2016年吉林省延边州高考模拟试卷数学理 18页

2016 年吉林省延边州高考模拟试卷数学理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上. 1.若 M  {a1，a2，a3，a4，a5}，且 M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}，则满足上述要求的集合 M 的个 数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：∵M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}，∴a1，a2∈M 且 a3  M， ∵M {a1，a2，a3，a4，a5}， ∴M={a1，a2，a4，a5}或{a1，a2，a4}或{a1，a2，a5}或{a1，a2}. 故选 D 2.复数 2 1 i i 的共轭复数是( ) A.1+i B.-1+i C.1-i D.-1-i 解析：∵      21222 11112 iiiiiiii    ，∴ z =-1-i. 故选：D 3.若向量 a =(3，4)，且存在实数 x，y，使得 =x 1e +y 2e ，则 ， 可以是( ) A. =(0，0)， =(-1，2) B. =(-1，3)， =(2，-6) C. =(-1，2)， =(3，-1) D. =(-12，1)， =(1，-2) 解析：根据平面向量基本定理知： ， 不共线； A. 1e =0e2， ， 2e 共线； B. =-2 ， ， 共线； C. =(-1，2)， =(3，-1)，∴-1×(-1)-2×3=-5≠0，∴ 与 不共线，即该选项正确； D. =-2 ，∴ ， 共线. 故选：C. 4.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2，且侧棱 AA1⊥面 A1B1C1，正视图是正方 形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为( ) A.2 3 B. C.2 2 D.4 解析：由题意知三棱柱的侧视图是一个矩形， 矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高， 在边长是 2 的等边三角形中， 底边上的高是 2× 3 2 = 3 ，∴侧视图的面积是 . 故选 A 5.在二项式(3x2- 1 x )n 的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为 ( ) A.-32 B.0 C.32 D.1 解析：二项式(3x2- 1 x )n 的展开式中，所有二项式系数的和是 32， ∴2n=32，解得 n=5；令 x=1，可得展开式中各项系数的和为(3×12- 1 1 )5=32. 故选：C. 6.若 x，y 满足约束条件 2 2 1 21 xy xy xy      ， ， ， 则 z=3x+2y 的取值范围( ) A.[ 5 4 ，5] B.[ 7 2 ，5] C.[ 5 4 ，4] D.[ 7 2 ，4] 解析：由题意作出其平面区域， 令 z=3x+2y，则 y=- 3 2 x+ 2 z ； 由 221xy yx    ，解得，x=y= 1 4 ；故 C( 1 4 ， )；由 21yx yx    ，解得，x=y=1；故 D(1，1)； 结合图象及 2 z 的几何意义知，3× 1 4 +2× ≤3x+2y≤3×1+2×1；即 5 4 ≤3x+2y≤5. 故选 A 7.执行如图所示的程序框图，如果输入 P=153，Q=63，则输出的 P 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D.27 解析：模拟执行程序，可得 P=153，Q=63； 不满足条件 Q=0，R=27，P=63，Q=27； 不满足条件 Q=0，R=9，P=27，Q=9； 不满足条件 Q=0，R=0，P=9，Q=0； 满足条件 Q=0，退出循环，输出 P 的值为 9. 故选：C 8.在△ABC 中，若 a2-b2= 3 bc，且  sin sin AB B  =2 3 ，则角 A=( ) A. 6  B. 3  C. 2 3  D. 5 6  解析：∵在△ABC 中， = sin sin C B =2 3 ，由正弦定理可得： sin sin cC bB =2 3 ，即： c=2 b， ∵a2-b2= bc，∴a2-b2= b×2 b，解得： 227ab ， ∴由余弦定理可得：cosA= 2 2 2 2 2 212 7 2 3 3 222 b c a b b b bc bb      ， ∵A∈(0，π)，∴A= 6  . 故选：A. 9.下列四种说法中，正确的个数有( ) ①命题“x∈R，均有 x2-3x-2≥0”的否定是：“x0∈R，使得 x0 2-3x0-2≤0”； ②  m∈R，使 f(x)= 2 2mmmx  是幂函数，且在(0，+∞)上是单调递增； ③不过原点(0，0)的直线方程都可以表示成 xy ab =1； ④回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为 y=1.23x+0.08. A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 解析：①命题“ x∈R，均有 x2-3x-2≥0”的否定是：“ x0∈R，使得 x0 2-3x0-2＜0，故① 错误； ② m=1，使 f(x)= 是幂函数，且在(0，+∞)上是单调递增，故②正确； ③不过原点(0，0)的直线方程不都可以表示成 =1，比如 a=0 或 b=0 时，故③错误； ④回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为 y=1.23x+0.08，故④正确. 故选：B 10.如图所示，M，N 是函数 y=2sin(ωx+φ)(ω＞0)图象与 x 轴的交点，点 P 在 M，N 之间的 图象上运动，当△MPN 面积最大时，PM⊥PN，则ω=( ) A. 4  B. 3  C. 2  D.8 解析：由图象可知，当 P 位于 M、N 之间函数 y=2sin(wx+φ)(ω＞0)图象的最高点时，△MPN 面积最大. 又此时 P M P N =0， ∴△MPN 为等腰直角三角形，过 P 作 PQ⊥x 轴于 Q，∴|PQ|=2， 则|MN|=2|PQ|=4，∴周期 T=2|MN|=8.∴ω= 22 84T   . 故选：A 11.已知抛物线 y2=4px(p＞0)与双曲线 22 22 xy ab =1(a＞0，b＞0)有相同的焦点 F，点 A 是两曲 线的交点，且 AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为( ) A. 5 1 2  B. 2 +1 C. 3 +1 D. 2 2 1 2  解析：设双曲线的左焦点为 F'，连接 AF'. ∵F 是抛物线 y2=4px 的焦点，且 AF⊥x 轴， ∴设 A(p，y0)，得 y0 2=4p×p，得 y0=2p，A(p，2p)， 因此，Rt△AFF'中，|AF|=|FF'|=2p，得|AF'|=2 2 p ∴双曲线 =1 的焦距 2c=|FF'|=2p，实轴 2a=|AF'|-|AF|=2p(2-1), 由此可得离心率为：e=   22 2 221 ccp aap   = 2 +1. 故选：B 12.已知函数 f(x)= 11 ln 4 1 1 xx xx     ， ， ， ＞ ， 则方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根时，实数 a 的取值范 围是( )(注：e 为自然对数的底数) A.(0， 1 e ) B.[ 1 4 ， ] C.(0， ) D.[ ，e] 解析：∵方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f(x)与 y=ax 有 2 个交点， 又∵a 表示直线 y=ax 的斜率，∴y′= 1 x ， 设切点为(x0，y0)，k= 0 1 x ，∴切线方程为 y-y0= (x-x0)， 而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k= ，∴直线 l1 的斜率为 ， 又∵直线 l2 与 y= x+1 平行，∴直线 l2 的斜率为 ，∴实数 a 的取值范围是[ ， ). 故选：B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上. 13.如图所示，在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内，曲线 y=x2 和曲线 y= x 围成一个叶形图(阴 影部分)，向正方形 AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的)，则 所投的点落在叶形图内部的概率是 . 解析：由定积分可求得阴影部分的面积为 S=   31 23 0 2 1 121 03 | 33X X dx x x    ，所以 p= 1 3 . 答案： . 14.若从 1，2，3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共 有 种(用数字作答). 解析：9 个数中，有 5 个奇数 4 个偶数 同时取 4 个不同的数，和为奇数分下面几种情况 1 个奇数 3 个偶数，共有 5 3 4C =20 种取法； 3 个奇数 1 个偶数，共有 3 5C · 1 4C =40 种取法.∴不同的取法共有 60 种. 答案：60. 15.三棱锥 P-ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥 P-ABC 的外接球 的表面积为 . 解析：∵三棱锥 P-ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA=PB=PC=2，∴△PAB≌△PAC≌△PBC. ∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC. 以 PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体如图： 则长方体的外接球同时也是三棱锥 P-ABC 外接球. ∵长方体的对角线长为 444=2 3 ， ∴球直径为 2 3 ，半径 R= ， 因此，三棱锥 P-ABC 外接球的表面积是 4πR2=4π×( )2=12π. 答案：12π 16.给出下列命题： ①已知ξ服从正态分布 N(0，σ2)，且 P(-2≤ξ≤2)=0.4，则 P(ξ＞2)=0.3； ②f(x-1)是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则 21 8 2 112 log 88f f f              ＞ ＞ ； ③已知直线 l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0，则 l1⊥l2 的充要条件是 3a b  ； ④已知 a＞0，b＞0，函数 y=2aex+b 的图象过点(0，1)，则 11 ab 的最小值是 4 2 . 其中正确命题的序号是 (把你认为正确的序号都填上). 解 析 ： ① 若 ξ 服 从 正 态 分 布 N(0 ，σ2) ，且 P(-2 ≤ ξ ≤ 2)=0.4 ，则 P( ξ＞2)= 12210.4 2 ( 2 )P   =0.3，故①正确， ②f(x-1)是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则 f(x)关于 x=-1 对称，且在(-1，+∞)上 单调递增， 1 82 ＞1，log2 1 8 =-3，( 1 8 )2∈(0，1)， 则 f(log2 )=f(-3)=f(1)， 则 f( )＞f(1)＞f(( )2)，即 21 8 2 112 log 88f f f              ＞ ＞ ，故②正确， ③当 b=0，a=0 时，两直线分别为 l1：3y-1=0，l2：x+1=0，满足 l1⊥l2，故 l1⊥l2 的充要条 件是 a b =-3 错误，故③错误， ④ 已 知 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， 函 数 y=2aex+b 的 图 象 过 点 (0 ， 1) ，则 2a+b=1 ，则 11 ab =( )(2a+b)=2+1+ 2 ab ba ≥3+ 22 ab ba =3+2 2 ， 即则 的最小值是 3+2 .故④错误， 答案：①②. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.数列{an}是首项 a1=4 的等比数列，Sn 为其前 n 项和，且 S3，S2，S4 成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)若 bn=log2|an|，设 Tn 为数列{ 1 1 nnbb  }的前 n 项和，求证 Tn＜ 1 2 . 解析：(I)设等比数列{an}的公比为 q，先看当 q=1 时，S3，S2，S4 不成等差数列，不符合题 意，判断出 q≠1，进而根据等比数列求和公式表示出 S3，S2，S4，根据等差中项的性质建立 等式，求得 q，则数列{an}的通项公式可得. (Ⅱ)把(1)中的 an 代入 bn，进而利用裂项法求得前 n 项的和，根据 Tn= 1 22 1 2 1 n  ＜ .原式得 证. 答案：(I)设等比数列{an}的公比为 q. 当 q=1 时，S3=12，S2=8，S4=16，不成等差数列， ∴q≠1，S3=  341 1 q q   ，S2=  241 1 q q   ，S4=  441 1 q q   ， 2S2=S3+S4，∴      234814141 111 qqq qqq   ， 即 q4+q3-2q2=0.∵q≠0，q≠1，∴q=-2，∴an=4(-2)n-1=(-2)n+1， (Ⅱ)bn=log2|an|=log2|(-2)n+1|=n+1，∴   1 1111 1212nnbbnnnn   ， ∴ 1111 1 1234 1 23nT nn  ，∴ 1 2 11 22nT n ＜ . 18. 2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造 成 165.17 万人受灾，5.6 万人紧急转移安置，288 间房屋倒塌，46.5 千公顷农田受灾，直 接经济损失 12.99 亿元.距离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明 调查了梅州某小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]， (2000，4000]，(4000，6000]，(6000，8000]，(8000，10000]五组，并作出如下频率分布 直方图： (Ⅰ)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失(同一组中的数据用该组区间 的中点值作代表)； (Ⅱ)小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款.现从损失超过 4000 元的居民中随机抽出 2 户进行捐款援助，设抽出损失超过 8000 元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望； (Ⅲ)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐款情况如表， 根据表格中所给数据，分别求 b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关？ 附：临界值表参考公式：，K2=        2nadbc abcdacbd   ，n=a+b+c+d. 解析：(Ⅰ)根据频率分布直方图，即可估计小区平均每户居民的平均损失； (Ⅱ)由频率分布直方图可得，损失不少于 6000 元的居民共有(0.00003+0.00003)×2000× 50=6 户，损失为 6000～8000 元的居民共有 0.00003×2000×50=3 户，损失不少于 8000 元 的居民共有 0.00003×2000×50=3 户，即可求这两户在同一分组的概率； (Ⅲ)求出 K2，与临界值比较，即可得出结论. 答案：(Ⅰ)记每户居民的平均损失为 x 元，则： =(1000×0.00015+3000×0.0002+5000× 0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003)×2000=3360. (Ⅱ)由频率分布直方图可得，损失不少于 6000 元的居民共有(0.00003+0.00003)×2000× 50=6 户， 损失为 6000～8000 元的居民共有 0.00003×2000×50=3 户， 损失不少于 8000 元的居民共有 0.00003×2000×50=3 户， 因此，这两户在同一分组的概率为 P= 3 2 3 2 2 6 5 5     . (Ⅲ)如图： K2= 2()5030695 39113515   ≈4.046＞3.841， 所以有 95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否 4000 元有 关. 19.如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=2，E 是 CD 的中点，O 是 AE 的中点，以 AE 为折痕向上 折起，使 D 为 D′，且 D′B=D′C. (Ⅰ)求证：平面 D′AE⊥平面 ABCE； (Ⅱ)求 CD′与平面 ABD′所成角的正弦值. 解析：(I)取 BC 中点 F，连结 OF，D′O，D′F，则 BC⊥平面 D′OF，于是 BC⊥OD′，又 OD′ ⊥AE，于是 OD′⊥平面 ABCE，故而平面 D′AE⊥平面 ABCE； (II)以 O 为原点建立平面直角坐标系，求出平面 ABD′的法向量 n ，则 CD′与平面 ABD′所 成角的正弦值等于|cos＜ ， CD ＞|. 答案：(I)取 BC 中点 F，连结 OF，D′O，D′F，则 BC⊥OF， ∵D′B=D′C，∴BC⊥D′F， 又∵OF  平面 D′OF，D′F  平面 D′OF，OF∩D′F=F， ∴BC⊥平面 D′OF，∵D′O 平面 D′OF，∴BC⊥D′O， ∵DA=DE，即 D′A=D′E， ∴D′O⊥AE，又∵AE 平面 ABCE，BC 平面 ABCE，AE 与 BC 相交， ∴D′O⊥平面 ABCE，∵D′O 平面 D′AE， ∴平面 D′AE⊥平面 ABCE. (II)以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz， 则 A(1，-1，0)，B(1，3，0)，C(-1，3，0).D′(0，0， 2 ). ∴ DA =(1，-1，- )， DB =(1，3，- ). CD =(-1，3，- ). 设平面 ABD′的法向量为 n =(x，y，z)，则 ⊥ ， ⊥ . ∴ 2 0 023 xyz xyz      ， ， 令 z= ，得 x=2，y=0， ∴ =(2，0， ).| |= 6 ，| |=2 3 . · =-4. ∴cos＜ ， ＞= n CD n CD   =- 2 3 . ∴CD′与平面 ABD′所成角的正弦值为 . 20.已知点 P 为 y 轴上的动点，点 M 为 x 轴上的动点，点 F(1，0)为定点，且满足 1 2 0PNNM， PMPF =0. (Ⅰ)求动点 N 的轨迹 E 的方程； (Ⅱ)过点 F 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 E 交于两点 A，B，试判断在 x 轴上是否存在点 C，使 得|CA|2+|CB|2=|AB|2 成立，请说明理由. 解析：(Ⅰ)设出 N 点的坐标，由已知条件 可知 P 为 MN 的中点，由题意设出 P 和 M 的坐标，求出 PM 和 PF 的坐标，代入 =0 可求动点 N 的轨迹 E 的方程； (Ⅱ)设出直线 l 的方程，和抛物线方程联立后化为关于 y 的一元二次方程，由根与系数关系 写出 A，B 两点的纵坐标的和与积，假设存在点 C(m，0)满足条件，则CA =(x1-m，y1)，CB =(x2-m，y2)，由|CA|2+|CB|2=|AB|2 成立得到 CA · CB =0，代入坐标后得到关于 m 的一元二 次方程，分析知方程有解，从而得到答案. 答案：(Ⅰ)设 N(x，y)，则由 1 2 0P N NM，得 P 为 MN 的中点. ∴P(0， 2 y )，M(-x，0).∴PM=(-x，- )，PF=(1，- ). ∴ P M P F =-x+ 2 4 y =0，即 y2=4x. ∴动点 N 的轨迹 E 的方程 y2=4x. (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=k(x-1)，由   2 1 4 y k x yx    ， ， 消去 x 得 y2- 4 k y-4=0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1+y2=4k，y1y2=-4. 假设存在点 C(m，0)满足条件，则 CA =(x1-m，y1)， CB =(x2-m，y2)， ∴ · =x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2 =( 12 4 yy )2-m( 22 12 4 yy )+m2-4 =- 4 m [(y1+y2)2-2y1y2]+m2-3 =m2-m( 2 4 k +2)-3. ∵△=( 2 4 k +2)2+12＞0， ∴关于 m 的方程 m2-m( +2)-3=0 有解. ∴假设成立，即在 x 轴上存在点 C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2 成立. 21.设函数 f(x)=ax-sinx，x∈[0，π]. (1)当 a= 1 2 时，求 f(x)的单调区间； (2)若不等式 f(x)≤1-cosx 恒成立，求实数 a 的取值范围. 解析：(1)当 a= 1 2 时，f(x)= 1 2 x-sinx，x∈[0，π]，从而求导 f′(x)= 1 2 -cosx，从而判断 函数的单调性； (2)化简可得 ax-sinx≤1-cosx，作函数 y=ax-1 与函数 y=sinx-cosx 的图象，结合图象求解 即可. 答案：(1)当 a= 时，f(x)= x-sinx，x∈[0，π]，f′(x)= -cosx， 故 x∈[0， 3  )时，f′(x)＜0，x∈( ，π]时，f′(x)＞0； 故 f(x)在[0， )上是减函数，在[ ，π]上是增函数； (2)由题意得， ax-sinx≤1-cosx， 故 ax-1≤sinx-cosx， 作函数 y=ax-1 与函数 y=sinx-cosx 的图象如图， 结合图象可得，a≤  112 0   ； 故实数 a 的取值范围为(-∞， 2  ]. 22.如图所示，已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A，B 两点.过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C，过点 B 作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2 于点 D，E，DE 与 AC 相交于点 P， (Ⅰ)求证：PE·AD=PD·CE； (Ⅱ)若 AD 是⊙O2 的切线，且 PA=6，PC=2，BD=9，求 AD 的长. 解析：(Ⅰ)连接 AB，根据弦切角定理和圆周角定理的推论得到∠CAB=∠D，∠CAB=∠E，则 ∠F=∠D，根据内错角相等，得到 AD∥CE，即可证明 PE·AD=PD·CE； (Ⅱ)利用△PCE∽△PAD，结合相交弦定理，切割线定理，即可求 AD 的长. 答案：(1)连接 AB， ∵CA 切⊙O1 于 A，∴∠CAB=∠D， ∵∠CAB=∠E，∴∠E=∠D. ∴AD∥CE，∴△PCE∽△PAD.∴ PE CE PD AD .∴PE·AD=PD·CE； (Ⅱ)设 BP=x，PE=y， ∵PA=6，PC=2，∴xy=12①， ∵△PCE∽△PAD，∴ DP AP EP CP ，∴ 96 2 x y   ②， 由①②可得 3 4 x y    ，或 12 1 x y    ， ， (舍去)，∴DE=9+x+y=16， ∵AD 是⊙O2 的切线，∴AD2=DB·DE=9×16，∴AD=12. 23.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 1 2 32 2 xt yt     ， (t 为参数)，若以原点 O 为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，设 M 是圆 C 上 任一点，连结 OM 并延长到 Q，使|OM|=|MQ|. (Ⅰ)求点 Q 轨迹的直角坐标方程； (Ⅱ)若直线 l 与点 Q 轨迹相交于 A，B 两点，点 P 的直角坐标为(0，2)，求|PA|+|PB|的值. 解析：(Ⅰ)圆 C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，把 cos sin x y      ， 代入即可得直角坐标方程：x2+y2=4x，设 Q(x，y)，则 M( 2 x ， 2 y )， 代入圆的方程即可得出. (Ⅱ)把直线 l 的参数方程 (t 为参数)代入点 Q 的方程可得 t2+(4+2 3 )t+4=0， 利用根与系数的关系及其|PA|+|PB|=|t1+t2|即可得出. 答案：(Ⅰ)圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4x， 配方为(x-2)2+y2=4， 设 Q(x，y)，则 M( 2 x ， 2 y )， 代入圆的方程可得( -2)2+( )2=4， 化为(x-4)2+y2=16.即为点 Q 的直角坐标方程. (Ⅱ)把直线 l 的参数方程 1 2 32 2 xt yt     ， (t 为参数)代入(x-4)2+y2=16. 得 t2+(4+2 3 )t+4=0， 令 A，B 对应参数分别为 t1，t2，则 t1+t2=-(4+2 )＜0，t1t2＞0. ∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4+2 . 24.已知函数 f(x)=|x-1|. (1)解不等式 f(x)+f(x+4)≥8； (2)若|a|＜1，|b|＜1，且 a≠0，求证：f(ab)＞|a|f( b a ). 解析：(Ⅰ)根据 f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|= 223 431 221 xx x xx      ， ＜ ， ， ， ， ＞ ， 分类讨论求得不等式 f(x)+f(x+4)≥8 的解集. (Ⅱ)要证的不等式即|ab-1|＞|a-b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab-1|2-|a-b|2＞0，从而 得到所证不等式成立. 答案：(Ⅰ)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|= 当 x＜-3 时，由-2x-2≥8，解得 x≤-5； 当-3≤x≤1 时，f(x)≤8 不成立； 当 x＞1 时，由 2x+2≥8，解得 x≥3. 所以，不等式 f(x)≤4 的解集为{x|x≤-5，或 x≥3}. (Ⅱ)f(ab)＞|a|f( )，即|ab-1|＞|a-b|. 因为|a|＜1，|b|＜1， 所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)＞0， 所以|ab-1|＞|a-b|，故所证不等式成立.