2015年高考数学（文科）真题分类汇编F单元　平面向量 7页

‎ 数 学 F单元　平面向量 ‎ F1　平面向量的概念及其线性运算 ‎2．F1[2015·四川卷] 设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．6‎ ‎2．B　[解析] 由向量a，b共线，得2×6－4x＝0，解得x＝3，选B.‎ ‎2．F1、F2[2015·全国卷Ⅰ] 已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ A．(－7，－4) B．(7，4)‎ C．(－1，4) D．(1，4)‎ ‎2．A　[解析] ＝(3，1)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．‎ ‎2．F1[2015·四川卷] 设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．6‎ ‎2．B　[解析] 由向量a，b共线，得2×6－4x＝0，解得x＝3，选B.‎ F2　平面向量基本定理及向量坐标运算 ‎6．F2[2015·江苏卷] 已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．‎ ‎6．－3　[解析] 因为ma＋nb＝(‎2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以解得故m－n＝－3.‎ ‎2．F1、F2[2015·全国卷Ⅰ] 已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ A．(－7，－4) B．(7，4)‎ C．(－1，4) D．(1，4)‎ ‎2．A　[解析] ＝(3，1)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．‎ ‎4．F2、F3[2015·全国卷Ⅱ] 向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(‎2a＋b)·a＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ ‎4．C　[解析] ‎2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，所以(‎2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.‎ ‎9．F2、F4[2015·湖南卷] 已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ ‎9．B　[解析] 方法一：因为A，B，C均在单位圆上，且AB⊥BC，所以A，C 为直径的端点，故＋＝2＝(－4，0)，|＋＋|＝|2＋|≤2||＋||，又||≤||＋1＝3，所以|＋＋|≤4＋3＝7，故最大值为7，选B.‎ 方法二：因为A，B，C均在单位圆上，且AB⊥BC，所以A，C为直径的端点，令A(cos x，sin x)，B(cos (x＋α)，sin (x＋α))，C(－cos x，－sin x)，0<α<π，‎ 则＋＋＝(cos(x＋α)－6，sin(x＋α))，‎ ‎|＋＋|＝＝≤7，故选B.‎ F3　平面向量的数量积及应用 ‎4．F2、F3[2015·全国卷Ⅱ] 向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(‎2a＋b)·a＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ ‎4．C　[解析] ‎2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，所以(‎2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.‎ ‎6．A2，F3[2015·北京卷] 设a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．A　[解析] 根据数量积的定义，a·b＝·cos θ，由a·b＝·可得cos θ＝1，根据向量所成角的范围得到θ＝0，所以a∥b；若a∥b，可得向量a与向量b共线，即所成的角为0或π，所以a·b＝±·，故选A.‎ ‎13．H4、F3[2015·山东卷] 过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________．‎ ‎13.　[解析] 如图所示，|PA|＝|PB|＝，|OP|＝2，|OA|＝1，且PA⊥OA，∴∠APO＝，即∠APB＝，∴·＝||||cos∠APB＝××cos＝.‎ ‎8．F3[2015·陕西卷] 对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)‎ A．|a·b|≤|a||b|‎ B．|a－b|≤||a|－|b||‎ C．(a＋b)2＝|a＋b|2‎ D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2‎ ‎8．B　[解析] 根据数量积的定义知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|≤|a||b|，选项A中的关系式一定成立；如果选项B中的关系式成立，则|a－b|2≤||a|－|b||2‎ ‎，可得a·b≥|a||b|，此式只可能在a，b共线且同向时成立；根据向量的运算法则可知，选项C，D中的关系式是恒成立的．‎ ‎20．F3，H5，H8[2015·四川卷] 如图13，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且·＝－1.‎ ‎(1)求椭圆E的方程．‎ ‎(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．‎ 图13‎ ‎20．解：(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．‎ 又点P的坐标为(0，1)，且·＝－1，‎ 于是解得a＝2，b＝.‎ 所以椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．‎ 联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.‎ 其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，‎ 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.‎ 从而·＋λ· ‎＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]‎ ‎＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1‎ ‎＝ ‎＝－－λ－2.‎ 所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3.‎ 此时，·＋λ·＝－3为定值．‎ 当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.‎ 此时，·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3.‎ 故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.‎ ‎13．F3[2015·浙江卷] 已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________．‎ ‎13.　　[解析] 令b＝xe1＋ye2(x，y∈R)，b·e1＝xe1·e1＋ye2·e1＝x＋y＝1，b·e2＝xe1·e2＋ye2·e2＝x＋y＝1，解得x＝y＝，则b＝(e1＋e2)，所以b2＝(e1＋e2)2＝(e＋2e1·e2＋e)＝，故|b|＝.‎ ‎7．F3[2015·重庆卷] 已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(‎2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎7．C　[解析] 由已知得a·(‎2a＋b)＝‎2a2＋a·b＝0，即a·b＝－‎2a2，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，所以〈a，b〉＝.‎ ‎9．F3[2015·广东卷] 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝(　　)‎ A．5 B．4‎ C．3 D．2‎ ‎9．A　[解析] 因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，所以·＝2×3＋1×(－1)＝5，故选A.‎ ‎11．F3[2015·湖北卷] 已知向量⊥，||＝3，则·＝________．‎ ‎11．9　[解析] 根据题意作出图形，如图所示．‎ 设向量，的夹角为θ，则·＝cos θ.因为⊥，所以cos θ＝，所以·＝＝9.‎ ‎14．C7、F3[2015·江苏卷] 设向量ak＝(k＝0，1，2，…，12)，则(ak·ak＋1)的值为________．‎ ‎14．9　[解析] 因为ak·ak＋1＝coscos＋ ‎＝2coscos＋sinsin＋sincos＋cossin ‎＝coscos＋cos＋sin＝cos＋sin＋，‎ 所以(ak·ak＋1)＝12×＋cos＋sin＝9.‎ ‎ F4 单元综合 ‎7．F4[2015·福建卷] 设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎7．A　[解析] c＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝3＋2k＝0，所以k＝－.‎ ‎9．F2、F4[2015·湖南卷] 已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ ‎9．B　[解析] 方法一：因为A，B，C均在单位圆上，且AB⊥BC，所以A，C为直径的端点，故＋＝2＝(－4，0)，|＋＋|＝|2＋|≤2||＋||，又||≤||＋1＝3，所以|＋＋|≤4＋3＝7，故最大值为7，选B.‎ 方法二：因为A，B，C均在单位圆上，且AB⊥BC，所以A，C为直径的端点，令A(cos x，sin x)，B(cos (x＋α)，sin (x＋α))，C(－cos x，－sin x)，0<α<π，‎ 则＋＋＝(cos(x＋α)－6，sin(x＋α))，‎ ‎|＋＋|＝＝≤7，故选B.‎ ‎13．F4[2015·天津卷] 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．‎ ‎13.　[解析] 根据题意，·＝(＋)·(＋)＝＋·＋＝·＋·＋·＋·＝1＋＋－＝.‎ ‎15．F4[2015·安徽卷] △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝‎2a，＝‎2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)‎ ‎①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(‎4a＋b)⊥.‎ ‎15．①④⑤　[解析] 由＝‎2a，＝‎2a＋b，得a＝，b＝－‎2a＝，④正确；|a|＝||＝1，①正确；|b|＝||＝2，②错误；且a与b的夹角为120°，故a·b＝1×2×cos 120°＝－1，③错误；(‎4a＋b)·b＝‎4a·b＋b2＝－4＋4＝0，⑤正确．‎ ‎10．[2015·泉州五校联考] 在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，AD＝DC＝2，AB＝3，点M是梯形ABCD内(包括边界)的一个动点，点N是CD边的中点，则·的最大值是________．‎ ‎10．6　[解析] 以A为原点，分别以，所在的方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，可得A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)，D(0，2)，N(1，2)，则直线BC的方程为y＝－2x＋6.由题易知，当·取得最大值时，点M在线段BC上，故设M(λ，－2λ＋6)(2≤λ≤3)，可得＝(λ，－2λ＋6)，＝(1，2)，∴·＝λ＋2×(－2λ＋6)＝12－3λ.∵2≤λ≤3，∴当λ＝2时，·取得最大值6.‎ ‎7．[2015·丽水一模] 已知P是边长为2的正方形ABCD内的点，若△PAB，△PBC的面积均不大于1，则·的取值范围是(　　)‎ A．(－1，2) B．(－1，1)‎ C．0， D.， ‎7．B　[解析] ‎ 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系(如图所示)，则B(2，0)，C(2，2)．‎ 设P(x，y)，0