高中人教a版数学必修4：第三章 章末检测 word版含解析 6页

第三章章末检测 班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 一、选择题：本大题共 12 题，每题 5 分，共 60 分．在下列各题的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的． 1．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为( ) A．－ 2 2 B. 2 2 C. 3 2 D．1 答案：B 解析：原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝ 2 2 . 2．已知 sinα＝2 3 ，则 cos(π－2α)等于( ) A．－ 5 3 B．－1 9 C.1 9 D. 5 3 答案：B 解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×4 9 －1＝－1 9. 3．已知 M＝ x|sinx＝1 2 ，N＝ x|cos2x＝1 2 ，则( ) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ 答案：B 解析：由 cos2x＝1－2sin2x＝1 2 ，得 sinx＝±1 2 ，故选 B. 4．已知 sinθ 2 ＝－4 5 ，cosθ 2 ＝3 5 ，则角θ终边所在象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：∵sinθ＝2sinθ 2cosθ 2 ＝－24 25<0，cosθ＝cos2θ 2 －sin2θ 2 ＝－ 7 25<0，∴θ终边在第三象限． 5．函数 f(x)＝lg (sin2x－cos2x)的定义域是( ) A. x|2kπ－3π 4 0，∴cos2x<0，∴2kπ＋π 2<2x<2kπ ＋3π 2 ，k∈Z，∴kπ＋π 40)的最小正周期为 1，则它的图象的一个对称中心为 ( ) A. －π 8 ，0 B．(0,0) C. －1 8 ，0 D. 1 8 ，0 答案：C 解析：由条件得 f(x)＝ 2sin ax＋π 4 ，又函数的最小正周期为 1，故2π a ＝1，∴a＝2π，故 f(x)＝ 2sin 2πx＋π 4 .将 x＝－1 8 代入得函数值为 0. 7．tan20°＋tan40°＋ 3(tan20°＋tan40°)等于( ) A. 3 3 B．1 C. 3 D. 6 答案：C 解析：tan60°＝ tan20°＋tan40° 1－tan20°·tan40° ， ∴ 3－ 3tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°， ∴tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°＝ 3. 8．关于 x 的方程 sinx＋ 3cosx－a＝0 有实数解，则实数 a 的范围是( ) A．[－2,2] B．(－2,2) C．(－2,0) D．(0,2) 答案：A 解析：sinx＋ 3cosx－a＝0，∴a＝sinx＋ 3cosx ＝2 1 2sinx＋ 3 2 cosx ＝2sin x＋π 3 ，－1≤sin x＋π 3 ≤1，∴－2≤a≤2. 9．若α，β为锐角，sinα＝2 5 5 ，sin(α＋β)＝3 5 ，则 cosβ等于( ) A.2 5 5 B.2 5 25 C.2 5 5 或2 5 25 D．－2 5 25 答案：B 解析：cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα， ∵α为锐角 cosα＝ 1－20 25 ＝ 5 5 ， ∴sin(α＋β)＝3 5 ＜sinα，∴α＋β＞π 2. ∴cos(α＋β)＝－ 1－ 9 25 ＝－4 5 ， ∴cosβ＝－4 5 × 5 5 ＋2 5 5 ×3 5 ＝2 5 25 . 10．函数 y＝sinx 2 ＋ 3cos x 2 的图象的一条对称轴方程为( ) A．x＝11 3 π B．x＝5 3π C．x＝－5 3π D．x＝－π 3 答案：C 解析：y＝sinx 2 ＋ 3cosx 2 ＝2sin x 2 ＋π 3 ， 又 f －5 3π ＝2sin －5 6π＋π 3 ＝2sin －π 2 ＝－2， ∴x＝－5 3π为函数的一条对称轴． 11．已知θ为第三象限角，若 sin4θ＋cos4θ＝5 9 ，则 sin2θ等于( ) A.2 2 3 B．－2 2 3 C.2 3 D．－2 3 答案：A 解析：由 sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝5 9 ，知 sin2θcos2θ＝2 9 ，又θ为第三象 限角， ∴sinθ·cosθ＝ 2 3 ，sin2θ＝2 2 3 . 12．设动直线 x＝a 与函数 f(x)＝2sin2 π 4 ＋x 和 g(x)＝ 3cos2x 的图象分别交于 M，N 两 点，则|MN|的最大值为( ) A. 2 B. 3 C．2 D．3 答案：D 解析：f(x)＝1－cos π 2 ＋2x ＝1＋sin2x. |MN|＝|f(a)－g(a)|＝|1＋sin2a－ 3cos2a|＝|2sin 2a－π 3 ＋1|≤3. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上． 13．cosπ 5cos2 5π的值是________． 答案：1 4 解析：原式＝ 1 2sinπ 5 ·2sinπ 5cosπ 5·cos2π 5 ＝ 1 4sinπ 5 ·2sin2π 5 cos2 5π＝ 1 4sinπ 5 sin4 5π＝1 4. 14．已知 sinα＝1 2 ＋cosα，且α∈ 0，π 2 ，则 cos2α sin α－π 4 的值为________． 答案：－ 14 2 解析：∵sin2α＋cos2α＝1，sinα＝1 2 ＋cosα， ∴ 1 2 ＋cosα 2＋cos2α＝1，∴2cos2α＋cosα－3 4 ＝0， ∴cosα＝－1± 7 4 ， ∵α∈ 0，π 2 ，∴cosα>0， ∴cosα＝ 7－1 4 ，∴sinα＝1 2 ＋cosα＝ 7＋1 4 ， ∴ cos2α sin α－π 4 ＝ cos2α－sin2α 2 2 sinα－cosα ＝－ 2(sinα＋cosα)＝－ 2 7＋1 4 ＋ 7－1 4 ＝－ 14 2 . 15．已知 cosα＝1 3 ，cos(α＋β)＝－1 3 ，且α，β∈ 0，π 2 ，则 cos(α－β)的值为________． 答案：23 27 解析：∵cosα＝1 3 ，α∈ 0，π 2 ， ∴sinα＝2 2 3 ，∴sin2α＝4 2 9 ，cos2α＝－7 9. 又 cos(α＋β)＝－1 3 ，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝2 2 3 . ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β) ＝ －7 9 × －1 3 ＋4 2 9 ×2 2 3 ＝23 27. 16．函数 f(x)＝ 3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则 tanθ等于________． 答案：－ 3 解析：∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴ 3cos(－θ)－sin(－θ)＝0，∴ 3cosθ＋sinθ＝0，∴ tanθ＝－ 3. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10 分)已知sinα＋cosα sinα－cosα ＝3，tan(α－β)＝2，求 tan(β－2α)的值． 解：∵sinα＋cosα sinα－cosα ＝tanα＋1 tanα－1 ＝3，∴tanα＝2， ∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2， ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝ tanβ－α－tanα 1＋tanβ－αtanα ＝ －2－2 1＋－2×2 ＝4 3. 18．(12 分)已知向量 a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝2 5 5 ，求 cos(α－β)的 值． 解：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)， ∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)， ∴|a－b|＝ cosα－cosβ2＋sinα－sinβ2 ＝ 2－2cosα－β＝2 5 5 ， ∴cos(α－β)＝3 5. 19．(12 分)已知函数 f(x)＝－2 3sin2x＋sin2x＋ 3. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最小值； (2)在给出的直角坐标系中，画出函数 y＝f(x)在区间[0，π]上的图象． 解：(1)f(x)＝ 3(1－2sin2x)＋sin2x ＝sin2x＋ 3cos2x＝2sin 2x＋π 3 ， 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π，最小值为－2. (2)列表： x 0 π 12 π 3 7π 12 5π 6 π 2x＋π 3 π 3 π 2 π 3π 2 2π 7π 3 f(x) 3 2 0 －2 0 3 描点连线得图象，如图所示． 20．(12 分)已知向量 a＝(sinθ，－2)与 b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈ 0，π 2 . (1)求 sinθ和 cosθ的值； (2)若 sin(θ－φ)＝ 10 10 ，0<φ<π 2 ，求 cosφ的值． 解：(1)∵a⊥b，∴sinθ×1＋(－2)×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ. ∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1⇒cos2θ＝1 5. ∵θ∈ 0，π 2 ，∴cosθ＝ 5 5 ，sinθ＝2 5 5 . (2)解法一：由 sin(θ－φ)＝ 10 10 得， sinθcosφ－cosθsinφ＝ 10 10 ⇒sinφ＝2cosφ－ 2 2 ， ∴sin2φ＋cos2φ＝5cos2φ－2 2cosφ＋1 2 ＝1⇒5cos2φ－2 2cosφ－1 2 ＝0. 解得 cosφ＝ 2 2 或 cosφ＝－ 2 10 ， ∵0<φ<π 2 ，∴cosφ＝ 2 2 . 解法二：∵0<θ，φ<π 2 ，∴－π 2<θ－φ<π 2. 所以 cos(θ－φ)＝ 1－sin2θ－φ＝3 10 10 . 故 cosφ＝cos[(θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ) ＝ 5 5 ×3 10 10 ＋2 5 5 × 10 10 ＝ 2 2 . 21．(12 分)已知函数 f(x)＝ 2sinx＋ 2cos(x－π)． (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域； (2)若函数 f(x)的图象过点 α，6 5 ，π 4<α<3π 4 ，求 f π 4 ＋α 的值． 解：(1)由题意得，f(x)＝ 2sinx＋ 2cos(x－π)＝ 2sinx－ 2cosx＝2sin x－π 4 ，因为－ 1≤sin x－π 4 ≤1，所以函数 f(x)的值域为[－2,2]，函数 f(x)的周期为 2π. (2)因为函数 f(x)过点 α，6 5 ， 所以 f(α)＝6 5 ⇒2sin α－π 4 ＝6 5 ⇒ sin α－π 4 ＝3 5 ，因为π 4<α<3π 4 ， 所以 0<α－π 4<π 2 ⇒cos α－π 4 >0⇒cos α－π 4 ＝ 1－sin2 α－π 4 ＝4 5 ， 所以 f π 4 ＋α ＝2sinα＝2sin α－π 4 ＋π 4 ＝2sin α－π 4 cosπ 4 ＋2cos α－π 4 sinπ 4 ⇒f π 4 ＋α ＝7 2 5 . 22．(12 分)在△ABC 中，f(B)＝4cosB·sin2 π 4 ＋B 2 ＋ 3cos2B－2cosB. (1)若 f(B)＝2，求角 B； (2)若 f(B)－m>2 恒成立，求实数 m 的取值范围． 解：(1)f(B)＝4cosB·1－cos π 2 ＋B 2 ＋ 3cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋ 3cos2B－2cosB ＝sin2B＋ 3cos2B＝2sin 2B＋π 3 . ∵f(B)＝2，∴2sin 2B＋π 3 ＝2. ∵B 是△ABC 的内角， ∴2B＋π 3 ＝π 2 ，则 B＝ π 12. (2)若 f(B)－m>2 恒成立， 即 2sin 2B＋π 3 >2＋m 恒成立． ∵0