高中数学（人教版必修2）配套练习 第四章4.2.3 直线与圆的方程的应用 4页

4.2.3 直线与圆的方程的应用 一、基础过关 1．已知两点 A(－2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|＝2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的 面积等于 ( ) A．9π B．8π C．4π D．π 2．已知点 A(－1,1)和圆 C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从 A 经 x 轴反射到圆 C 上的最短 路程是 ( ) A．6 2－2 B．8 C．4 6 D．10 3．如果实数满足(x＋2)2＋y2＝3，则y x 的最大值为 ( ) A. 3 B．－ 3 C. 3 3 D．－ 3 3 4．已知两点 A(－2,0)，B(0,2)，点 C 是圆 x2＋y2－2x＝0 上任意一点，则△ABC 面积的最小 值是 ( ) A．3－ 2 B．3＋ 2 C．3－ 2 2 D.3－ 2 2 5．已知圆 x2＋y2＝9 的弦 PQ 的中点为 M(1，2)，则弦 PQ 的长为________． 6．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2＋y2＝4 上有且只有四个点到直线 12x－5y＋c＝0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是________． 7．已知关于 x，y 的方程 C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0. (1)当 m 为何值时，方程 C 表示圆； (2)若圆 C 与直线 l：x＋2y－4＝0 相交于 M，N 两点，且|MN|＝ 4 5 ，求 m 的值． 8. 如图所示，圆 O1 和圆 O2 的半径都等于 1，|O1O2|＝4.过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 为切点)，使得|PM|＝ 2|PN|.试建立平 面直角坐标系，并求动点 P 的轨迹方程． 二、能力提升 9．已知集合 M＝{(x，y)|y＝ 9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若 M∩N≠∅，则实数 b 的取值范围是 ( ) A．[－3 2，3 2] B．[－3,3] C．(－3,3 2] D．[－3 2，3) 10．台风中心从 A 地以每小时 20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心 30 km 的地区为危 险区，城市 B 在 A 地正东 40 km 处，则城市 B 处于危险区内的时间是 ( ) A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h 11．一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面 2 m，水面宽 12 m，当水面下降 1 m 后， 水面宽为______米． 12．等边△ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，且|BD|＝1 3|BC|，|CE|＝1 3|CA|，AD、BE 相交于点 P，求证：AP⊥CP. 三、探究与拓展 13．有一种商品，A、B 两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位 距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍．已知 A、B 相距 10 km，问这个居民应如何选择 A 地或 B 地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑) 答案 1．C 2．B 3．A 4．A 5．4 6．(－13,13) 7．解 (1)方程 C 可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，显然当 5－m>0，即 m<5 时，方程 C 表 示圆． (2)圆的方程化为 (x－1)2＋(y－2)2＝5－m， 圆心 C(1,2)，半径 r＝ 5－m， 则圆心 C(1,2)到直线 l：x＋2y－4＝0 的距离 d＝|1＋2×2－4| 12＋22 ＝ 1 5 . ∵|MN|＝ 4 5 ，∴1 2|MN|＝ 2 5 . 根据圆的性质有 r2＝d2＋ 1 2|MN| 2， ∴5－m＝ 1 5 2＋ 2 5 2，得 m＝4. 8．解 以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为 x 轴，建立如图所示的坐标系，则 O1(－2,0)，O2(2,0)． 由已知|PM|＝ 2|PN|， ∴|PM|2＝2|PN|2. 又∵两圆的半径均为 1， 所以|PO1|2－1 ＝2(|PO2|2－1)，设 P(x，y)， 则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33. ∴所求动点 P 的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33. 9．C 10．B 11．2 51 12．证明 以 B 为原点，BC 边所在直线为 x 轴，线段 BC 长的1 6 为单 位长，建立平面直角坐标系．则 A(3,3 3)，B(0,0)，C(6,0)．由已 知，得 D(2,0)，E(5， 3)．直线 AD 的方程为 y＝3 3(x－2)． 直线 BE 的方程为 y＝ 3 5 (x－5)＋ 3. 解以上两方程联立成的方程组， 得 x＝15 7 ，y＝3 7 3. 所以，点 P 的坐标是(15 7 ，3 7 3)． 直线 PC 的斜率 kPC＝－ 3 9 . 因为 kADkPC＝3 3×(－ 3 9 )＝－1， 所以，AP⊥CP. 13．解 以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系． |AB|＝10，所以 A(－5，0)，B(5,0)，设 P(x，y)是区域分界线上的 任一点，并设从 B 地运往 P 地的单位距离运费为 a，即从 B 地运 往 P 地的运费为|PB|·a，则 A 地的运费为|PA|·3a，当运费相等时， 就是|PB|·a＝3a·|PA|，即 3 x＋52＋y2＝ x－52＋y2， 整理得(x＋25 4 )2＋y2＝(15 4 )2.① 所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在 A 地或 B 地购买，在圆内的居民应选择在 A 地购买，在圆外的居民应选择在 B 地购买．