北师大版高三数学复习专题-平面向量-阶段性测试题5 9页

阶段性测试题五(平面向量) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线，AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则AD→ ＝( ) A．(2,4) B．(3,7) C．(1,1) D．(－1，－1) [答案] D [解析] 因为AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，所以BC→＝AC→－AB→＝(－1，－1)，即AD→ ＝BC→＝(－1， －1)．选 D． 2．(2014·广东高考)已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,1)，则 b－a＝( ) A．(－2,1) B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3) [答案] B [解析] 本题考查向量的坐标运算． b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，选 C． 3．已知 O，A，B 是同一平面内的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足 2AC→＋CB→＝0， 则OC→ 等于( ) A．2OA→ －OB→ B．－OA→ ＋2OB→ C．2 3OA→ －1 3OB→ D．－1 3OA→ ＋2 3OB→ [答案] A [解析] 由题意知AC→＝－AB→，故OC→ ＝OA→ ＋AC→＝OA→ －AB→＝OA→ －(OB→ －OA→ )＝2OA→ －OB→ . 4．已知正方形 ABCD 的边长为 1，AB→＝a，BC→＝b，AC→＝c，则|a＋b＋c|等于( ) A．0 B．2 2 C． 2 D．3 [答案] B [解析] 由题意得，a＋b＝c，且|c|＝ 2， ∴|a＋b＋c|＝|2c|＝2 2. 5．已知 a＝(3，－2)，b＝(1,0)向量λa＋b 与 a－2b 垂直，则实数λ的值为( ) A．－1 6 B．1 6 C．－1 7 D．1 7 [答案] C [解析] 向量λa＋b 与 a－2b 垂直，则(λa＋b)(a－2b)＝0，又因为 a＝(3，－2)，b＝(1,0)， 故(3λ＋1，－2λ)(1，－2)＝0，即 3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－1 7. 6．(2014·四川高考)平面向量 a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且 c 与 a 的夹角等 于 c 与 b 的夹角，则 m＝( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 [答案] D [解析] 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式． c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)， a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20. 由两向量的夹角相等可得a·c |a| ＝b·c |b| ，即为5m＋8 5 ＝8m＋20 20 ，解得 m＝2. 7．(2015·皖南八校联考)已知 D 是△ABC 所在平面内一点，且满足(BC→－CA→)·(BD→ －AD→ ) ＝0，则△ABC 是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 [答案] A [解析] (BC→－CA→ )·(BD→ －AD→ )＝(BC→ －CA→)·BA→＝0，所以BC→ ·BA→＝CA→·BA→，所以 acosB＝ bcosA，利用余弦定理化简得 a2＝b2，即 a＝b，所以△ABC 是等腰三角形． 8．(2015·保定调研)已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则使 等式 x2OA→ ＋xOB→ ＋BC→＝0 成立的实数 x 的取值集合为( ) A．{－1} B．∅ C．{0} D．{0，－1} [答案] A [解析] ∵BC→＝OC→ －OB→ ， ∴x2OA→ ＋xOB→ ＋OC→ －OB→ ＝0， 即OC→ ＝－x2OA→ ＋(1－x)OB→ ， ∴－x2＋(1－x)＝1，即 x＝0 或 x＝－1(x＝0 舍去)， ∴x＝－1. 9．设向量 a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中 0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β －α等于( ) A．π 2 B．－π 2 C．π 4 D．－π 4 [答案] A [解析] 由|2a＋b|＝|a－2b|知 3|a|2－3|b|2＋8a·b＝0. 而|a|＝1，|b|＝1，故 a·b＝0， 即 cos(α－β)＝0，由于 0<α<β<π， 故－π<α－β<0，故β－α＝π 2 ，选 A． 10．△ABC 外接圆的半径为 1，圆心为 O，且 2OA→ ＋AB→＋AC→＝0，|OA→ |＝|AB→|，则CA→·CB→ 等于 ( ) A．3 2 B． 3 C．3 D．2 3 [答案] C [解析] 由 2OA→ ＋AB→＋AC→＝0，得OA→ ＋AB→＋OA→ ＋AC→＝OB→ ＋OC→ ＝0，所以OB→ ＝－OC→ ＝ CO→ ，即 O 是 BC 的中点，所以 BC 为外接圆的直径，BC＝2，则∠BAC＝90°，因为|OA→ |＝|AB→|， 所以△ABO 为正三角形，所以∠ABO＝60°，∠ACB＝30°，且|AC|＝ 3，所以CA→ ·CB→ ＝ |CA→|·|CB→|·cos30°＝2× 3× 3 2 ＝3，选 C． 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，把正确答案填在题中横线上) 11．(文)若 A、B、C、D 四点共线，且满足AB→＝(3a,2a)(a≠0)，CD→ ＝(2，t)，则 t＝________. [答案] 4 3 [解析] 因为 A、B、C、D 四点共线，所以 3at－4a＝0， 又 a≠0，所以 t＝4 3. (理)已知向量 a＝(1－sinθ，1)，b＝(1 2 ，1＋sinθ)，若 a∥B．则锐角θ＝________. [答案] 45° [解析] 因为 a∥b，所以(1－sinθ)×(1＋sinθ)－1×1 2 ＝0，得 cos2θ＝1 2 ，cosθ＝± 2 2 ，锐 角θ为θ＝45°. 12．已知向量 a＝(cosθ，sinθ)，向量 b＝( 3，－1)，则|2a－b|的最大值、最小值分别是 ________． [答案] 4,0 [解析] 2a－b＝(2cosθ－ 3，2sinθ＋1)， |2a－b|＝ 2cosθ－ 32＋2sinθ＋12 ＝ 8＋4sinθ－4 3cosθ＝ 8＋8sinθ－π 3 ， 最大值为 4，最小值为 0. 13．(2014·重庆高考)已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，且 a＝(－2，－6)，|b|＝ 10，则 a·b ＝________. [答案] 10 [解析] 此题考查向量数量积的运算． ∵a＝(－2，－6)，∴|a|＝ 4＋36＝2 10， ∴a·b＝2 10× 10×cos60°＝10. 14．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝8，AD＝5，CP→＝3PD→ ， AP→·BP→＝2，则AB→·AD→ 的值是________． [答案] 22 [解析] 本题考查向量的线性运算及向量的数量积． 由题意，AP→＝AD→ ＋DP→ ＝AD→ ＋1 4AB→， BP→＝BC→＋CP→＝BC→＋3 4CD→ ＝AD→ －3 4AB→， 所以AP→·BP→＝(AD→ ＋1 4AB→)·(AD→ －3 4AB→)＝AD→ 2－1 2AD→ ·AB→－ 3 16AB→ 2， 即 2＝25－1 2AD→ ·AB→－ 3 16 ×64，解得AD→ ·AB→＝22. 借助AD→ ·AB→表示出AP→·BP→是解决本题的关键所在． 15．以下命题：①若|a·b|＝|a|·|b|，则 a∥b；②a＝(－1,1)在 b＝(3,4)方向上的投影为1 5 ； ③若△ABC 中，a＝5，b＝8，c＝7，则BC→·CA→＝20；④若非零向量 a、b 满足|a＋b|＝|b|，则 |2b|>|a＋2b|.其中所有真命题的标号是________． [答案] ①②④ [解析] 由|a·b|＝|a|·|b||cos|＝|a|·|b|，所以 cos＝±1，即＝0 或＝π，所以 a∥b，所以①正确．a 在 b 方向上的投影为|a|cos＝a·b |b| ＝－3＋4 5 ＝1 5 ，所 以②正确．cosC＝52＋82－72 2×5×8 ＝1 2 ，即 C＝60°，所以BC→ ·CA→＝|BC→ |·|CA→ |cos120°＝5×8×(－1 2) ＝－20，所以③错误．由|a＋b|＝|b|得，a2＋2a·b＝0，即 2a·b＝－a2，若|2b|>|a＋2b|，则有 4b2>a2＋4a·b＋4b2，即 a2＋4a·b＝a2－2a2＝－a2<0，显然成立，所以④正确． 综上真命题的标号为①②④. 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分 12 分)已知向量 a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，是否能以 a， b 为平面内所有向量的一组基底？若能，试将向量 c 用这一组基底表示出来；若不能，请说 明理由． [解析] ∵a＝(3，－2)，b＝(－2,1)． ∴3×1－(－2)×(－2)＝－1≠0. ∴a 与 b 不共线，故一定能以 a，b 作为平面内的所有向量的一组基底． 设 c＝λa＋ub 即(7，－4)＝(3λ，－2λ)＋(－2u，u)＝(3λ－2u，－2λ＋u)， ∴ 3λ－2u＝7 －2λ＋u＝－4 ，解得 λ＝1， u＝－2. ∴c＝a－2B． 17．(本小题满分 12 分)已知向量OA→ ＝(3，－4)，OB→ ＝(6，－3)，OC→ ＝(5－m，－3－m)． (1)若 A、B、C 三点共线，求实数 m 的值； (2)若∠ABC 为锐角，求实数 m 的取值范围． [解析] (1)已知向量OA→ ＝(3，－4)，OB→ ＝(6，－3)， OC→ ＝(5－m，－(3＋m))． ∴AB→＝(3,1)，AC→＝(2－m,1－m)， ∵A、B、C 三点共线，∴AB→与AC→共线， ∴3(1－m)＝2－m，∴m＝1 2. (2)由题设知BA→＝(－3，－1)，BC→＝(－1－m，－m) ∵∠ABC 为锐角， ∴BA→·BC→＝3＋3m＋m>0⇒m>－3 4 又由(1)可知，当 m＝1 2 时，∠ABC＝0° 故 m∈ －3 4 ，1 2 ∪ 1 2 ，＋∞ . 18．(本小题满分 12 分)A、B、C 是△ABC 的内角，a、b、c 分别是其对边，已知 m＝(2sinB， － 3)，n＝(cos2B,2cos2B 2 －1)，且 m∥n，B 为锐角． (1)求 B 的大小； (2)如果 b＝3，求△ABC 的面积的最大值． [解析] (1)∵m∥n， ∴2sinB(2cos2B 2 －1)－(－ 3)cos2B＝0， ∴sin2B＋ 3cos2B＝0， ∴2sin(2B＋π 3)＝0，∴2B＋π 3 ＝kπ(k∈Z)， ∴B＝kπ 2 －π 6 ， ∵B 为锐角，∴B＝π 3. (2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB， ∴9＝a2＋c2－ac， ∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤9.等号在 a＝c 时成立， ∴S△ABC＝1 2acsinB≤1 2 ×9× 3 2 ＝9 3 4 . 故△ABC 的面积的最大值为 9 3 4 . 19．(本小题满分 12 分)已知向量 a，b 满足|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角为π 3. (1)求|a＋2b|； (2)若向量 a＋2b 与 ta＋b 垂直，求实数 t 的值． [解析] (1)∵向量 a，b 满足|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角为π 3 ， ∴|a＋2b|＝ a＋2b2＝ a2＋4a·b＋4b2 ＝ 4＋4×2×1×cosπ 3 ＋4＝2 3. (2)∵向量 a＋2b 与 ta＋b 垂直， ∴(a＋2b)·(ta＋b)＝0， ∴ta2＋(2t＋1)a·b＋2b2＝0， ∴4t＋(2t＋1)×2×1×cosπ 3 ＋2＝0，解得 t＝－1 2. 20．(本小题满分 13 分)如图所示，已知△OCB 中，点 C 是点 B 关于 点 A 的对称点，点 D 是将OB→ 分成 2 1 的一个内分点，DC 和 OA 交于点 E，设OA→ ＝a，OB→ ＝B． (1)用 a 和 b 表示向量OC→ ，DC→ ； (2)若OE→ ＝λOA→ ，求实数λ的值． [解析] (1)由题意知，A 是 BC 的中点，且OD→ ＝2 3OB→ .由平行四边形法则，可得OB→ ＋OC→ ＝2OA→ ， 所以OC→ ＝2OA→ －OB→ ＝2a－b， DC→ ＝OC→ －OD→ ＝(2a－b)－2 3b＝2a－5 3B． (2)如题图，EC→∥DC→ ， 又因为EC→＝OC→ －OE→ ＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b， 且DC→ ＝2a－5 3b，所以2－λ 2 ＝ －1 －5 3 ， 所以λ＝4 5. 21．(本小题满分 14 分)(文)已知向量 OP＝(2cos(π 2 ＋x)，－1)，OQ＝(－sin(π 2 －x)，cos2x)， 定义函数 f(x)＝OP·OQ. (1)求函数 f(x)的表达式，并指出其最大值和最小值； (2)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f(A)＝1，bc＝8，求△ABC 的面积 S. [解析] (1)f(x)＝OP·OQ＝(－2sinx，－1)· (－cosx，cos2x)＝sin2x－cos2x ＝ 2sin(2x－π 4)， ∴f(x)的最大值和最小值分别是 2和－ 2. (2)∵f(A)＝1，∴sin(2A－π 4)＝ 2 2 . ∴2A－π 4 ＝π 4 或 2A－π 4 ＝3π 4 . ∴A＝π 4 或 A＝π 2. 又∵△ABC 为锐角三角形，∴A＝π 4 ， ∵bc＝8，∴△ABC 的面积 S＝1 2bcsinA ＝1 2 ×8× 2 2 ＝2 2. (理)已知 O 为坐标原点，向量 OA＝(sinα，1)，OB＝(cosα，0)，OC＝(－sinα，2)，点 P 满足 AB＝BP. (1)记函数 f(α)＝PB·CA，α∈(－π 8 ，π 2)，讨论函数 f(α)的单调性，并求其值域； (2)若 O，P，C 三点共线，求|OA＋OB|的值． [解析] (1)AB＝(cosα－sinα，－1)，设 OP＝(x，y)， 则 BP＝(x－cosα，y)． 由 AB＝BP 得 x＝2cosα－sinα，y＝－1， 故 OP＝(2cosα－sinα，－1)． PB＝(sinα－cosα，1)，CA＝(2sinα，－1)． f(α)＝PB·CA＝(sinα－cosα，1)·(2sinα，－1) ＝2sin2α－2sinαcosα－1＝－(sin2α＋cos2α) ＝－ 2sin(2α＋π 4)， 又α∈(－π 8 ，π 2)，故 0<2α＋π 4<5π 4 ， 当 0<2α＋π 4 ≤π 2 ，即－π 8<α≤π 8 时，f(α)单调递减； 当π 2<2α＋π 4<5π 4 ，即π 8<α<π 2 时，f(α)单调递增， 故函数 f(α)的单调递增区间为(π 8 ，π 2)， 单调递减区间为(－π 8 ，π 8]， 因为 sin(2α＋π 4)∈(－ 2 2 ，1]， 故函数 f(α)的值域为[－ 2，1)． (2)OP＝(2cosα－sinα，－1)，OC＝(－sinα，2)， 由 O，P，C 三点共线可得 (－1)×(－sinα)＝2×(2cosα－sinα)，得 tanα＝4 3. sin2α＝ 2sinαcosα sin2α＋cos2α ＝ 2tanα 1＋tan2α ＝24 25. ∴|OA＋OB|＝ sinα＋cosα2＋1 ＝ 2＋sin2α＝ 74 5 .