2020年高中数学新教材同步必修第一册 第2章第1课时 基本不等式 28页

第二章　2.2　基本不等式 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.掌握基本不等式及推导过程. 2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小. 3.能初步运用基本不等式进行证明和求最值. NEIRONGSUOYIN 内容索引 知识梳理 题型探究 随堂演练 1 知识梳理 PART ONE 1.如果a>0，b>0， ，当且仅当 时，等号成立. 其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. 2.变形：ab≤ ，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立. a＋b≥2 ，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立. 知识点　基本不等式 ≤ a＝b 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU 1.对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.(　　) × √ √ × 2 题型探究 PART TWO 例1　某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长 率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则 一、利用基本不等式比较大小 √ 解析　第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)， 第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b). 若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2. 依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∵a>0，b>0，x>0， 反思 感悟 基本不等式 一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小 要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和. 解　∵00. ∵x>1，∴x－1>0， ∴a＝36. 反思 感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点： 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积 式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的 解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备. 跟踪训练2　已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为 A.16 B.25 C.9 D.36√ 解析　因为x>0，y>0，且x＋y＝8， 所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy 因此当且仅当x＝y＝4时， (1＋x)·(1＋y)取最大值25. 三、用基本不等式证明不等式 证明　∵a，b，c都是正数， 反思 感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有 关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已 知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证 明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本 不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用. 证明　根据题意，a<0，则－a>0， 当且仅当a＝－1时，等号成立. 3 随堂演练 PART THREE 1 2 3 4 5 1.若0a>0，∴ab>a2， 1 2 3 4 5 2.下列不等式正确的是 √ 1 3 4 52 3.下列等式中最小值为4的是 √ 解析　A中x＝－1时，y＝－5<4， B中t＝－1时，y＝－3<4， D中t＝－1时，y＝－2<4.故选C. 由基本不等式可知D项正确. 1 3 4 52 4.下列不等式中，正确的是 √ a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错； 即x＝2时，等号成立. 16 ∵x>－1，∴x＋1>0， 1 3 4 52 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 1.知识清单： 2.方法归纳：通过拆项、加项配凑成基本不等式的形式. 3.常见误区：一正、二定、三相等，常缺少条件导致错误. 本课结束