高中数学人教a版必修四课时训练：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 5页

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 课时目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求 f(x)＝Asin(ωx＋φ)及 y＝ Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握 y＝sin x，y＝cos x 的周期性及奇偶性． 1．函数的周期性 (1)对于函数 f(x)，如果存在一个______________，使得当 x 取定义域内的____________时， 都有____________，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的 __________________． 2．正弦函数、余弦函数的周期性 由 sin(x＋2kπ)＝________，cos(x＋2kπ)＝________知 y＝sin x 与 y＝cos x 都是______函数， ____________________都是它们的周期，且它们的最小正周期都是________． 3．正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)正弦函数 y＝sin x 与余弦函数 y＝cos x 的定义域都是______，定义域关于________对称． (2)由 sin(－x)＝________知正弦函数 y＝sin x 是 R 上的______函数，它的图象关于______对 称． (3)由 cos(－x)＝________知余弦函数 y＝cos x 是 R 上的______函数，它的图象关于______ 对称． 一、选择题 1．函数 f(x)＝ 3sin(x 2 －π 4)，x∈R 的最小正周期为( ) A.π 2 B．π C．2π D．4π 2．函数 f(x)＝sin(ωx＋π 6)的最小正周期为π 5 ，其中ω>0，则ω等于( ) A．5 B．10 C．15 D．20 3．设函数 f(x)＝sin 2x－π 2 ，x∈R，则 f(x)是( ) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为π 2 的奇函数 D．最小正周期为π 2 的偶函数 4．下列函数中，不是周期函数的是( ) A．y＝|cos x| B．y＝cos|x| C．y＝|sin x| D．y＝sin|x| 5．定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期为π，且当 x∈ －π 2 ，0 时，f(x)＝sin x，则 f －5π 3 的值为( ) A．－1 2 B.1 2 C．－ 3 2 D. 3 2 6．函数 y＝cos(sin x)的最小正周期是( ) A.π 2 B．π C．2π D．4π 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．函数 f(x)＝sin(2πx＋π 4)的最小正周期是________． 8．函数 y＝sin ωx＋π 4 的最小正周期是2π 3 ，则ω＝______. 9．若 f(x)是 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝sin x，则 f(x)的解析式是______________． 10．关于 x 的函数 f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题： ①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数； ②不存在φ，使 f(x)既是奇函数，又是偶函数； ③存在φ，使 f(x)是奇函数； ④对任意的φ，f(x)都不是偶函数． 其中的假命题的序号是________． 三、解答题 11．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝cos π 2 ＋2x cos(π＋x)； (2)f(x)＝ 1＋sin x＋ 1－sin x； (3)f(x)＝esin x＋e－sin x esin x－e－sin x. 12．已知 f(x)是以π为周期的偶函数，且 x∈[0，π 2]时，f(x)＝1－sin x，求当 x∈[5 2π，3π]时 f(x) 的解析式． 能力提升 13．欲使函数 y＝Asin ωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现 50 个最小值，则ω的最小值 是________． 14．判断函数 f(x)＝ln(sin x＋ 1＋sin2x)的奇偶性． 1．求函数的最小正周期的常用方法： (1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使 f(x＋T) ＝f(x)成立的 T. (2)图象法，即作出 y＝f(x)的图象，观察图象可求出 T.如 y＝|sin x|. (3)结论法，一般地，函数 y＝Asin(ωx＋φ)(其中 A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期 T＝2π ω . 2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称． 1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 答案 知识梳理 1．(1)非零常数 T 每一个值 f(x＋T)＝f(x) (2)最小正周期 2．sin x cos x 周期 2kπ (k∈Z 且 k≠0) 2π 3．(1)R 原点 (2)－sin x 奇 原点 (3)cos x 偶 y 轴 作业设计 1．D 2.B 3．B [∵sin 2x－π 2 ＝－sin π 2 －2x ＝－cos 2x， ∴f(x)＝－cos 2x. 又 f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)， ∴f(x)的最小正周期为π的偶函数．] 4．D [画出 y＝sin|x|的图象，易知．] 5．D [f －5π 3 ＝f π 3 ＝－f －π 3 ＝－sin －π 3 ＝sin π 3 ＝ 3 2 .] 6．B [cos[sin(x＋π)]＝cos(－sin x)＝cos(sin x)． ∴T＝π.] 7．1 8．±3 解析 2π |ω| ＝2π 3 ，∴|ω|＝3，∴ω＝±3. 9．f(x)＝sin|x| 解析 当 x<0 时，－x>0， f(－x)＝sin(－x)＝－sin x， ∵f(－x)＝f(x)，∴x<0 时，f(x)＝－sin x. ∴f(x)＝sin|x|，x∈R. 10．①④ 解析 易知②③成立，令φ＝π 2 ，f(x)＝cos x 是偶函数，①④都不成立． 11．解 (1)x∈R，f(x)＝cos π 2 ＋2x cos(π＋x)＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2xcos x. ∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin 2xcos x＝－f(x)． ∴y＝f(x)是奇函数． (2)对任意 x∈R，－1≤sin x≤1， ∴1＋sin x≥0,1－sin x≥0. ∴f(x)＝ 1＋sin x＋ 1－sin x定义域为 R. ∵f(－x)＝ 1＋sin－x＋ 1－sin－x＝ 1＋sin x＋ 1－sin x＝f(x)， ∴y＝f(x)是偶函数． (3)∵esin x－e－sin x≠0，∴sin x≠0， ∴x∈R 且 x≠kπ，k∈Z. ∴定义域关于原点对称． 又∵f(－x)＝esin－x＋e－sin－x esin－x－e－sin－x ＝e－sin x＋esin x e－sin x－esin x ＝－f(x)， ∴该函数是奇函数． 12．解 x∈[5 2π，3π]时，3π－x∈[0，π 2]， ∵x∈[0，π 2]时，f(x)＝1－sin x， ∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x. 又∵f(x)是以π为周期的偶函数， ∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)， ∴f(x)的解析式为 f(x)＝1－sin x，x∈[5 2π，3π]． 13.199 2 π 解析 要使 y 在闭区间[0,1]上至少出现 50 个最小值， 则 y 在[0,1]上至少含 49 3 4 个周期， 即 49 3 4 T≤1 T＝2π ω ，解得ω≥199 2 π. 14．解 ∵sin x＋ 1＋sin2x≥sin x＋1≥0， 若两处等号同时取到，则 sin x＝0 且 sin x＝－1 矛盾， ∴对 x∈R 都有 sin x＋ 1＋sin2x>0. ∵f(－x)＝ln(－sin x＋ 1＋sin2x) ＝ln( 1＋sin2x－sin x) ＝ln( 1＋sin2x＋sin x)－1 ＝－ln(sin x＋ 1＋sin2 x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．