2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第10章 章末综合提升 7页

www.ks5u.com ‎[巩固层·知识整合]‎ ‎[提升层·题型探究]‎ 复数的概念 ‎【例1】　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，‎ ‎(1)z∈R；(2)z为虚数．‎ ‎[思路探究]　根据复数的分类列不等式组求解．‎ ‎[解]　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，‎ 所以 由②得x＝4，经验证满足①③式．‎ 所以当x＝4时，z∈R.‎ ‎(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，‎ 所以 由①得x>或x<.‎ 由②得x≠4，由③得x>3.‎ 所以当x>且x≠4时，z为虚数．‎ ‎1．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．‎ ‎2．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．‎ ‎3．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．‎ ‎1．(1)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)‎ A．－4 B．－ C．4 D． ‎(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________．‎ ‎(1)D　(2)1　[(1)∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝＝＝＝＋i，‎ ‎∴z的虚部为.故选D．‎ ‎(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，‎ 则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.‎ 由复数相等的充要条件，得解得 故复数z的实部是1.‎ 法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1.]‎ 复数的四则运算 ‎【例2】　(1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝(　　)‎ A．－2 B．－2i C．2 D．2i ‎(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝(　　)‎ A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i ‎[思路探究]　(1)先求出及，结合复数运算法则求解．‎ ‎(2)利用方程思想求解并化简．‎ ‎(1)C　(2)A　[(1)∵z＝1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝2.故选C．‎ ‎(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.]‎ 复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质为实数.‎ ‎2．(1)复数的共轭复数是(　　)‎ A．－i B．i C．－i D．i ‎(2)已知复数z1＝(1＋i)(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.‎ ‎(1)C　(2)4＋2i　[(1)依题意知，＝＝＝i，‎ ‎∴其共轭复数为－i.‎ ‎(2)z1＝(1＋i)＝2－i.‎ 设z2＝a＋2i，a∈R，‎ 则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)‎ ‎＝(‎2a＋2)＋(4－a)i，‎ 因为z1·z2∈R，‎ 所以a＝4.‎ 所以z2＝4＋2i.]‎ 复数的几何意义 ‎【例3】　(1)在复平面内，复数对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎(2)在复平面内，复数对应的点的坐标为(　　)‎ A．(0，－1) B．(0,1)‎ C． D． ‎[思路探究]　先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．‎ ‎(1)B　(2)A　[(1)复数＝＝＝－＋i.‎ ‎∴复数对应点的坐标是.‎ ‎∴复数在复平面内对应的点位于第二象限．故选B．‎ ‎(2)∵＝＝＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A．]‎ ‎1．复数的几何表示法 复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．‎ ‎2．复数的向量表示 以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．‎ ‎3．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z与Z1之间的距离．‎ ‎4．复数形式的基本轨迹 ‎(1)|z－z1|＝r表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆．‎ ‎(2)|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．‎ ‎3．(1)已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)‎ ‎(2)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)‎ A．E B．F C．G D．H ‎(1)A　(2)D　[(1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A．‎ ‎(2)由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．]‎ 函数与方程思想 ‎【例4】　已知f(z)＝|1＋z|－，且f(－z)＝10＋3i，求复数z.‎ ‎[思路探究]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由复数相等列方程组求解即可．‎ ‎[解]　∵f(z)＝|1＋z|－，∴f(－z)＝|1－z|＋.‎ 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.‎ 由f(－z)＝10＋3i，得|1－(a＋bi)|＋a－bi＝10＋3i，‎ ‎∴ 解方程组得 ‎∴复数z＝5－3i.‎ 一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的方程(组)，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．‎ ‎4．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，‎ 则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i，z＋3＝(x＋3)＋yi.‎ 由已知，得因为y≠0，‎ 所以解得或 所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件．‎ ‎[培优层·素养升华]‎ ‎【例1】　设z＝i(2＋i)，则＝(　　)‎ A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i D　[∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.]‎ ‎【例2】　设有下面四个命题 p1：若复数z满足∈R，则z∈R；‎ p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；‎ p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；‎ p4：若复数z∈R，则∈R.‎ 其中的真命题为(　　)‎ A．p1，p3 B．p1，p‎4 C．p2，p3 D．p2，p4‎ B　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．‎ 对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．‎ 对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.‎ 当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题．‎ 对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a‎1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0Da1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．‎ 对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．]‎ 高考对复数的考查较为基础，通常以选择题的形式考查复数的概念与四则运算，属容易题，重点体现数学运算、逻辑推理、直观想象等学科素养.‎ ‎1．设z＝，则|z|＝(　　)‎ A．2 B． C． D．1‎ C　[∵z＝＝＝，‎ ‎∴|z|＝＝.]‎ ‎2．i是虚数单位，则的值为________．‎ 　[∵＝＝2－3i，∴＝|2－3i|＝.]‎