• 332.78 KB
  • 2021-06-15 发布

2017年上海市静安区高考一模数学

  • 9页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
2017 年上海市静安区高考一模数学 一、填空题(50 分)本大题共有 10 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个 空格填对得 5 分,否则一律得零分. 1.“x<0”是“x<a”的充分非必要条件,则 a 的取值范围是_____. 解析:若“x<0”是“x<a”的充分非必要条件, 则 a 的取值范围是(0,+∞). 答案:(0,+∞). 2.函数 f(x)=1-3sin2(x+ 4  )的最小正周期为_____. 解析:利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性,求得 f(x)的最小 正周期. 答案:π. 3.若复数 z 为纯虚数,且满足(2-i)z=a+i(i 为虚数单位),则实数 a 的值为_____. 解析:由(2-i)z=a+i,得 z= 2 ai i   ,然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z,由复数 z 为纯虚数,列出方程组,求解即可得答案. 答案: 1 2 . 4.二项式(x2+ 1 x )5 展开式中 x 的系数为_____. 解析:利用二项式(x2+ )5 展开式的通项公式即可求得答案. 答案:10. 5.用半径 1 米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器,其容积为_____立方米. 解析:由已知求出圆锥的底面半径,进一步求得高,代入圆锥体积公式得答案. 答案: 3 24  . 6.已知α为锐角,且 cos(α+ 4  )= 3 5 ,则 sinα=_____. 解析:由α为锐角求出α+ 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sin(α+ 4  )的 值,所求式子中的角变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化简,将各自的值代入计算即 可求出值. 答案: 2 10 . 7.根据相关规定,机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于)20 毫克/100 毫升的行为属于 饮酒驾车.假设饮酒后,血液中的酒精含量为 p0 毫克/100 毫升,经过 x 个小时,酒精含量 降为 p 毫克/100 毫升,且满足关系式 p=p0·erx(r 为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量 为 89 毫克/100 毫升,2 小时后,测得其血液中酒精含量降为 61 毫克/100 毫升,则此人饮 酒后需经过_____小时方可驾车.(精确到小时) 解析:先求出 er= 61 89 ,再利用 89·exr<20,即可得出结论. 答案:8. 8.已知奇函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,数列{xn}是一个公差为 2 的等差数列,满足 f(x7)+f(x8)=0,则 x2017 的值为_____. 解析:设 x7=x,则 x8=x+2,则 f(x)+f(x+2)=0,结合奇函数关于原点的对称性可知, f(x+1)=0=f(0),x7=-1.设数列{xn}通项 xn=x7+2(n-7).得到通项 xn=2n-15.由此能求出 x2011 的 值. 答案:4019. 9.直角三角形 ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,点 M 是三角形 ABC 外接圆上任意一点,则 AB ·AM 的最大值为_____. 解析:建立坐标系,设 M ( 3 2 + 5 2 cosα,2+ sinα),则 =( + cosα,2+ sinα), =(3,0), · AM = 9 2 +15 2 cosα≤12. 答案:12. 10.已知 f(x)=ax-b((a>0 且且 a≠1,b∈R),g(x)=x+1,若对任意实数 x 均有 f(x)·g(x) ≤0,则 14 ab 的最小值为_____. 解析:根据对任意实数 x 均有 f(x)·g(x)≤0,求出 a,b 的关系,可求 14 ab 的最小值. 答案:4. 二、选择题(25 分)本大题共有 5 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 11.若空间三条直线 a、b、c 满足 a⊥b,b⊥c,则直线 a 与 c( ) A.一定平行 B.一定相交 C.一定是异面直线 D.平行、相交、是异面直线都有可能 解析:如图所示:a⊥b,b⊥c, a 与 c 可以相交,异面直线,也可能平行. 从而若直线 a、b、c 满足 a⊥b、b⊥c,则 a∥c,或 a 与 c 相交,或 a 与 c 异面. 答案:D. 12.在无穷等比数列{an}中, lim n (a1+a2+…+an)= 1 2 ,则 a1 的取值范围是( ) A.(0, ) B.( ,1) C.(0,1) D.(0, )∪( ,1) 解析:利用无穷等比数列和的极限,列出方程,推出 a1 的取值范围. 答案:D. 13.某班班会准备从含甲、乙的 6 名学生中选取 4 人发言,要求甲、乙两人至少有一人参加, 那么不同的发言顺序有( ) A.336 种 B.320 种 C.192 种 D.144 种 解析:根据题意,分 2 种情况讨论,①只有甲乙其中一人参加,②甲乙两人都参加,由排列、 组合计算可得其符合条件的情况数目,由加法原理计算可得答案. 答案:A. 14.已知椭圆 C1,抛物线 C2 焦点均在 x 轴上,C1 的中心和 C2 顶点均为原点 O,从每条曲线上 各取两个点,将其坐标记录于表中,则 C1 的左焦点到 C2 的准线之间的距离为( ) A. 2 -1 B. 3 -1 C.1 D.2 解析:由表可知:抛物线 C2 焦点在 x 轴的正半轴,设抛物线 C2:y2=2px(p>0),则有 2y x =2p(x ≠0),将(3,-2 3 ),(4,-4)在 C2 上,代入求得 2p=4,即可求得抛物线方程,求得准线 方程,设椭圆 C1: 22 22 xy ab =1(a>b>0),把点(-2,0),( 2 , 2 2 ),即可求得椭圆方程, 求得焦点坐标,即可求得 C1 的左焦点到 C2 的准线之间的距离. 答案:B. 15.已知 y=g(x)与 y=h(x)都是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当 x>0 时,g(x)=   2 01 11 xx g x x     ,< , > ,h(x)=klog2x(x>0),若 y=g(x)-h(x)恰有 4 个零点,则正实数 k 的取值 范围是( ) A.[ 1 2 ,1] B.( 1 2 ,1] C.( 1 2 ,log32] D.[ 1 2 ,log32] 解析:问题转化为 g(x)和 h(x)有 4 个交点,画出函数 g(x),h(x)的图象,结合图象得到关 于 k 的不等式组,解出即可. 答案:C. 三、解答题(本题满分 75 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应 的题号)内写出必要的步骤. 16.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,AB=a,AA1=2a,E,F 分别是棱 AD,CD 的中点. (1)求异面直线 BC1 与 EF 所成角的大小; (2)求四面体 CA1EF 的体积. 解析:(1)连接 A1C1,由 E,F 分别是棱 AD,CD 的中点,可得 EF∥AC,进一步得到 EF∥A1C1, 可知∠A1C1B 为异面直线 BC1 与 EF 所成角.然后求解直角三角形得答案; (2)直接利用等体积法把四面体 CA1EF 的体积转化为三棱锥 A1-EFC 的体积求解. 答案:(1)连接 A1C1, ∵E,F 分别是棱 AD,CD 的中点,∴EF∥AC,则 EF∥A1C1, ∴∠A1C1B 为异面直线 BC1 与 EF 所成角. 在△A1C1B 中,由 AB=a,AA1=2a,得 C1B=A1B=5a,A1C1=2a, ∴cos∠A1C1B= 2 102 105 a a  , ∴异面直线 BC1 与 EF 所成角的大小为 arccos 10 10 ; (2) 11 311····23 2 2 2 12C A EF A EFC a a aV V a   . 17.设双曲线 C: 22 23 xy =1,F1,F2 为其左右两个焦点. (1)设 O 为坐标原点,M 为双曲线 C 右支上任意一点,求 1·OM F M 的取值范围; (2)若动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 F1,F2 的距离之和为定值,且 cos∠F1PF2 的最小值为- 1 9 , 求动点 P 的轨迹方程. 解析:(1)设 M(x,y),x≥ 2 ,左焦点 F1(- 5 ,0),通过 =(x,y)·(x+ , y)利用二次函数的性质求出对称轴 x=- 5 5 ≤ ,求出 的取值范围. (2)写出 P 点轨迹为椭圆 22 22 xy ab =1,利用|F1F2|=2 ,|PF1|+|PF2|=2a,结合余弦定理, 以及基本不等式求解椭圆方程即可. 答案:(1)设 M(x,y),x≥ ,左焦点 F1(- ,0), =(x,y)·(x+ ,y)=x2+ x+y2=x2+ x+ 23 2 x -3= 5 2 x2+ x-3(x≥ 2 )对称轴 x=- 5 5 ≤ , ∈[2+ 10 ,+∞) (2)由椭圆定义得:P 点轨迹为椭圆 22 22 xy ab =1,|F1F2|=2 5 ,|PF1|+|PF2|=2acos∠F1PF2= 22 12 12 20 2 PF PF PF PF    = 2 12 12 4 2 20 2 a PF PF PF PF     = 2 12 4 20 21 a PF PF   由基本不等式得 2a=|PF1|+|PF2|≥ 122 PF PF , 当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立|PF1|·|PF2|≤a2 cos∠F1PF2≥ 2 2 4 20 12 a a   =- 1 9 a2=9, b2=4 所求动点 P 的轨迹方程为 22 94 xy =1. 18.在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 A(看做一点)的东偏 南θ角方向(cosθ= 2 10 ),300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大. (1)问 10 小时后,该台风是否开始侵袭城市 A,并说明理由; (2)城市 A 受到该台风侵袭的持续时间为多久? 解析:(1)建立直角坐标系,,则城市 A(0,0),当前台风中心 P(30 2 ,-210 ),设 t 小时后台风中心 P 的坐标为(x,y),由题意建立方程组,能求出 10 小时后,该台风还没有 开始侵袭城市 A. (2)t 小时后台风侵袭的范围可视为以 P(30 -10 2 t,-210 +10 2 t)为圆心,60+10t 为半径的圆,由此利用圆的性质能求出结果. 答案:(1)如图建立直角坐标系, 则城市 A(0,0),当前台风中心 P(30 2 ,-210 ), 设 t 小时后台风中心 P 的坐标为(x,y), 则 30 2 10 2 210 2 10 2 xt yt      ,此时台风的半径为 60+10t, 10 小时后,|PA|≈184.4km,台风的半径为 r=160km, ∵r<|PA|, ∴10 小时后,该台风还没有开始侵袭城市 A. (2)由(1)知t小时后台风侵袭的范围可视为以P(30 -10 2 t,-210 +10 2 t)为圆心, 60+10t 为半径的圆, 若城市 A 受到台风侵袭, 则    22 30 2 10 2 0 210 2 10 2 0tt            ≤(60+10t), ∴300t2-10800t+86400≤0,即 t2-36t+288≤0, 解得 12≤t≤24 ∴该城市受台风侵袭的持续时间为 12 小时. 19.设集合 Ma={f(x)|存在正实数 a,使得定义域内任意 x 都有 f(x+a)>f(x)}. (1)若 f(x)=2x-x2,试判断 f(x)是否为 M1 中的元素,并说明理由; (2)若 g(x)=x3- 1 4 x+3,且 g(x)∈Ma,求 a 的取值范围; (3)若 h(x)=log3(x+ k x ), x∈[1,+∞)(k∈R),且 h(x)∈M2,求 h(x)的最小值. 解析:(1)利用 f(1)=f(0)=1,判断 f(x)M1. (2)f(x+a)-f(x)>0,化简,通过判别式小于 0,求出 a 的范围即可. (3)由 f(x+a)-f(x)>0,推出 h(x+2)-h(x)=log3[(x+2)+ 2 k x  ]-log3(x+ )>0,得到 x+2+ >x+ >0 对任意 x∈[1,+∞)都成立,然后分离变量,通过当-1<k≤0 时,当 0<k <1 时,分别求解最小值即可. 答案:(1)∵f(1)=f(0)=1,∴f(x) M1. (2)由 g(x+a)-g(x)=(x+a)3-x3- 1 4 (x+a)+ x=3ax2+3a2x+a3- a>0 ∴△=9a4-12a(a3- a)<0,故 a>1. (3)由 h(x+2)-h(x)=log3[(x+2)+ 2 k x  ]-log3(x+ k x )>0, 即:log3[(x+2)+ ]>log3(x+ k x ) ∴x+2+ >x+ k x >0 对任意 x∈[1,+∞)都成立 ∴   2 2 3 1 k x x k kkx    < < >> -1<k<3 当-1<k≤0 时,h(x)min=h(1)=log3(1+k); 当 0<k<1 时,h(x)min=h(1)=log3(1+k); 当 1≤k<3 时,h(x)min=h( k )=log3(2 k ). 综上:h(x)min=     3 3 1 1 1 2 1 3 log k k log k k   , < < , < . 20.由 n(n≥2)个不同的数构成的数列 a1,a2,…an 中,若 1≤i<j≤n 时,aj<ai(即后面的 项 aj 小于前面项 ai),则称 ai 与 aj 构成一个逆序,一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数 列的逆序数.如对于数列 3,2,1,由于在第一项 3 后面比 3 小的项有 2 个,在第二项 2 后 面比 2 小的项有 1 个,在第三项 1 后面比 1 小的项没有,因此,数列 3,2,1 的逆序数为 2+1+0=3;同理,等比数列 1,- 1 2 , 1 4 ,- 1 8 的逆序数为 4. (1)计算数列 an=-2n+19(1≤n≤100,n∈N*)的逆序数; (2)计算数列 an= 1 3 1 n n n nn         , 奇 , 偶 为 数 为 数 (1≤n≤k,n∈N*)的逆序数; (3)已知数列 a1,a2,…an 的逆序数为 a,求 an,an-1,…a1 的逆序数. 解析:(1)由{an}为单调递减数列,可得逆序数为 99+98+…+1. (2)当 n 为奇数时,a1>a3>…>a2n-1>0.当 n 为偶数时:0>a2>a4>…>a2n.可得逆序数. (3)在数列 a1,a2,…an 中,若 a1 与后面 n-1 个数构成 p1 个逆序对,则有(n-1)-p1 不构成逆 序对,可得在数列 an,an-1,…a1 中,逆序数为(n-1)-p1+(n-2)-p2+…+(n-n)-pn. 答案:(1)∵{an}为单调递减数列,∴逆序数为 99+98+…+1=  99 1 99 2  =4950. (2)当 n 为奇数时,a1>a3>…>a2n-1>0. 当 n 为偶数时:an-an-2= 2 11 nn nn  (n≥4)= 2 2 1n   =    2 11nn   <0 ∴0>a2>a4>…>a2n. 当 k 为奇数时,逆序数为(k-1)+(k-3)+…+2+ 3 2 k  + 5 2 k  +…+1= 23 4 1 8 kk; 当 k 为偶数时,逆序数为(k-1)+(k-3)+…+1+ 2 2 k  + 4 2 k  +…+1= 232 8 kk . (3)在数列 a1,a2,…an 中,若 a1 与后面 n-1 个数构成 p1 个逆序对, 则有(n-1)-p1 不构成逆序对,所以在数列 an,an-1,…a1 中, 逆序数为(n-1)-p1+(n-2)-p2+…+(n-n)-pn=  1 2 nn -a.