2006年湖南省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 7页

‎2006年湖南省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5，满分50）‎ ‎1. 函数y=‎log‎2‎x-2‎的定义域是（ ）‎ A.‎(3, +∞)‎ B.‎[3, +∞)‎ C.‎(4, +∞)‎ D.‎‎[4, +∞)‎ ‎2. 若数列‎{an}‎满足：a‎1‎‎=‎‎1‎‎3‎，且对任意正整数m，n都有am+n‎=am⋅‎an，则limn→+∞‎‎(a‎1‎+a‎2‎+...+an)=(‎ ‎‎)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎2‎ ‎3. 过平行六面体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB‎1‎D‎1‎平行的直线共有（ ）‎ A.‎4‎条 B.‎6‎条 C.‎8‎条 D.‎12‎条 ‎4. “a＝‎1‎”是“函数f(x)‎＝‎|x-a|‎在区间‎[1, +∞)‎上为增函数”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5. 已知‎|a‎→‎|‎＝‎2|b‎→‎|≠0‎，且关于x的方程x‎2‎‎+|a‎→‎|x+a‎→‎⋅b‎→‎=0‎有实根，则a‎→‎与b‎→‎的夹角的取值范围是（ ）‎ A.‎[0, π‎6‎]‎ B.‎[π‎3‎, π]‎ C.‎[π‎3‎, ‎2π‎3‎]‎ D.‎‎[π‎6‎, π]‎ ‎6. 某外商计划在‎4‎个候选城市投资‎3‎个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过‎2‎个，则该外商不同的投资方案有(        )‎ A.‎16‎种 B.‎36‎种 C.‎42‎种 D.‎60‎种 ‎7. 过双曲线M:x‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1‎的左顶点A作斜率为‎1‎的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且‎|AB|=|BC|‎，则双曲线M的离心率是（ ）‎ A.‎10‎ B.‎5‎ C.‎10‎‎3‎ D.‎‎5‎‎2‎ ‎8. 设函数f(x)=‎x-ax-1‎，集合M={x|f(x)<0}‎，P={x|f'(x)>0}‎，若M⊂P，则实数a的取值范围是（ ）‎ A.‎(-∞, -1)‎ B.‎(0, 1)‎ C.‎(1, +∞)‎ D.‎‎[1, +∞)‎ ‎9. 棱长为‎2‎的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎ ‎10. 若圆x‎2‎‎+y‎2‎-4x-4y-10‎＝‎0‎上至少有三个不同的点到直线l:ax+by＝‎0‎的距离为‎2‎‎2‎，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A.‎[π‎12‎,π‎4‎]‎ B.‎[π‎12‎,‎5π‎12‎]‎ C.‎[π‎6‎,π‎3‎]‎ D.‎‎[0,π‎2‎]‎ 二、填空题（共5小题，每小题4，满分20）‎ ‎11. 若‎(ax-1‎‎)‎‎5‎的展开式中x‎3‎的系数是‎-80‎，则实数a的值是________．‎ ‎12. 已知x≥1‎x-y+1≤0‎‎2x-y-2≤0‎，则x‎2‎‎+‎y‎2‎的最小值是________．‎ ‎13. 曲线y=‎‎1‎x和y=‎x‎2‎在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是________．‎ ‎14. 若f(x)=asin(x+π‎4‎)+bsin(x-π‎4‎)(ab≠0)‎是偶函数，则有序实数对‎(a, b)‎可以是________．（注：写出你认为正确的一组数字即可）‎ ‎15. 如图，OM // AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP‎→‎‎=xOA‎→‎+yOB‎→‎，则x的取值范围是________；当x=-‎‎1‎‎2‎时，y的取值范围是________．‎ ‎ 7 / 7‎ 三、解答题（共6小题，满分80）‎ ‎16. 如图，D是直角‎△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记‎∠CAD=a，‎∠ABC=β．‎ ‎（1）证明sina+cos2β=0‎；‎ ‎（2）若AC=‎3‎DC，求β的值．‎ ‎17. 某安全生产监督部门对‎5‎家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是‎0.5‎，整改后安检合格的概率是‎0.8‎，计算（结果精确到‎0.01‎）：‎ ‎（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；‎ ‎（2）平均有多少家煤矿必须整改；‎ ‎（3）至少关闭一家煤矿的概率．‎ ‎18. 如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为‎1‎和‎2‎，AB=4‎．‎ ‎（1）证明PQ⊥‎平面ABCD；‎ ‎（2）求异面直线AQ与PB所成的角；‎ ‎（3）求点P到平面QAD的距离．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎19. 已知函数f(x)=x-sinx，数列‎{an}‎满足：‎0a-1)‎，用y质量的水第二次清洗后的清洁度是y+acy+a，其中c(0.80)‎，且C‎1‎、C‎2‎的公共弦AB过椭圆C‎1‎的右焦点．‎ ‎（1）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C‎2‎的焦点是否在直线AB上；‎ ‎（2）是否存在m、p的值，使抛物线C‎2‎的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2006年湖南省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5，满分50）‎ ‎1.D ‎2.A ‎3.D ‎4.A ‎5.B ‎6.D ‎7.A ‎8.D ‎9.C ‎10.B 二、填空题（共5小题，每小题4，满分20）‎ ‎11.‎‎-2‎ ‎12.‎‎5‎ ‎13.‎‎3‎‎4‎ ‎14.‎‎(1, -1)‎ ‎15.‎(-∞, 0)‎,‎‎(‎1‎‎2‎,‎3‎‎2‎)‎ 三、解答题（共6小题，满分80）‎ ‎16.解：（1）∵ ‎α=π‎2‎-∠BAD=π‎2‎-(π-2β)=2β-‎π‎2‎ ‎∴ sinα=sin(2β-π‎2‎)=-cos2β，‎ 即sinα+cos2β=0‎ ‎（2）‎△ADC中由正弦定理DCsinα‎=‎ACsin(π-β)‎即DCsinα‎=‎ACsinβ 则sinβ=‎3‎sinα 由（1）得sinβ=-‎3‎cos2β=-‎3‎(1-2sin‎2‎β)‎ 即‎2‎3‎sin‎2‎β-sinβ-‎3‎=0‎ 解得sinβ=‎‎3‎‎2‎或sinβ=-‎‎3‎‎3‎ ‎∵ ‎‎0<β<π‎2‎∴ sinβ=‎3‎‎2‎∴ β=‎π‎3‎ ‎17.解：（1）每家煤矿必须整改的概率是‎1-0.5‎，‎ 且每家煤矿是否整改是相互独立的．‎ 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是 P‎1‎‎=C‎5‎‎2‎×(1-0.5‎)‎‎2‎×‎0.5‎‎3‎=‎5‎‎16‎=0.31‎‎．‎ ‎（2）由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B(5, 0.5)‎．‎ 从而ξ的数学期望是Eξ=5×0.5=2.5‎，‎ 即平均有‎2.50‎家煤矿必须整改．‎ ‎（3）某煤矿被关闭，‎ 即该煤矿第一次安检不合格，‎ 整改后经复查仍不合格，‎ 所以该煤矿被关闭的概率是 P‎2‎‎=(1-0.5)×(1-0.8)=0.1‎‎，‎ 从而该煤矿不被关闭的概率是‎0.9‎．‎ 由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，‎ 所以至少关闭一家煤矿的概率是 P‎3‎‎=1-‎0.9‎‎5‎=0.41‎ ‎18.解法一：（1）连接AC、BD，设AC∩BD=O．由P-ABCD与Q-ABCD 都是正四棱锥，所以PO⊥‎平面ABCD，QO⊥‎平面ABCD．‎ 从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥‎平面ABCD．‎ ‎（2）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD．‎ 由（1），PQ⊥‎平面ABCD，‎ ‎ 7 / 7‎ 故可以分别以直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是P(0, 0, 1)‎，Q(0, 0, -2)‎，‎B(0,2‎2‎，0)‎ 所以AQ‎→‎‎=(-2‎2‎,0,-2)‎，PB‎→‎‎=(0,2‎2‎,-1)‎，‎ 于是cos=‎|AQ‎→‎|⋅|PB‎→‎|‎‎˙‎=‎‎3‎‎9‎．‎ 从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos‎3‎‎9‎．‎ ‎（3）．由（2），点D的坐标是‎(0, -2‎2‎, 0)‎，AD‎→‎‎=(-2‎2‎,-2‎2‎,0)‎，PQ‎→‎‎=(0,0,-3)‎，‎ 设n‎→‎‎=(x,y,z)‎是平面QAD的一个法向量，‎ 由n‎→‎‎⋅AD‎→‎=0‎‎˙‎得‎2‎x+z=0‎x+y=0‎．‎ 取x=1‎，得n‎→‎‎=(1,-1,-‎2‎)‎．‎ 所以点P到平面QAD的距离d=‎|n‎→‎|‎‎˙‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎．‎ 解法二：（1）．取AD的中点M，连接PM，QM．‎ 因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，‎ 所以AD⊥PM，AD⊥QM．从而AD⊥‎平面PQM．‎ 又PQ⊂‎平面PQM，所以PQ⊥AD、同理PQ⊥AB，‎ 所以PQ⊥‎平面ABCD、‎ ‎（2）．连接AC、BD设AC∩BD=O，由PQ⊥‎平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在 PQ上，从而P、A、Q、C四点共面．‎ 取OC的中点N，连接PN．‎ 因为POOQ‎=‎1‎‎2‎，NOOA=NOOC=‎‎1‎‎2‎，‎ 所以POOQ‎=‎NOOA，‎ 从而AQ // PN．‎∠BPN（或其补角）是异面直线AQ 与PB所成的角．连接BN，‎ 因为PB=OB‎2‎+OP‎2‎=‎(2‎2‎‎)‎‎2‎+1‎=3‎．‎PN=ON‎2‎+OP‎2‎=‎(‎2‎‎)‎‎2‎+1‎=‎3‎BN=OB‎2‎+ON‎2‎=‎(2‎2‎‎)‎‎2‎+(‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎10‎ 所以cos∠BPN=PB‎2‎+PN‎2‎-BN‎2‎‎2PB⋅PN=‎9+3-10‎‎2×3×‎‎3‎=‎‎3‎‎9‎．‎ 从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos‎3‎‎9‎．‎ ‎（3）．由（1）知，AD⊥‎平面PQM，所以平面PQM⊥‎平面QAD、过P作PH⊥QM 于H，则PH⊥‎平面QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离．‎ 连接OM，则OM=‎1‎‎2‎AB=2=OQ．‎ 所以‎∠MQP=‎‎45‎‎∘‎，‎ 又PQ=PO+QO=3‎，于是PH=PQsin‎45‎‎∘‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎．‎ 即点P到平面QAD的距离是‎3‎‎2‎‎2‎ ‎19.证明：（1）先用数学归纳法证明‎00‎，‎ 所以f(x)‎在‎(0, 1)‎上是增函数．又f(x)‎在‎[0, 1]‎上连续，‎ 从而f(0)-2(x‎2‎‎)‎‎2‎+x‎2‎‎2‎=0‎．‎ ‎ 7 / 7‎ 所以g(x)‎在‎(0, 1)‎上是增函数．‎ 又g(x)‎在‎[0, 1]‎上连续，且g(0)=0‎，‎ 所以当‎00‎成立．‎ 于是g(an)>0‎，即sinan-an+‎1‎‎6‎an‎3‎>0‎．‎ 故an+1‎‎<‎‎1‎‎6‎an‎3‎．‎ ‎20.解：（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有x+0.8‎x+1‎‎=0.99‎，‎ 解得x=19‎．‎ 由c=0.95‎得方案乙初次用水量为‎3‎，第二次用水量y满足方程：y+0.95ay+a‎=0.99‎，‎ 解得y=4a，故z=4a+3‎．‎ 即两种方案的用水量分别为‎19‎与‎4a+3‎．‎ 因为当‎1≤a≤3‎时，x-z=4(4-a)>0‎，‎ 即x>z，‎ 故方案乙的用水量较少．‎ ‎（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（1）得 x=‎‎5c-4‎‎5(1-c)‎‎，‎y=a(99-100c)(*)‎ 于是x+y=‎5c-4‎‎5(1-c)‎+a(99-100c)=‎1‎‎5(1-c)‎+100a(1-c)-a-1‎ 当a为定值时，x+y≥2‎1‎‎5(1-c)‎‎×100a(1-c)‎-a-1=-a+4‎5a-1‎，‎ 当且仅当‎1‎‎5(1-c)‎‎=100a(1-c)‎时等号成立．‎ 此时c=1+‎1‎‎10‎‎5a(不合题意，舍去)或c=1-‎1‎‎10‎‎5a∈(0.8,0.99)‎，‎ 将c=1-‎‎1‎‎10‎‎5a代入‎(*)‎式得x=2‎5a-1>a-1，y=2‎5a-a．‎ 故c=1-‎‎1‎‎10‎‎5a时总用水量最少，‎ 此时第一次与第二次用水量分别为‎2‎5a-1与2‎5a-a，‎ 最少总用水量是T(a)=-a+4‎5a-1‎．‎ 当‎1≤a≤3时，T‎'‎(a)=‎2‎‎5‎a-1>0‎，‎ 故T(a)‎是增函数（也可以用二次函数的单调性判断）．‎ 这说明，随着a的值的增加，最少用水总量增加．‎ ‎21.解：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0‎，直线AB的方程为：‎ x=1‎‎，从而点A的坐标为‎(1, ‎3‎‎2‎)‎或‎(1, -‎3‎‎2‎)‎．‎ 因为点A在抛物线上．‎ 所以‎9‎‎4‎‎=2p，即p=‎‎9‎‎8‎．‎ 此时C‎2‎的焦点坐标为‎(‎9‎‎16‎, 0)‎，该焦点不在直线AB上．‎ ‎（2）解法一：假设存在m、p的值使C‎2‎的焦点恰在直线AB上，由（1）知直线AB 的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k(x-1)‎．‎ 由y=k(x-1)‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎消去y得‎(3+4k‎2‎)x‎2‎-8k‎4‎x+4k‎2‎-12=0‎①‎ 设A、B的坐标分别为‎(x‎1‎, y‎1‎)‎，‎(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ 则x‎1‎，x‎2‎是方程①的两根，x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎8‎k‎4‎‎3+4‎k‎2‎．‎ 由‎(y-m‎)‎‎2‎=2pxy=k(x-1)‎ 消去y得‎(kx-k-m‎)‎‎2‎=2px．②‎ 因为C‎2‎的焦点F'(p‎2‎，m)‎在直线y=k(x-1)‎上，‎ 所以m=k(p‎2‎-1)‎，即m+k=‎kp‎2‎．代入②有‎(kx-kp‎2‎‎)‎‎2‎=2px．‎ 即k‎2‎x‎2‎‎-p(k‎2‎+2)x+k‎2‎p‎2‎‎4‎=0‎．‎=3‎③‎ ‎ 7 / 7‎ 由于x‎1‎，x‎2‎也是方程‎=3‎③的两根，‎ 所以x‎1‎‎+x‎2‎=‎p(k‎2‎+2)‎k‎2‎．‎ 从而‎8‎k‎4‎‎3+4‎k‎2‎‎=‎p(k‎2‎+2)‎k‎2‎．‎ 解得p=‎8‎k‎4‎‎(4k‎2‎+3)(k‎2‎+2)‎=4‎④‎ 又AB过C‎1‎‎...‎C‎2‎的焦点，‎ 所以‎|AB|=(x‎1‎+p‎2‎)+(x‎2‎+p‎2‎)=x‎1‎+x‎2‎+p=(2-‎1‎‎2‎x‎1‎)+(2-‎1‎‎2‎x‎2‎)‎，‎ 则p=4-‎3‎‎2‎(x‎1‎+x‎2‎)=4-‎12‎k‎2‎‎4k‎2‎+3‎=‎‎4k‎2‎+12‎‎4k‎2‎+3‎．‎=5‎⑤‎ 由‎=4‎④、‎=5‎⑤式得‎8‎k‎4‎‎(4k‎2‎+3)(k‎2‎+2)‎‎=‎‎4k‎2‎+12‎‎4k‎2‎+3‎，即k‎4‎‎-5k‎2‎-6=0‎．‎ 解得k‎2‎‎=6‎．于是k=±‎6‎，p=‎‎4‎‎3‎．‎ 因为C‎2‎的焦点F'(‎2‎‎3‎，m)‎在直线y=±‎6‎(x-1)‎上，‎ 所以m=±‎6‎(‎2‎‎3‎-1)‎．‎ ‎∴ m=‎‎6‎‎3‎或m=-‎‎6‎‎3‎．‎ 由上知，满足条件的m、p存在，且m=‎‎6‎‎3‎或m=-‎‎6‎‎3‎，p=‎‎4‎‎3‎．‎ 解法二：设A、B的坐标分别为‎(x‎1‎, y‎1‎)‎，‎(x‎2‎y‎2‎)‎．‎ 因为AB既过C‎1‎的右焦点F(1, 0)‎，又过C‎2‎的焦点F'(p‎2‎，m)‎，‎ 所以‎|AB|=(x‎1‎+p‎2‎)+(x‎2‎+p‎2‎)=x‎1‎+x‎2‎+p=(2-‎1‎‎2‎x‎1‎)+(2-‎1‎‎2‎x‎2‎)‎．‎ 即x‎1‎‎+x‎2‎=‎2‎‎3‎(4-p)‎． ①‎ 由（1）知x‎1‎‎≠‎x‎2‎，p≠2‎，于是直线AB的斜率k=y‎2‎‎-‎y‎1‎x‎2‎‎-‎x‎1‎=m-0‎p‎2‎‎-1‎=‎‎2mp-2‎，②‎ 且直线AB的方程是y=‎2mp-2‎(x-1)‎，‎ 所以y‎1‎‎+y‎2‎=‎2mp-2‎(x‎1‎+x‎2‎-2)=‎‎4m(1-p)‎‎3(p-2)‎．③‎ 又因为‎3x‎1‎‎2‎+4y‎1‎‎2‎=12‎‎3x‎2‎‎2‎+4y‎2‎‎2‎=12‎，‎ 所以‎3(x‎1‎+x‎2‎)+4(y‎1‎+y‎2‎)⋅y‎2‎‎-‎y‎1‎x‎2‎‎-‎x‎1‎=0‎．④‎ 将①、②、③代入④得m‎2‎‎=‎‎3(p-4)(p-2‎‎)‎‎2‎‎16(1-p)‎．‎=5‎⑤‎ 因为‎(y‎1‎-m‎)‎‎2‎=2px‎1‎‎(y‎2‎-m‎)‎‎2‎=2px‎2‎，‎ 所以y‎1‎‎+y‎2‎-2m=2px‎2‎‎-‎x‎1‎y‎2‎‎-‎y‎1‎．‎=6‎⑥‎ 将②、③代入‎=6‎⑥得m‎2‎‎=‎‎3p(p-2‎‎)‎‎2‎‎16-10p．‎=7‎⑦‎ 由‎=5‎⑤、‎=7‎⑦得‎3(p-4)(p-2‎‎)‎‎2‎‎16(1-p)‎‎=‎‎3p(p-2‎‎)‎‎2‎‎16-10p．‎ 即‎3p‎2‎+20p-32=0‎ 解得p=‎4‎‎3‎或p=-8(舍去)‎．‎ 将p=‎‎4‎‎3‎代入‎=5‎⑤得m‎2‎‎=‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∴ m=‎‎6‎‎3‎或m=-‎‎6‎‎3‎．‎ 由上知，满足条件的m、p存在，‎ 且m=‎‎6‎‎3‎或m=-‎‎6‎‎3‎，‎p=‎‎4‎‎3‎ ‎ 7 / 7‎