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- 2021-06-15 发布
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模块综合检测(C)
(时间：120 分钟 满分：150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1．设全集 U 是实数集 R，M＝{x|x2>4}，N＝{x| 2
x－1
≥1}，则上图中阴影部分
所表示的集合是( )
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1f(2) B．f(－1)0 且 a≠1)，若 f(4)g(－4)<0，则 y＝f(x)，
y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )
12．设函数 f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当 x≥1 时，f(x)＝lnx，则
有( )
A．f(1
3)g[f(x)]的解为________．
14．已知 loga
1
2>0，若 2 2 4x xa ≤1
a
，则实数 x 的取值范围为______________．
15．直线 y＝1 与曲线 y＝x2－|x|＋a 有四个交点，则 a 的取值范围为
________________．
16．已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.
x 1.5 3 5 6 8 9
lgx 4a－2b＋c 2a－b a＋c 1＋a－b－c 3[1－(a＋c)] 2(2a－b)
其中错误的对数值是________．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17．(10 分)已知函数 f(x)＝ 1
2
log [(1
2)x－1]，
(1)求 f(x)的定义域；
(2)讨论函数 f(x)的增减性．
18．(12 分)已知集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若 A 是空集，求 a 的取值范围；
(2)若 A 中只有一个元素，求 a 的值，并把这个元素写出来；
(3)若 A 中至多只有一个元素，求 a 的取值范围．
19．(12 分)设函数 f(x)＝ax－1
x＋1
，其中 a∈R.
(1)若 a＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求 f(x)的最大值和最小值；
(2)若 f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求 a 的取值范围，使 f(x)在定义域内是单
调减函数．
20．(12 分)关于 x 的二次方程 x2＋(m－1)x＋1＝0 在区间[0,2]上有解，求实数
m 的取值范围．
21．(12 分)
据气象中心观察和预测：发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动
速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示，过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂
线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km)．
(1)当 t＝4 时，求 s 的值；
(2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650km，试判断这场沙尘暴是否会
侵袭到 N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城？如果不会，请
说明理由．
22．(12 分)已知函数 f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意 x1，x2 都有
f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当 x>1 时，f(x)>0，f(2)＝1.
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)解不等式 f(2x2－1)<2.
模块综合检测(C)
1．C [题图中阴影部分可表示为(∁UM)∩N，集合 M＝{x|x>2 或 x<－2}，集合
N＝{x|1f(2)，即 f(－1)>f(2)．]
4．A [∵x∈R，∴y＝2x>0，即 A＝{y|y>0}．
又 B＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，
∴A⊆B.]
5．C [利润 300 万元，纳税 300·p%万元，
年广告费超出年销售收入 2%的部分为
200－1000×2%＝180(万元)，
纳税 180·p%万元，
共纳税 300·p%＋180·p%＝120(万元)，
∴p%＝25%.]
6．C [∵f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，
∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.]
7．C
[由题意可知 f(x)＝ 2x x≤0，
2－x，x>0.
作出 f(x)的图象(实线部分)如右图所示；
由图可知 f(x)的值域为(0,1]．]
8．A [方法一 排除法．
由题意可知 x>0，y>0，x－2y>0，
∴x>2y，x
y>2，∴log2
x
y>1.
方法二 直接法．
依题意，(x－2y)2＝xy，∴x2－5xy＋4y2＝0，
∴(x－y)(x－4y)＝0，∴x＝y 或 x＝4y，
∵x－2y>0，x>0，y>0，∴x>2y，
∴x＝y(舍去)，∴x
y
＝4，∴log2
x
y
＝2.]
9．B [当 x≤1 时，函数 f(x)＝4x－4 与 g(x)＝log2x 的图象有两个交点，可得
h(x)有两个零点，当 x>1 时，函数 f(x)＝x2－4x＋3 与 g(x)＝log2x 的图象有 1 个交
点，可得函数 h(x)有 1 个零点，∴函数 h(x)共有 3 个零点．]
10．C [∵b
a>0，∴a，b 同号．
若 a，b 为正，则从 A、B 中选．
又由 y＝ax2＋bx 知对称轴 x＝－ b
2a<0，∴B 错，
但又∵y＝ax2＋bx 过原点，∴A、D 错．
若 a，b 为负，则 C 正确．]
11．B [据题意由 f(4)g(－4)＝a2×loga4<0，得 00 时，y＝loga|x|＝logax 是减函数．]
12．C [由 f(2－x)＝f(x)知 f(x)的图象关于直线 x＝2－x＋x
2
＝1 对称，又当 x≥1
时，f(x)＝lnx，所以离对称轴 x＝1 距离大的 x 的函数值大，
∵|2－1|>|1
3
－1|>|1
2
－1|，
∴f(1
2)0 得 00，即 x<0，
所以函数 f(x)定义域为{x|x<0}．
(2)∵y＝(1
2)x－1 是减函数，f(x)＝ 1
2
log x 是减函数，
∴f(x)＝ 1
2
1log 12
x
在(－∞，0)上是增函数．
18．解 (1)要使 A 为空集，方程应无实根，应满足 a≠0
Δ<0
，
解得 a>9
8.
(2)当 a＝0 时，方程为一次方程，有一解 x＝2
3
；
当 a≠0，方程为一元二次方程，使集合 A 只有一个元素的条件是Δ＝0，解得
a＝9
8
，x＝4
3.
∴a＝0 时，A＝{2
3}；a＝9
8
时，A＝{4
3}．
(3)问题(3)包含了问题(1)、(2)的两种情况，
∴a＝0 或 a≥9
8.
19．解 f(x)＝ax－1
x＋1
＝ax＋1－a－1
x＋1
＝a－a＋1
x＋1
，
设 x1，x2∈R，则 f(x1)－f(x2)＝a＋1
x2＋1
－a＋1
x1＋1
＝a＋1x1－x2
x1＋1x2＋1.
(1)当 a＝1 时，f(x)＝1－ 2
x＋1
，设 0≤x10，x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)x2>0，则 x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0.
若使 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
只要 f(x1)－f(x2)<0，
而 f(x1)－f(x2)＝a＋1x1－x2
x1＋1x2＋1
，
∴当 a＋1<0，即 a<－1 时，有 f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x1)0，
(1)当 2 是方程 x2＋(m－1)x＋1＝0 的解时，
则 4＋2(m－1)＋1＝0，∴m＝－3
2.
(2)当 2 不是方程 x2＋(m－1)x＋1＝0 的解时，
①方程 f(x)＝0 在(0,2)上有一个解时，则 f(2)<0，
∴4＋2(m－1)＋1<0.∴m<－3
2.
②方程 f(x)＝0 在(0,2)上有两个解时，则
Δ＝m－12－4≥0，
0<－m－1
2 <2，
f2＝4＋2m－1＋1>0，
∴
m≥3 或 m≤－1，
－3－3
2.
∴－3
2x1>0，
则 f(x2)－f(x1)＝f(x1·x2
x1
)－f(x1)
＝f(x1)＋f(x2
x1
)－f(x1)＝f(x2
x1
)，
∵x2>x1>0，∴x2
x1
>1.
∴f(x2
x1
)>0，即 f(x2)－f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)解 ∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.
又∵f(x)是偶函数，
∴不等式 f(2x2－1)<2 可化为 f(|2x2－1|)
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