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  • 2021-06-15 发布

高中数学人教a版选修1-2课时跟踪检测(三)合情推理与演绎推理word版含解析

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课时跟踪检测(三) 合情推理与演绎推理 一、选择题 1.下列类比推理恰当的是( ) A.把 a(b+c)与 loga(x+y)类比,则有 loga(x+y)=logax+logay B.把 a(b+c)与 sin(x+y)类比,则有 sin(x+y)=sin x+sin y C.把(ab)n 与(a+b)n 类比,则有(a+b)n=an+bn D.把 a(b+c)与 a·(b+c)类比,则有 a·(b+c)=a·b+a·c 答案:D 2.已知{bn}为等比数列,b5=2,则 b1b2b3…b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类 似结论为( ) A.a1a2a3…a9=29 B.a1+a2+…+a9=29 C.a1a2…a9=2×9 D.a1+a2+…+a9=2×9 解析:选 D 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算,从而有 a1+a2+…+a9=2 +2+…+ 29 个 =2×9. 3.观察式子: 1+ 1 22<3 2 , 1+ 1 22 + 1 32<5 3 , 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42<7 4 ,…, 则可归纳出第 n-1 个式子为( ) A.1+ 1 22 + 1 32 +…+ 1 n2< 1 2n-1 B.1+ 1 22 + 1 32 +…+ 1 n2< 1 2n+1 C.1+ 1 22 + 1 32 +…+ 1 n2<2n-1 n D.1+ 1 22 + 1 32 +…+ 1 n2< 2n 2n+1 解析:选 C 观察可得第 n-1 个式子为: 不等式的左边为 1 i2 的前 n 项的和, 右边为分式2n-1 n . 4.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如: 他们研究过图(1)中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似地,称图(2)中的 1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数 的是( ) A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378 解析:选 C 记三角形数构成的数列为{an}, 则 a1=1,a2=3=1+2, a3=6=1+2+3, a4=10=1+2+3+4, 可得通项公式为 an=1+2+3+…+n=nn+1 2 . 同理可得正方形数构成的数列的通项公式为 bn=n2. 将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式,使得 n 都为正整数的只有 1 225. 5.将正整数排成下表: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … … 则在表中数字 2 013 出现在( ) A.第 44 行第 78 列 B.第 45 行第 78 列 C.第 44 行第 77 列 D.第 45 行第 77 列 解析:选 D 第 n 行有 2n-1 个数字, 前 n 行的数字个数为 1+3+5+…+(2n-1)=n2. ∵442=1 936,452=2 025, 且 1 936<2 013<2 025, ∴2 013 在第 45 行. 又 2 025-2 013=12, 且第 45 行有 2×45-1=89 个数字, ∴2 013 在第 89-12=77 列. 二、填空题 6.设函数 f(x)= x x+2(x>0),观察: f1(x)=f(x)= x x+2 , f2(x)=f(f1(x))= x 3x+4 , f3(x)=f(f2(x))= x 7x+8 , f4(x)=f(f3(x))= x 15x+16 , … 根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________________________. 解析:由已知可归纳如下: f1(x)= x 21-1x+21 , f2(x)= x 22-1x+22 , f3(x)= x 23-1x+23 , f4(x)= x 24-1x+24 , …, fn(x)= x 2n-1x+2n. 答案: x 2n-1x+2n 7.在平面直角坐标系 xOy 中,二元一次方程 Ax+By=0(A,B 不同时为 0)表示过原点的 直线.类似地:在空间直角坐标系 Oxyz 中,三元一次方程 Ax+By+Cz=0(A,B,C 不同时 为 0)表示_________________. 解析:由方程的特点可知:平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面,“过原点” 类比仍为“过原点”,因此应得到:在空间直角坐标系 Oxyz 中,三元一次方程 Ax+By+Cz =0(A,B,C 不同时为 0)表示过原点的平面. 答案:过原点的平面 8.观察下列等式: 23=3+5, 33=7+9+11, 43=13+15+17+19, 53=21+23+25+27+29,…, 若类似上面各式方法将 m3 分拆得到的等式右边最后一个数是 109,则正整数 m 等于 ________. 解析:经观察,等式右边的数组成数列:3,5,7,9,11,…,所以由 3+(n-1)×2=109 得 n =54,再由等式右边的数的个数为 2,3,4,…,且分别等于左边数的底数, 可得 2+3+4+…+m=54, 即m-1m+2 2 =54,解得 m=10. 答案:10 三、解答题 9.如图所示为 m 行 m+1 列的士兵方阵(m∈N*,m≥2). (1)写出一个数列,用它表示当 m 分别是 2,3,4,5,…时,方阵中士兵的人数; (2)若把(1)中的数列记为{an},归纳该数列的通项公式; (3)求 a10,并说明 a10 表示的实际意义; (4)已知 an=9 900,an 是数列第几项? 解:(1)当 m=2 时,表示一个 2 行 3 列的士兵方阵,共有 6 人,依次可以得到当 m=3,4,5,… 时的士兵人数分别为 12,20,30,….故所求数列为 6,12,20,30,…. (2)因为 a1=2×3,a2=3×4,a3=4×5,…, 所以猜想 an=(n+1)(n+2),n∈N*. (3)a10=11×12=132. a10 表示 11 行 12 列的士兵方阵的人数为 132. (4)令(n+1)(n+2)=9 900, 所以 n=98, 即 an 是数列的第 98 项,此时方阵为 99 行 100 列. 10.已知椭圆具有以下性质:已知 M,N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭 圆上任意一点,若直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN,那么 kPM 与 kPN 之积是与 点 P 的位置无关的定值.试对双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)写出类似的性质,并加以证明. 解:类似的性质为: 已知 M,N 是双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)上关于原点对称的两个点, 点 P 是双曲线上任意一点, 若直线 PM,PN 的斜率都存在, 并记为 kPM,kPN, 那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值. 证明如下:设点 M,P 的坐标为(m,n),(x,y), 则 N 点的坐标为(-m,-n). ∵点 M(m,n)在已知双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 上, ∴m2 a2 -n2 b2 =1,得 n2=b2 a2m2-b2. 同理 y2=b2 a2x2-b2. ∴y2-n2=b2 a2(x2-m2). 则 kPM·kPN=y-n x-m ·y+n x+m =y2-n2 x2-m2 =b2 a2·x2-m2 x2-m2 =b2 a2(定值). ∴kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值.