2019学年高中数学暑假作业 集合、函数、基本初等函数 5 函数的性质（二） 8页

五、函数的性质二 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b ‎2．若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=ex+m（m为常数），则f（m）=（　　）‎ A．e﹣1 B．1﹣e C． D．‎ ‎4．已知函数f（x）满足f（x）=f（）且当x∈[，1]时，f（x）=lnx，若当x∈[]时，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，0] B．[﹣πlnπ，0] C．[﹣，] D．[﹣，﹣]‎ ‎5．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2，则函数f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于（　　）‎ A．﹣1 B．‎1 ‎C．6 D．12‎ ‎6．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（　　）‎ A．3 B．‎1 ‎C．﹣1 D．﹣3‎ 8‎ ‎7．记max{x，y}=，若f（x），g（x）均是定义在实数集R上的函数，定义函数h（x）=max{f（x），g（x）}，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若f（x），g（x）都是单调函数，则h（x）也是单调函数 B．若f（x），g（x）都是奇函数，则h（x）也是奇函数 C．若f（x），g（x）都是偶函数，则h（x）也是偶函数 D．若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则h（x）既不是奇函数，也不是偶函数 ‎8．已知函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，则以下结论正确的是（　　）‎ A．函数|f（x）|为偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递增 B．函数|f（x）|为奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递增 C．函数f（|x|）为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增 D．函数f（|x|）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增 ‎9．已知函数f（x）在（﹣∞，2]为增函数，且f（x+2）是R上的偶函数，若f（a）≤f（3），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a≤1 B．a≥‎3 ‎C．1≤a≤3 D．a≤1或a≥3‎ ‎10．已知f（x）是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g（x）=f（x﹣1），则f（2009）+f（2011）的值为（　　）‎ A．﹣1 B．‎1 ‎C．0 D．无法计算 ‎11．若函数在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（　　）‎ A．0 B．‎2 ‎C．4 D．6‎ ‎12．函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2（x1＜x2）都有x‎2f（x1）＞x‎1f（x2），记a=f（2），b=f（1），c=﹣f（﹣3），则a，b，c之间的大小关系为（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b ‎　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．已知函数ƒ（2x）的定义域为[﹣1，1]，则函数y=ƒ（log2x）的定义域为　 　．‎ 8‎ ‎14．设函数，若f（x）在区间[m，4]上的值域为[﹣1，2]，则实数m的取值范围为　 　．‎ ‎15．函数f（x）=loga（x+28）﹣3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的横坐标为x0，函数g（x）=a+4的图象恒过定点B，则B点的坐标为　 　．‎ ‎16．函数f（x）=log（x2+3x﹣4）的单调递增区间为　 　．‎ 三．解答题（共2小题）‎ ‎17．已知定义在区间（﹣1，1）上的函数为奇函数，且．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）用定义证明：函数f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数；‎ ‎（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．‎ ‎18．已知函数是奇函数．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；‎ ‎（3）求函数的值域．‎ ‎　‎ ‎　‎ 8‎ 答案：‎ 五、　函数的性质二 选择题（共12小题）‎ ‎1．【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，‎ ‎∴a=﹣f（）=f（log25），b=f（log24.1），‎ c=f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，‎ ‎∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．‎ ‎2．【解答】解：A：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；‎ B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；‎ C：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确；‎ D：与直线y=2在（﹣∞，0）上有交点，故正确．故选D．‎ ‎3．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（0）=0，‎ 又由当x≥0时，f（x）=ex+m，则有f（0）=e0+m=1+m=0，解可得m=﹣1，‎ 即当x≥0时，f（x）=ex﹣1，f（m）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（e1﹣1）=1﹣e；‎ 故选：B．‎ ‎4．【解答】解：设x∈[1，π]，‎ 则∈[，1]，因为f（x）=f（）且当x∈[，1]时，‎ f（x）=lnx，所以f（x）=f（）=ln=﹣lnx，‎ 则f（x）=，‎ 在坐标系中画出函数f（x）的图象如图：‎ 因为函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点，‎ 所以直线y=ax与函数f（x）的图象有交点，‎ 由图得，直线y=ax与y=f（x）的图象相交于点（，﹣lnπ），‎ 即有﹣lnπ=，解得a=﹣πlnπ．‎ 由图象可得，实数a的取值范围是：[﹣πlnπ，0]故选：B．‎ 8‎ ‎　‎ ‎5．【解答】解：由题意知 当﹣2≤x≤1时，f（x）=x﹣2，当1＜x≤2时，f（x）=x3﹣2，‎ 又∵f（x）=x﹣2，f（x）=x3﹣2在定义域上都为增函数，∴f（x）的最大值为f（2）=23﹣2=6．故选C．‎ ‎6．【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，‎ 所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，‎ 又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选D．‎ ‎7．【解答】解：对于A，如f（x）=x，g（x）=﹣2x都是R上的单调函数，‎ 而h（x）=不是定义域R上的单调函数，命题A错误；‎ 对于B，如f（x）=x，g（x）=﹣2x都是R上的奇函数，‎ 而h（x）=不是定义域R上的奇函数，命题B错误；‎ 对于C，当f（x）、g（x）都是定义域R上的偶函数时，‎ h（x）=man{f（x），g（x）}也是定义域R上的偶函数，命题C正确；‎ 对于D，如f（x）=sinx是定义域R上的奇函数，g（x）=x2+2是定义域R上的偶函数，而h（x）=g（x）=x2+2是定义域R上的偶函数，命题D错误．‎ 故选：C．‎ ‎8．【解答】解：函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，‎ 不妨令f（x）=x，则|f（x）|=|x|，f（|x|）=|x|；‎ ‎∴函数|f（x）|为偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，∴命题A、B错误；‎ 函数f（|x|）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，∴命题C错误、D正确．‎ 8‎ 故选：D．　‎ ‎9【解答】解：∵f（x+2）是R上的偶函数，∴f（x+2）=f（﹣x+2）‎ ‎∴f（x）图象的对称轴为x=2，‎ ‎∵f（x）在（﹣∞，2]上是增函数，∴f（x）在（2，+∞）上是减函数，‎ ‎∵f（a）≤f（3），且f（3）=f（1），∴a≤1或a≥3，故选D．　‎ ‎10．【解答】解：∵f（﹣x﹣1）=g（﹣x）=﹣g（x）=﹣f（x﹣1），又f（x）为偶函数∴f（x+1）=f[﹣（x+1）]=f（﹣x﹣1），于是f（x+1）=﹣f（x﹣1）‎ ‎∴f（x+1）+f（x﹣1）=0．∴f（2009）+f（2011）=f（2010﹣1）+f（2010+1）=0故选C ‎11．【解答】解：∵，‎ ‎∴f（﹣x）=3+=3﹣，‎ ‎∴f（x）+f（﹣x）=6．①‎ 又f（x）在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，‎ 即无论k取什么样的正实数都应有最大值与最小值的和是一个确定的值，‎ 故可令k=1，由于函数在区间[﹣k，k]（k＞0）上是一个增函数，故m+n=f（k）+f（﹣k）‎ 由①知，m+n=f（k）+f（﹣k）=6．故选：D．　‎ ‎12．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，‎ 且对任意两个正数x1，x2（x1＜x2），都有x‎2f（x1）＞x‎1f（x2），‎ ‎∴＞； 设g（x）=，g（x）在（0，+∞）上是单调减函数；‎ 又a=f（2）=，b=f（1）=，c=﹣f（﹣3）=f（3）=，‎ ‎∴g（1）＞g（2）＞g（3），即b＞a＞c．故选：B．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．【解答】解：∵函数ƒ（2x）的定义域为[﹣1，1]，‎ ‎∴﹣1≤x≤1，∴．∴在函数y=ƒ（log2x）中，，‎ ‎∴．故答案为：[]．‎ 8‎ ‎14．【解答】解：函数f（x）的图象如图所示，结合图象易得 当m∈[﹣8，﹣1]时，f（x）∈[﹣1，2]．故答案为：[﹣8，﹣1]．‎ ‎　‎ ‎15．【解答】解：∵y=logax恒过定点（1，0），则函数f（x）=loga（x+28）﹣3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（﹣27，﹣3），‎ ‎∴x0=﹣27，又y=ax恒过定点（0，1），则函数g（x）=a+4=ax+27+4的图象恒过定点B（﹣27，5）．故答案为：（﹣27，5）．　‎ 16． ‎【解答】解：令t=x2+3x﹣4＞0，求得x＜﹣4，或x＞1，故函数的定义域为{x|x＜﹣4，或x＞1}，且f（x）=logt，故本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为 ‎ （﹣∞，﹣4），故答案为：（﹣∞，﹣4）．　‎ 三． 解答题（共2小题）‎ ‎17．【解答】解：（1）∵为奇函数，且 ‎∴，解得：a=1，b=0．∴‎ ‎（2）证明：在区间（﹣1，1）上任取x1，x2，令﹣1＜x1＜x2＜1，=‎ ‎∵﹣1＜x1＜x2＜1∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，（1+x12）＞0，（1+x22）＞0‎ ‎∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）故函数f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数．（3）∵f（t﹣1）+f（t）＜0∴f（t）＜﹣f（t﹣1）=f（1﹣t）‎ ‎∵函数f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数 8‎ ‎∴∴故关于t的不等式的解集为．‎ ‎18．【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，且为奇函数，∴f（0）=0，‎ ‎∴a=1（2）由（1）知，所以f（x）为增函数 证明：任取x1＜x2∈Rf（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣1+=∵x1＜x2∈R∴‎ ‎∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）为R上的增函数．‎ ‎（3）令则而2x＞0∴‎ ‎∴﹣1＜y＜1所以函数f（x）的值域为（﹣1，1）‎ 8‎