高考数学专题复习课件：8-1空间几何体的结构特征、三视图和直观图 60页

§8.1 　空间几何体的结构特征、三视图和直观图 [ 考纲要求 ] 　 1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 .2. 能画出简单空间图形 ( 长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合 ) 的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图 .3. 会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式 .4. 会画某些建筑物的三视图与直观图 ( 在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等没有严格要求 ) ． 1 ． 空间几何体的结构特征 (1) 多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个 面 ______ ， 其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等 平行 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一 个 _______ 的 三角形 棱台 棱锥被平行 于 ______ 的 平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台 公共顶点 底面 (2) 旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 矩形一边所在的直线 圆锥 直角三角形 一直角边所在的直线 圆台 直角梯形或等腰梯形 直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线 球 半圆或圆 直径所在的直线 2. 空间几何体的三视图 (1) 三视图的名称 几何体的三视图包括： _______ 、 ________ 、 _______ ． (2) 三视图的画法 ① 在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成 ______ ． ② 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 ______ 方、 _____ 方、 ______ 方观察几何体的正投影图． 正视图 侧视图 俯视图 虚线 正前 正左 正上 3 ． 空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用 ________ 画法，其规则是： (1) 原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中， x ′ 轴、 y ′ 轴的夹角为 _____________ ， z ′ 轴与 x ′ 轴、 y ′ 轴所在平面 _____ ． (2) 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别 ________ 坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度 _____ ，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为 ______________ ． 斜二测 45 ° ( 或 135 ° ) 垂直 平行于 不变 原来的一半 4 ． 常用结论 (1) 常见旋转体的三视图 ① 球的三视图都是半径相等的圆． ② 水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． ③ 水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． ④ 水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形． 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． ( 　　 ) (2) 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． ( 　　 ) (3) 夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台． ( 　　 ) (4) 正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同． ( 　　 ) (5) 用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱． ( 　　 ) (6) 菱形的直观图仍是菱形． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) × 　 (6) × 1 ． ( 教材改编 ) 下列说法正确的是 ( 　　 ) A ．相等的角在直观图中仍然相等 B ．相等的线段在直观图中仍然相等 C ．正方形的直观图是正方形 D ．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 【 解析 】 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变． 【 答案 】 D 2 ． (2017· 厦门质量检测 ) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于 ( 　　 ) 【 答案 】 C 3 ． (2015· 广东 ) 若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值 ( 　　 ) A ．至多等于 3 B ．至多等于 4 C ．等于 5 D ．大于 5 【 解析 】 当 n ＝ 3 时显然成立，故排除 C ， D ；由正四面体的四个顶点两两距离相等，得 n ＝ 4 时成立，故选 B. 【 答案 】 B 4 ． (2017· 山东枣庄第三中学第二次学情调查 ) 已知某几何体的三视图 ( 单位： cm) 如图所示，则该几何体的体积是 ( 　　 ) A ． 48 cm 3 B ． 98 cm 3 C ． 88 cm 3 D ． 78 cm 3 【 答案 】 B 5 ．正三角形 AOB 的边长为 a ，建立如图所示的直角坐标系 xOy ，则它的直观图的面积是 ________ ． 【 解析 】 画出坐标系 x ′ O ′ y ′ ，作出 △ OAB 的直观图 O ′ A ′ B ′( 如图 ) ． D ′ 为 O ′ A ′ 的中点． 题型一　空间几何体的结构特征 【 例 1 】 (1) 给出下列命题： ① 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ② 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③ 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ④ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确命题的个数是 ( 　　 ) A ． 0 　　　　　　　　　　　　 B ． 1 C ． 2 D ． 3 (2) ( 易错题 ) 下列说法正确的是 ( 　　 ) A ．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B ．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C ． 有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D ．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 (3) 设有以下四个命题： ① 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ② 底面是矩形的平行六面体是长方体； ③ 直四棱柱是直平行六面体； ④ 棱台的相对侧棱延长后必交于一点． 其中真命题的序号是 ________ ． 【 解析 】 (1) ① 不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线； ② 不一定，因为 “ 其余各面都是三角形 ” 并不等价于 “ 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 ” ，如图 1 所示； ③ 不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图 2 所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体； ④ 错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等． (2)A 错，如图 (1) ； B 正确，如图 (2) ，其中底面 ABCD 是矩形，可证明 ∠ PAB ， ∠ PCB 都是直角，这样四个侧面都是直角三角形； C 错，如图 (3) ； D 错，由棱台的定义知，其侧棱的延长线必相交于同一点． (3) 命题 ① 符合平行六面体的定义，故命题 ① 是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题 ② 是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题 ③ 是错误的；命题 ④ 由棱台的定义知是正确的． 【 答案 】 (1)A 　 (2)B 　 (3) ①④ 【 方法规律 】 (1) 解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断； (2) 解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析． 跟踪训练 1 给出下列命题： ① 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ② 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； ③ 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④ 存在每个面都是直角三角形的四面体． 其中正确命题的序号是 ________ ． 【 解析 】 ① 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等； ② 正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角； ③ 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面； ④ 正确，如图，正方体 AC 1 中的三棱锥 C 1 ABC ，四个面都是直角三角形． 【 答案 】 ②③④ 题型二　空间几何体的三视图 命题点 1 　由空间几何体的三视图还原出几何体的形状 【 例 2 】 (2017· 锦州模拟 ) 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ( 　　 ) 【 解析 】 A ， B 的正视图不符合要求， C 的俯视图显然不符合要求，故选 D. 【 答案 】 D 命题点 2 　由空间几何体的直观图判断三视图 【 例 3 】 (2017· 贵州七校联考 ) 如图所示，四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点 ( 长方体是虚拟图形，起辅助作用 ) ，则四面体 ABCD 的三视图是 ( 用 ①②③④⑤⑥ 代表图形 )( 　　 ) A ． ① ②⑥ B ． ①②③ C ． ④⑤⑥ D ． ③④⑤ 【 解析 】 正视图应该是边长为 3 和 4 的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是 ① ；侧视图应该是边长为 5 和 4 的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是 ② ；俯视图应该是边长为 3 和 5 的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是 ③ . 【 答案 】 B 命题点 3 　由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图 【 例 4 】 (2017· 吉林模拟 ) 已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中 AB ＝ AC ，四边形 BCDE 为矩形，则该组合体的俯视图可以是 ________( 把你认为正确的图的序号都填上 ) ． 【 解析 】 直观图如图 1 的几何体 ( 上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱 ) 的俯视图为 ① ；直观图如图 2 的几何体 ( 上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱 ) 的俯视图为 ② ；直观图如图 3 的几何体 ( 上部是一个圆锥，下部是一个圆柱 ) 的俯视图为 ③ ；直观图如图 4 的几何体 ( 上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱 ) 的俯视图为 ④ . 【 答案 】 ①②③④ 【 方法规律 】 三视图问题的常见类型及解题策略 (1) 由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示． (2) 由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合． (3) 由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图． 跟踪训练 2 (1) 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是 ( 　　 ) A ．三棱锥 B ．三棱柱 C ．四棱锥 D ．四棱柱 (2) (2017· 衡阳联考 ) 已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的 ( 　　 ) 【 解析 】 (1) 由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示，则这个几何体是三棱柱，故选 B. (2) 根据三视图的定义可知 A 、 B 、 D 均不可能，故选 C. 【 答案 】 (1)B 　 (2)C 题型三　空间几何体的直观图 【 例 5 】 (1) 下 图是水平放置的某个三角形的直观图， D ′ 是 △ A ′ B ′ C ′ 中 B ′ C ′ 边的中点且 A ′ D ′ ∥ y ′ 轴， A ′ B ′ ， A ′ D ′ ， A ′ C ′ 三条线段对应原图形中的线段 AB ， AD ， AC ，那么 ( 　　 ) A ．最长的是 AB ，最短的是 AC B ．最长的是 AC ，最短的是 AB C ．最长的是 AB ，最短的是 AD D ．最长的是 AD ，最短的是 AC (2) (2017· 福州模拟 ) 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是 ( 　　 ) 【 解析 】 (1) A ′ D ′ ∥ y ′ 轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有 AD ⊥ BC ，又 AD 为 BC 边上的中线，所以 △ ABC 为等腰三角形． AD 为 BC 边上的高，则有 AB ， AC 相等且最长， AD 最短． (2) 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于 y 轴上的对角线长为 2. 【 答案 】 (1)C 　 (2)A 【 方法规律 】 用斜二测画法画直观图的技巧 在原图形中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中与 x ′ 轴或 y ′ 轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出． 跟踪训练 3 (2017· 武汉调研 ) 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是 ( 　　 ) 【 解析 】 B 的侧视图不对， C 的俯视图不对， D 的正视图不对，排除 B 、 C 、 D ， A 正确． 【 答案 】 A 易错警示系列 11 三视图识图中的易误辨析 【 典例 】 将正方体 ( 如图 1 所示 ) 截去两个三棱锥，得到如图 2 所示的几何体，则该几何体的侧视图为 ( 　　 ) 【 易误分析 】 (1) 不能正确把握投影方向、角度致误； (2) 不能正确确定点、线的投影位置； (3) 不能正确应用实虚线区分可见线与非可见线． 【 解析 】 侧视图中能够看到线段 AD 1 ，应画为实线，而看不到 B 1 C ，应画为虚线．由于 AD 1 与 B 1 C 不平行，投影为相交线，故应选 B. 【 答案 】 B 【 温馨提醒 】 (1) 因对三视图的原理认识不到位，区分不清选项 A 和 B ，而易误选 A. (2) 因对三视图的画法要求不明而误选 C 或 D. 在画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画，被遮住的部分的轮廓线用虚线画． (3) 解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图，在复习时要明确三视图的含义，掌握 “ 长对正、宽相等、高平齐 ” 的要求 . ► 方法与技巧 1 ．三视图的画法特征 “ 长对正、宽相等、高平齐 ” ，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽． 2 ．对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画其三视图． 3 ．由三视图还原几何体时，要遵循以下三步： (1) 看视图，明关系； (2) 分部分，想整体； (3) 综合起来，定整体． ► 失误与防范 画三视图应注意的问题 (1) 若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． (2) 确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同 .