2020年高中数学第一章空间几何体章末检测新人教A版必修2 8页

第一章 空间几何体 章末检测 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．下列说法中正确的是(　　)‎ A．棱柱的侧面可以是三角形 B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D．棱柱的各条棱都相等 解析：棱柱的侧面必须是平行四边形，侧棱长相等，但底面只需为多边形，且边长也不需要与侧棱长相等，故A、D不正确；球的表面不能为平面图形，故C不正确．‎ 答案：B ‎2．棱锥的侧面和底面可以都是(　　)‎ A．三角形　　　　　　　　 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解析：三棱锥的侧面和底面均是三角形，故选A.‎ 答案：A ‎3．已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是π，则该球的表面积为(　　)‎ A．4π B．8π C．12π D．16π 解析：设球的半径为R.由πR3＝π得R＝2，∴S球＝4πR2＝16π.‎ 答案：D ‎4．已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是(　　)‎ A．长方体 B．圆柱 8‎ C．四棱锥 D．四棱台 解析：由三视图可知该几何体是长方体．‎ 答案：A ‎5.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是(　　)‎ A．6 B．3 C．6 D．12‎ 解析：由画直观图的规则可知，平行于y轴的减半，平行x轴的长度保持不变．‎ 故△OAB中OA＝6，OB＝4，‎ 故△OAB的面积S＝×4×6＝12.‎ 答案：D ‎6．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：设圆柱的半径为r，高为h.由题意得h＝2πr，‎ ‎∴圆柱的表面积S圆柱表面积＝2πr2＋2πr×h＝2πr2＋2πr×2πr＝2πr2(1＋2π)，‎ 圆柱的侧面积S圆柱侧面积＝2πr×h＝2πr×2πr＝4π2r2.‎ 故＝＝.‎ 答案：B ‎7．某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(　　)‎ A．①③ B．①③④‎ C．①②③ D．①②③④‎ 解析：若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②‎ 8‎ 不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，①③都是能符合要求的几何体，故选A.‎ 答案：A ‎8．已知正六棱锥PABCDEF的底面边长为2，高也为2，则其侧面积为(　　)‎ A．2 B．12‎ C. D．6 解析：如图PO＝2，在等边△DOE中，OM＝ ＝，∴PM＝ ＝，‎ ‎∴S侧＝6××2×＝6.‎ 答案：D ‎9.如图所示是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是(　　)‎ A．24 B．12‎ C．8 D．4‎ 解析：由三视图可知，该几何体由两个相同的直三棱柱构成．三棱柱的高为4，三棱柱的底面为直角三角形，两直角边分别为2，，所以三角形的面积为×2×＝，所以三棱柱的体积为×4＝6，故该几何体的体积为2×6＝12.‎ 答案：B ‎10．在△ABC中，AB＝2，BC＝，∠ABC＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是(　　)‎ A.π B．π C.π D．π 解析：如图，△ABC绕BC旋转一周形成一个组合体，该组合体可看成圆锥CD中挖去一个小圆锥BD得到的．‎ ‎∵∠ABD＝60°，AB＝2，‎ ‎∴AD＝，BD＝1.‎ ‎∴V几何体＝V大圆锥－V小圆锥 ‎＝π·AD2·CD－π·AD2·BD ‎＝π×()2×＝π.‎ 8‎ 答案：A ‎11．如果一个棱锥的侧面积为Q，平行于底面的截面把高分成1∶2两部分，那么此截面截得的棱台的侧面积为(　　)‎ A.Q B．Q C.Q D．Q 解析：截面截得的小棱锥的高与原棱锥的高的比为1∶3，由相似三角形的性质易得它们的侧棱长之比为1∶3，则侧面积的比为1∶9，所以小棱锥的侧面积为Q，因此截面截得的棱台的侧面积为Q.‎ 答案：B ‎12．三棱台ABCA1B‎1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1ABC，BA1B‎1C，CA1B‎1C1的体积之比为(　　)‎ A．1∶1∶1 B．1∶1∶2‎ C．1∶2∶4 D．1∶4∶4‎ 解析：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B‎1C1＝4S.‎ ‎∴VA1ABC＝S△ABC·h＝Sh，‎ VCA1B‎1C1＝S△A1B‎1C1·h＝Sh.‎ 又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，‎ ‎∴VBA1B‎1C＝V台－VA1ABC－VCA1B‎1C1＝Sh－Sh－Sh＝Sh.即体积之比为1∶2∶4.‎ 答案：C 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足‎2l＝r1＋r2，其侧面积为8π，则l＝________.‎ 解析：S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝2πl2＝8π，所以l＝2.‎ 答案：2‎ ‎14.一块正方形薄铁片的边长为‎4 cm 8‎ ‎，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm3.‎ 解析：设圆锥底面圆的半径为r，则圆周长为2πr＝×2π×4，所以r＝1.‎ 设圆锥高h，则h＝＝.‎ 所以所求容积为πr2h＝ (cm3)．‎ 答案： ‎15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．‎ 解析：由三视图可知题中几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成的，所以该几何体的体积V＝V圆柱＋V球＝×π×12×2＋×π×13＝π.‎ 答案：π ‎16．如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC1的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________．‎ 解析：设三棱台的上底面面积为S0，则下底面面积为4S0，高为h，则V三棱台ABCA1B‎1C1＝(S0＋4S0＋2S0)h＝S0h，V三棱柱FECA1B‎1C1＝S0h.设剩余的几何体的体积为V，则V＝S0h－S0h＝S0h，体积之比为3∶4或4∶3.‎ 答案：3∶4 (或4∶3)‎ 三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ 8‎ ‎17．(本小题满分12分)某五面体的三视图如图所示，其正视图、俯视图均是等腰直角三角形，侧视图是直角梯形，部分长度已标出，试画出该几何体，并求出此几何体各棱的长．‎ 解析：借助正方体(棱长为1)及题目所给的三视图，该几何体可看作是从正方体中截出来的(如图①所示)，然后将所得图形从正方体中分离出来，即可得到该几何体(如图②所示)，易知该几何体为四棱锥ABMC‎1C.‎ 结合给定的三视图的长度关系，可知在四棱锥ABMC‎1C中，AB＝1，BC＝1，AC＝，BM＝，AM＝，CC1＝1，AC1＝，MC1＝.‎ ‎18．(本小题满分12分)已知有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝‎72 cm，要剪下来一个扇环ABCD作圆台形容器的侧面，并且在余下的扇形OCD内剪下一块与扇形相切的圆形，使它恰好作圆台形容器的下底面 (大底面)．试求：‎ ‎(1)AD的长；‎ ‎(2)容器的体积(结果保留π)．‎ 解析：(1)如图所示，设圆台上、下底面半径分别为r，R，AD＝x，则OD＝72－x.‎ 由题意得 ‎∴R＝12，r＝6，x＝36，∴AD＝‎36 cm.‎ ‎(2)圆台的高为h＝＝＝6(cm)，故 V＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π×6×(122＋12×6＋62)＝504π(cm3)．‎ ‎19．(本小题满分12分)如图所示是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图及其正视图和侧视图(单位：cm)．‎ 8‎ ‎(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；‎ ‎(2)按照给出的数据，求该多面体的体积．‎ 解析：(1)加上俯视图后的三视图如图所示．‎ ‎(2)该多面体的体积V＝V长方体－V三棱锥＝4×4×6－××2＝(cm3)．‎ ‎20.(本小题满分12分)如图所示，A为直线y＝x上一点，AB⊥x轴于点B，半圆的圆心O′在x轴的正半轴上，且半圆与AB，AO相切，已知△ABO绕x轴旋转一周形成的几何体的体积为9π，求阴影部分旋转成的几何体的体积．‎ 解析：设A点坐标为.V旋＝V圆锥－V球，‎ V圆锥＝πr2h＝π×x2×x＝πx3＝9π，‎ 求得x＝3.‎ ‎∴OB＝3，AB＝3，故OA＝6.∴∠AOB＝30°.‎ 故OO′＝2R，又∵OO′＋O′B＝x，即2R＋R＝x，‎ 求得R＝x＝.‎ V球＝πR3＝π×()3＝4π.‎ ‎∴V旋＝9π－4π＝5π.‎ ‎21．(本小题满分13分)直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋)π，求这个旋转体的体积．‎ 解析：如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，绕直线AB旋转一周后形成一个圆柱和一个圆锥的组合体．设CD＝x，则AB＝x，AD＝AB－CD＝‎ 8‎ x－x＝，BC＝x.‎ S表＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧 ‎＝π·AD2＋2π·AD·CD＋π·AD·BC ‎＝π·＋2π··x＋π··x ‎＝πx2.‎ 根据题设，πx2＝(5＋)π，‎ 解得x＝2.‎ 所以旋转体的体积V＝π·AD2·CD＋π·AD2·(AB－CD)＝π×12×2＋×12×(3－2)＝π.‎ ‎22．(本小题满分13分)一个圆锥底面半径为R，高为R，求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．‎ 解析：如图所示，△SAB为圆锥的一个轴截面，且该轴截面经过正四棱柱的对角面，DF为棱柱的底面对角线．‎ 设正四棱柱的高为h，底面正方形边长为a，则DE＝a.‎ ‎∵△SDE∽△SAO，∴＝.‎ ‎∵AO＝R，SO＝R，‎ ‎∴＝，∴h＝R－a.‎ ‎∴S表＝‎2a2＋4ah＝‎2a2＋‎4a.‎ 整理得S表＝(2－2)2＋(0