.
∴y2-n2=b2
a2(x2-m2).
则 kPM·kPN=y-n
x-m
·y+n
x+m
=y2-n2
x2-m2
=b2
a2·x2-m2
x2-m2
=b2
a2(定值).
∴kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值.
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