- 332.78 KB
- 2021-06-15 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2017 年上海市静安区高考一模数学
一、填空题(50 分)本大题共有 10 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个
空格填对得 5 分,否则一律得零分.
1.“x<0”是“x<a”的充分非必要条件,则 a 的取值范围是_____.
解析:若“x<0”是“x<a”的充分非必要条件,
则 a 的取值范围是(0,+∞).
答案:(0,+∞).
2.函数 f(x)=1-3sin2(x+
4
)的最小正周期为_____.
解析:利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性,求得 f(x)的最小
正周期.
答案:π.
3.若复数 z 为纯虚数,且满足(2-i)z=a+i(i 为虚数单位),则实数 a 的值为_____.
解析:由(2-i)z=a+i,得 z=
2
ai
i
,然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z,由复数
z 为纯虚数,列出方程组,求解即可得答案.
答案: 1
2
.
4.二项式(x2+ 1
x
)5 展开式中 x 的系数为_____.
解析:利用二项式(x2+ )5 展开式的通项公式即可求得答案.
答案:10.
5.用半径 1 米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器,其容积为_____立方米.
解析:由已知求出圆锥的底面半径,进一步求得高,代入圆锥体积公式得答案.
答案: 3
24
.
6.已知α为锐角,且 cos(α+
4
)= 3
5
,则 sinα=_____.
解析:由α为锐角求出α+ 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sin(α+
4
)的
值,所求式子中的角变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化简,将各自的值代入计算即
可求出值.
答案: 2
10
.
7.根据相关规定,机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于)20 毫克/100 毫升的行为属于
饮酒驾车.假设饮酒后,血液中的酒精含量为 p0 毫克/100 毫升,经过 x 个小时,酒精含量
降为 p 毫克/100 毫升,且满足关系式 p=p0·erx(r 为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量
为 89 毫克/100 毫升,2 小时后,测得其血液中酒精含量降为 61 毫克/100 毫升,则此人饮
酒后需经过_____小时方可驾车.(精确到小时)
解析:先求出 er= 61
89
,再利用 89·exr<20,即可得出结论.
答案:8.
8.已知奇函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,数列{xn}是一个公差为 2 的等差数列,满足
f(x7)+f(x8)=0,则 x2017 的值为_____.
解析:设 x7=x,则 x8=x+2,则 f(x)+f(x+2)=0,结合奇函数关于原点的对称性可知,
f(x+1)=0=f(0),x7=-1.设数列{xn}通项 xn=x7+2(n-7).得到通项 xn=2n-15.由此能求出 x2011 的
值.
答案:4019.
9.直角三角形 ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,点 M 是三角形 ABC 外接圆上任意一点,则 AB ·AM
的最大值为_____.
解析:建立坐标系,设 M ( 3
2
+ 5
2
cosα,2+ sinα),则 =( + cosα,2+ sinα),
=(3,0), · AM = 9
2
+15
2
cosα≤12.
答案:12.
10.已知 f(x)=ax-b((a>0 且且 a≠1,b∈R),g(x)=x+1,若对任意实数 x 均有 f(x)·g(x)
≤0,则 14
ab 的最小值为_____.
解析:根据对任意实数 x 均有 f(x)·g(x)≤0,求出 a,b 的关系,可求 14
ab 的最小值.
答案:4.
二、选择题(25 分)本大题共有 5 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确
的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
11.若空间三条直线 a、b、c 满足 a⊥b,b⊥c,则直线 a 与 c( )
A.一定平行
B.一定相交
C.一定是异面直线
D.平行、相交、是异面直线都有可能
解析:如图所示:a⊥b,b⊥c,
a 与 c 可以相交,异面直线,也可能平行.
从而若直线 a、b、c 满足 a⊥b、b⊥c,则 a∥c,或 a 与 c 相交,或 a 与 c 异面.
答案:D.
12.在无穷等比数列{an}中, lim
n
(a1+a2+…+an)= 1
2
,则 a1 的取值范围是( )
A.(0, )
B.( ,1)
C.(0,1)
D.(0, )∪( ,1)
解析:利用无穷等比数列和的极限,列出方程,推出 a1 的取值范围.
答案:D.
13.某班班会准备从含甲、乙的 6 名学生中选取 4 人发言,要求甲、乙两人至少有一人参加,
那么不同的发言顺序有( )
A.336 种
B.320 种
C.192 种
D.144 种
解析:根据题意,分 2 种情况讨论,①只有甲乙其中一人参加,②甲乙两人都参加,由排列、
组合计算可得其符合条件的情况数目,由加法原理计算可得答案.
答案:A.
14.已知椭圆 C1,抛物线 C2 焦点均在 x 轴上,C1 的中心和 C2 顶点均为原点 O,从每条曲线上
各取两个点,将其坐标记录于表中,则 C1 的左焦点到 C2 的准线之间的距离为( )
A. 2 -1
B. 3 -1
C.1
D.2
解析:由表可知:抛物线 C2 焦点在 x 轴的正半轴,设抛物线 C2:y2=2px(p>0),则有
2y
x
=2p(x
≠0),将(3,-2 3 ),(4,-4)在 C2 上,代入求得 2p=4,即可求得抛物线方程,求得准线
方程,设椭圆 C1:
22
22
xy
ab =1(a>b>0),把点(-2,0),( 2 , 2
2
),即可求得椭圆方程,
求得焦点坐标,即可求得 C1 的左焦点到 C2 的准线之间的距离.
答案:B.
15.已知 y=g(x)与 y=h(x)都是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当 x>0 时,g(x)=
2 01
11
xx
g x x
,<
, >
,h(x)=klog2x(x>0),若 y=g(x)-h(x)恰有 4 个零点,则正实数 k 的取值
范围是( )
A.[ 1
2
,1]
B.( 1
2
,1]
C.( 1
2
,log32]
D.[ 1
2
,log32]
解析:问题转化为 g(x)和 h(x)有 4 个交点,画出函数 g(x),h(x)的图象,结合图象得到关
于 k 的不等式组,解出即可.
答案:C.
三、解答题(本题满分 75 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应
的题号)内写出必要的步骤.
16.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,AB=a,AA1=2a,E,F 分别是棱 AD,CD 的中点.
(1)求异面直线 BC1 与 EF 所成角的大小;
(2)求四面体 CA1EF 的体积.
解析:(1)连接 A1C1,由 E,F 分别是棱 AD,CD 的中点,可得 EF∥AC,进一步得到 EF∥A1C1,
可知∠A1C1B 为异面直线 BC1 与 EF 所成角.然后求解直角三角形得答案;
(2)直接利用等体积法把四面体 CA1EF 的体积转化为三棱锥 A1-EFC 的体积求解.
答案:(1)连接 A1C1,
∵E,F 分别是棱 AD,CD 的中点,∴EF∥AC,则 EF∥A1C1,
∴∠A1C1B 为异面直线 BC1 与 EF 所成角.
在△A1C1B 中,由 AB=a,AA1=2a,得 C1B=A1B=5a,A1C1=2a,
∴cos∠A1C1B=
2
102
105
a
a
,
∴异面直线 BC1 与 EF 所成角的大小为 arccos 10
10
;
(2)
11
311····23 2 2 2 12C A EF A EFC
a a aV V a .
17.设双曲线 C:
22
23
xy =1,F1,F2 为其左右两个焦点.
(1)设 O 为坐标原点,M 为双曲线 C 右支上任意一点,求 1·OM F M 的取值范围;
(2)若动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 F1,F2 的距离之和为定值,且 cos∠F1PF2 的最小值为- 1
9
,
求动点 P 的轨迹方程.
解析:(1)设 M(x,y),x≥ 2 ,左焦点 F1(- 5 ,0),通过 =(x,y)·(x+ ,
y)利用二次函数的性质求出对称轴 x=- 5
5
≤ ,求出 的取值范围.
(2)写出 P 点轨迹为椭圆
22
22
xy
ab =1,利用|F1F2|=2 ,|PF1|+|PF2|=2a,结合余弦定理,
以及基本不等式求解椭圆方程即可.
答案:(1)设 M(x,y),x≥ ,左焦点 F1(- ,0), =(x,y)·(x+ ,y)=x2+
x+y2=x2+ x+
23
2
x -3= 5
2
x2+ x-3(x≥ 2 )对称轴 x=- 5
5
≤ , ∈[2+
10 ,+∞)
(2)由椭圆定义得:P 点轨迹为椭圆
22
22
xy
ab =1,|F1F2|=2 5 ,|PF1|+|PF2|=2acos∠F1PF2=
22
12
12
20
2
PF PF
PF PF
=
2
12
12
4 2 20
2
a PF PF
PF PF
=
2
12
4 20
21
a
PF PF
由基本不等式得 2a=|PF1|+|PF2|≥ 122 PF PF ,
当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立|PF1|·|PF2|≤a2 cos∠F1PF2≥
2
2
4 20 12
a
a
=- 1
9
a2=9,
b2=4
所求动点 P 的轨迹方程为
22
94
xy =1.
18.在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 A(看做一点)的东偏
南θ角方向(cosθ= 2
10
),300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 45°方向移动.
台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大.
(1)问 10 小时后,该台风是否开始侵袭城市 A,并说明理由;
(2)城市 A 受到该台风侵袭的持续时间为多久?
解析:(1)建立直角坐标系,,则城市 A(0,0),当前台风中心 P(30 2 ,-210 ),设 t
小时后台风中心 P 的坐标为(x,y),由题意建立方程组,能求出 10 小时后,该台风还没有
开始侵袭城市 A.
(2)t 小时后台风侵袭的范围可视为以 P(30 -10 2 t,-210 +10 2 t)为圆心,60+10t
为半径的圆,由此利用圆的性质能求出结果.
答案:(1)如图建立直角坐标系,
则城市 A(0,0),当前台风中心 P(30 2 ,-210 ),
设 t 小时后台风中心 P 的坐标为(x,y),
则 30 2 10 2
210 2 10 2
xt
yt
,此时台风的半径为 60+10t,
10 小时后,|PA|≈184.4km,台风的半径为 r=160km,
∵r<|PA|,
∴10 小时后,该台风还没有开始侵袭城市 A.
(2)由(1)知t小时后台风侵袭的范围可视为以P(30 -10 2 t,-210 +10 2 t)为圆心,
60+10t 为半径的圆,
若城市 A 受到台风侵袭,
则 22
30 2 10 2 0 210 2 10 2 0tt
≤(60+10t),
∴300t2-10800t+86400≤0,即 t2-36t+288≤0,
解得 12≤t≤24
∴该城市受台风侵袭的持续时间为 12 小时.
19.设集合 Ma={f(x)|存在正实数 a,使得定义域内任意 x 都有 f(x+a)>f(x)}.
(1)若 f(x)=2x-x2,试判断 f(x)是否为 M1 中的元素,并说明理由;
(2)若 g(x)=x3- 1
4
x+3,且 g(x)∈Ma,求 a 的取值范围;
(3)若 h(x)=log3(x+ k
x
), x∈[1,+∞)(k∈R),且 h(x)∈M2,求 h(x)的最小值.
解析:(1)利用 f(1)=f(0)=1,判断 f(x)M1.
(2)f(x+a)-f(x)>0,化简,通过判别式小于 0,求出 a 的范围即可.
(3)由 f(x+a)-f(x)>0,推出 h(x+2)-h(x)=log3[(x+2)+
2
k
x
]-log3(x+ )>0,得到 x+2+
>x+ >0 对任意 x∈[1,+∞)都成立,然后分离变量,通过当-1<k≤0 时,当 0<k
<1 时,分别求解最小值即可.
答案:(1)∵f(1)=f(0)=1,∴f(x) M1.
(2)由 g(x+a)-g(x)=(x+a)3-x3- 1
4
(x+a)+ x=3ax2+3a2x+a3- a>0
∴△=9a4-12a(a3- a)<0,故 a>1.
(3)由 h(x+2)-h(x)=log3[(x+2)+
2
k
x
]-log3(x+ k
x
)>0,
即:log3[(x+2)+ ]>log3(x+ k
x
)
∴x+2+ >x+ k
x
>0 对任意 x∈[1,+∞)都成立
∴
2
2 3
1
k x x k
kkx
< <
>>
-1<k<3
当-1<k≤0 时,h(x)min=h(1)=log3(1+k);
当 0<k<1 时,h(x)min=h(1)=log3(1+k);
当 1≤k<3 时,h(x)min=h( k )=log3(2 k ).
综上:h(x)min=
3
3
1 1 1
2 1 3
log k k
log k k
, < <
, <
.
20.由 n(n≥2)个不同的数构成的数列 a1,a2,…an 中,若 1≤i<j≤n 时,aj<ai(即后面的
项 aj 小于前面项 ai),则称 ai 与 aj 构成一个逆序,一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数
列的逆序数.如对于数列 3,2,1,由于在第一项 3 后面比 3 小的项有 2 个,在第二项 2 后
面比 2 小的项有 1 个,在第三项 1 后面比 1 小的项没有,因此,数列 3,2,1 的逆序数为
2+1+0=3;同理,等比数列 1,- 1
2
, 1
4
,- 1
8
的逆序数为 4.
(1)计算数列 an=-2n+19(1≤n≤100,n∈N*)的逆序数;
(2)计算数列 an=
1
3
1
n
n
n nn
, 奇
, 偶
为 数
为 数
(1≤n≤k,n∈N*)的逆序数;
(3)已知数列 a1,a2,…an 的逆序数为 a,求 an,an-1,…a1 的逆序数.
解析:(1)由{an}为单调递减数列,可得逆序数为 99+98+…+1.
(2)当 n 为奇数时,a1>a3>…>a2n-1>0.当 n 为偶数时:0>a2>a4>…>a2n.可得逆序数.
(3)在数列 a1,a2,…an 中,若 a1 与后面 n-1 个数构成 p1 个逆序对,则有(n-1)-p1 不构成逆
序对,可得在数列 an,an-1,…a1 中,逆序数为(n-1)-p1+(n-2)-p2+…+(n-n)-pn.
答案:(1)∵{an}为单调递减数列,∴逆序数为 99+98+…+1= 99 1 99
2
=4950.
(2)当 n 为奇数时,a1>a3>…>a2n-1>0.
当 n 为偶数时:an-an-2= 2
11
nn
nn
(n≥4)= 2
2
1n
=
2
11nn
<0
∴0>a2>a4>…>a2n.
当 k 为奇数时,逆序数为(k-1)+(k-3)+…+2+ 3
2
k + 5
2
k +…+1=
23 4 1
8
kk;
当 k 为偶数时,逆序数为(k-1)+(k-3)+…+1+ 2
2
k + 4
2
k +…+1=
232
8
kk .
(3)在数列 a1,a2,…an 中,若 a1 与后面 n-1 个数构成 p1 个逆序对,
则有(n-1)-p1 不构成逆序对,所以在数列 an,an-1,…a1 中,
逆序数为(n-1)-p1+(n-2)-p2+…+(n-n)-pn= 1
2
nn -a.
相关文档
- 2020年高考真题+高考模拟题 专项2021-06-1543页
- 2020年高考真题+高考模拟题 专项2021-06-1119页
- 2020年高考真题+高考模拟题 专项2021-06-1130页
- 2020年高考真题+高考模拟题 专项2021-06-1121页
- 2020年高考真题+高考模拟题 专项2021-06-1016页
- 2020年高考真题+高考模拟题 专项2021-06-1032页
- 2020年高考真题+高考模拟题 专项2021-06-1019页
- 2020年高考真题+高考模拟题 专项2021-06-1016页
- 2020年高考真题+高考模拟题 专项2021-06-1031页
- 2020年高考真题+高考模拟题 专项2021-06-0914页