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  • 2021-06-15 发布

北师大版高三数学复习专题-平面向量-阶段性测试题5

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阶段性测试题五(平面向量) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线,AB→=(2,4),AC→=(1,3),则AD→ =( ) A.(2,4) B.(3,7) C.(1,1) D.(-1,-1) [答案] D [解析] 因为AB→=(2,4),AC→=(1,3),所以BC→=AC→-AB→=(-1,-1),即AD→ =BC→=(-1, -1).选 D. 2.(2014·广东高考)已知向量 a=(1,2),b=(3,1),则 b-a=( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) [答案] B [解析] 本题考查向量的坐标运算. b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),选 C. 3.已知 O,A,B 是同一平面内的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2AC→+CB→=0, 则OC→ 等于( ) A.2OA→ -OB→ B.-OA→ +2OB→ C.2 3OA→ -1 3OB→ D.-1 3OA→ +2 3OB→ [答案] A [解析] 由题意知AC→=-AB→,故OC→ =OA→ +AC→=OA→ -AB→=OA→ -(OB→ -OA→ )=2OA→ -OB→ . 4.已知正方形 ABCD 的边长为 1,AB→=a,BC→=b,AC→=c,则|a+b+c|等于( ) A.0 B.2 2 C. 2 D.3 [答案] B [解析] 由题意得,a+b=c,且|c|= 2, ∴|a+b+c|=|2c|=2 2. 5.已知 a=(3,-2),b=(1,0)向量λa+b 与 a-2b 垂直,则实数λ的值为( ) A.-1 6 B.1 6 C.-1 7 D.1 7 [答案] C [解析] 向量λa+b 与 a-2b 垂直,则(λa+b)(a-2b)=0,又因为 a=(3,-2),b=(1,0), 故(3λ+1,-2λ)(1,-2)=0,即 3λ+1+4λ=0,解得λ=-1 7. 6.(2014·四川高考)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角等 于 c 与 b 的夹角,则 m=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 [答案] D [解析] 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式. c=ma+b=(m+4,2m+2), a·c=5m+8,b·c=8m+20. 由两向量的夹角相等可得a·c |a| =b·c |b| ,即为5m+8 5 =8m+20 20 ,解得 m=2. 7.(2015·皖南八校联考)已知 D 是△ABC 所在平面内一点,且满足(BC→-CA→)·(BD→ -AD→ ) =0,则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 [答案] A [解析] (BC→-CA→ )·(BD→ -AD→ )=(BC→ -CA→)·BA→=0,所以BC→ ·BA→=CA→·BA→,所以 acosB= bcosA,利用余弦定理化简得 a2=b2,即 a=b,所以△ABC 是等腰三角形. 8.(2015·保定调研)已知 A,B,C 是直线 l 上不同的三个点,点 O 不在直线 l 上,则使 等式 x2OA→ +xOB→ +BC→=0 成立的实数 x 的取值集合为( ) A.{-1} B.∅ C.{0} D.{0,-1} [答案] A [解析] ∵BC→=OC→ -OB→ , ∴x2OA→ +xOB→ +OC→ -OB→ =0, 即OC→ =-x2OA→ +(1-x)OB→ , ∴-x2+(1-x)=1,即 x=0 或 x=-1(x=0 舍去), ∴x=-1. 9.设向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中 0<α<β<π,若|2a+b|=|a-2b|,则β -α等于( ) A.π 2 B.-π 2 C.π 4 D.-π 4 [答案] A [解析] 由|2a+b|=|a-2b|知 3|a|2-3|b|2+8a·b=0. 而|a|=1,|b|=1,故 a·b=0, 即 cos(α-β)=0,由于 0<α<β<π, 故-π<α-β<0,故β-α=π 2 ,选 A. 10.△ABC 外接圆的半径为 1,圆心为 O,且 2OA→ +AB→+AC→=0,|OA→ |=|AB→|,则CA→·CB→ 等于 ( ) A.3 2 B. 3 C.3 D.2 3 [答案] C [解析] 由 2OA→ +AB→+AC→=0,得OA→ +AB→+OA→ +AC→=OB→ +OC→ =0,所以OB→ =-OC→ = CO→ ,即 O 是 BC 的中点,所以 BC 为外接圆的直径,BC=2,则∠BAC=90°,因为|OA→ |=|AB→|, 所以△ABO 为正三角形,所以∠ABO=60°,∠ACB=30°,且|AC|= 3,所以CA→ ·CB→ = |CA→|·|CB→|·cos30°=2× 3× 3 2 =3,选 C. 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题中横线上) 11.(文)若 A、B、C、D 四点共线,且满足AB→=(3a,2a)(a≠0),CD→ =(2,t),则 t=________. [答案] 4 3 [解析] 因为 A、B、C、D 四点共线,所以 3at-4a=0, 又 a≠0,所以 t=4 3. (理)已知向量 a=(1-sinθ,1),b=(1 2 ,1+sinθ),若 a∥B.则锐角θ=________. [答案] 45° [解析] 因为 a∥b,所以(1-sinθ)×(1+sinθ)-1×1 2 =0,得 cos2θ=1 2 ,cosθ=± 2 2 ,锐 角θ为θ=45°. 12.已知向量 a=(cosθ,sinθ),向量 b=( 3,-1),则|2a-b|的最大值、最小值分别是 ________. [答案] 4,0 [解析] 2a-b=(2cosθ- 3,2sinθ+1), |2a-b|= 2cosθ- 32+2sinθ+12 = 8+4sinθ-4 3cosθ= 8+8sinθ-π 3 , 最大值为 4,最小值为 0. 13.(2014·重庆高考)已知向量 a 与 b 的夹角为 60°,且 a=(-2,-6),|b|= 10,则 a·b =________. [答案] 10 [解析] 此题考查向量数量积的运算. ∵a=(-2,-6),∴|a|= 4+36=2 10, ∴a·b=2 10× 10×cos60°=10. 14.(2014·江苏高考)如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5,CP→=3PD→ , AP→·BP→=2,则AB→·AD→ 的值是________. [答案] 22 [解析] 本题考查向量的线性运算及向量的数量积. 由题意,AP→=AD→ +DP→ =AD→ +1 4AB→, BP→=BC→+CP→=BC→+3 4CD→ =AD→ -3 4AB→, 所以AP→·BP→=(AD→ +1 4AB→)·(AD→ -3 4AB→)=AD→ 2-1 2AD→ ·AB→- 3 16AB→ 2, 即 2=25-1 2AD→ ·AB→- 3 16 ×64,解得AD→ ·AB→=22. 借助AD→ ·AB→表示出AP→·BP→是解决本题的关键所在. 15.以下命题:①若|a·b|=|a|·|b|,则 a∥b;②a=(-1,1)在 b=(3,4)方向上的投影为1 5 ; ③若△ABC 中,a=5,b=8,c=7,则BC→·CA→=20;④若非零向量 a、b 满足|a+b|=|b|,则 |2b|>|a+2b|.其中所有真命题的标号是________. [答案] ①②④ [解析] 由|a·b|=|a|·|b||cos|=|a|·|b|,所以 cos=±1,即=0 或=π,所以 a∥b,所以①正确.a 在 b 方向上的投影为|a|cos=a·b |b| =-3+4 5 =1 5 ,所 以②正确.cosC=52+82-72 2×5×8 =1 2 ,即 C=60°,所以BC→ ·CA→=|BC→ |·|CA→ |cos120°=5×8×(-1 2) =-20,所以③错误.由|a+b|=|b|得,a2+2a·b=0,即 2a·b=-a2,若|2b|>|a+2b|,则有 4b2>a2+4a·b+4b2,即 a2+4a·b=a2-2a2=-a2<0,显然成立,所以④正确. 综上真命题的标号为①②④. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)已知向量 a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),是否能以 a, b 为平面内所有向量的一组基底?若能,试将向量 c 用这一组基底表示出来;若不能,请说 明理由. [解析] ∵a=(3,-2),b=(-2,1). ∴3×1-(-2)×(-2)=-1≠0. ∴a 与 b 不共线,故一定能以 a,b 作为平面内的所有向量的一组基底. 设 c=λa+ub 即(7,-4)=(3λ,-2λ)+(-2u,u)=(3λ-2u,-2λ+u), ∴ 3λ-2u=7 -2λ+u=-4 ,解得 λ=1, u=-2. ∴c=a-2B. 17.(本小题满分 12 分)已知向量OA→ =(3,-4),OB→ =(6,-3),OC→ =(5-m,-3-m). (1)若 A、B、C 三点共线,求实数 m 的值; (2)若∠ABC 为锐角,求实数 m 的取值范围. [解析] (1)已知向量OA→ =(3,-4),OB→ =(6,-3), OC→ =(5-m,-(3+m)). ∴AB→=(3,1),AC→=(2-m,1-m), ∵A、B、C 三点共线,∴AB→与AC→共线, ∴3(1-m)=2-m,∴m=1 2. (2)由题设知BA→=(-3,-1),BC→=(-1-m,-m) ∵∠ABC 为锐角, ∴BA→·BC→=3+3m+m>0⇒m>-3 4 又由(1)可知,当 m=1 2 时,∠ABC=0° 故 m∈ -3 4 ,1 2 ∪ 1 2 ,+∞ . 18.(本小题满分 12 分)A、B、C 是△ABC 的内角,a、b、c 分别是其对边,已知 m=(2sinB, - 3),n=(cos2B,2cos2B 2 -1),且 m∥n,B 为锐角. (1)求 B 的大小; (2)如果 b=3,求△ABC 的面积的最大值. [解析] (1)∵m∥n, ∴2sinB(2cos2B 2 -1)-(- 3)cos2B=0, ∴sin2B+ 3cos2B=0, ∴2sin(2B+π 3)=0,∴2B+π 3 =kπ(k∈Z), ∴B=kπ 2 -π 6 , ∵B 为锐角,∴B=π 3. (2)由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB, ∴9=a2+c2-ac, ∵a2+c2≥2ac,∴ac≤9.等号在 a=c 时成立, ∴S△ABC=1 2acsinB≤1 2 ×9× 3 2 =9 3 4 . 故△ABC 的面积的最大值为 9 3 4 . 19.(本小题满分 12 分)已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,a 与 b 的夹角为π 3. (1)求|a+2b|; (2)若向量 a+2b 与 ta+b 垂直,求实数 t 的值. [解析] (1)∵向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,a 与 b 的夹角为π 3 , ∴|a+2b|= a+2b2= a2+4a·b+4b2 = 4+4×2×1×cosπ 3 +4=2 3. (2)∵向量 a+2b 与 ta+b 垂直, ∴(a+2b)·(ta+b)=0, ∴ta2+(2t+1)a·b+2b2=0, ∴4t+(2t+1)×2×1×cosπ 3 +2=0,解得 t=-1 2. 20.(本小题满分 13 分)如图所示,已知△OCB 中,点 C 是点 B 关于 点 A 的对称点,点 D 是将OB→ 分成 2 1 的一个内分点,DC 和 OA 交于点 E,设OA→ =a,OB→ =B. (1)用 a 和 b 表示向量OC→ ,DC→ ; (2)若OE→ =λOA→ ,求实数λ的值. [解析] (1)由题意知,A 是 BC 的中点,且OD→ =2 3OB→ .由平行四边形法则,可得OB→ +OC→ =2OA→ , 所以OC→ =2OA→ -OB→ =2a-b, DC→ =OC→ -OD→ =(2a-b)-2 3b=2a-5 3B. (2)如题图,EC→∥DC→ , 又因为EC→=OC→ -OE→ =(2a-b)-λa=(2-λ)a-b, 且DC→ =2a-5 3b,所以2-λ 2 = -1 -5 3 , 所以λ=4 5. 21.(本小题满分 14 分)(文)已知向量 OP=(2cos(π 2 +x),-1),OQ=(-sin(π 2 -x),cos2x), 定义函数 f(x)=OP·OQ. (1)求函数 f(x)的表达式,并指出其最大值和最小值; (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f(A)=1,bc=8,求△ABC 的面积 S. [解析] (1)f(x)=OP·OQ=(-2sinx,-1)· (-cosx,cos2x)=sin2x-cos2x = 2sin(2x-π 4), ∴f(x)的最大值和最小值分别是 2和- 2. (2)∵f(A)=1,∴sin(2A-π 4)= 2 2 . ∴2A-π 4 =π 4 或 2A-π 4 =3π 4 . ∴A=π 4 或 A=π 2. 又∵△ABC 为锐角三角形,∴A=π 4 , ∵bc=8,∴△ABC 的面积 S=1 2bcsinA =1 2 ×8× 2 2 =2 2. (理)已知 O 为坐标原点,向量 OA=(sinα,1),OB=(cosα,0),OC=(-sinα,2),点 P 满足 AB=BP. (1)记函数 f(α)=PB·CA,α∈(-π 8 ,π 2),讨论函数 f(α)的单调性,并求其值域; (2)若 O,P,C 三点共线,求|OA+OB|的值. [解析] (1)AB=(cosα-sinα,-1),设 OP=(x,y), 则 BP=(x-cosα,y). 由 AB=BP 得 x=2cosα-sinα,y=-1, 故 OP=(2cosα-sinα,-1). PB=(sinα-cosα,1),CA=(2sinα,-1). f(α)=PB·CA=(sinα-cosα,1)·(2sinα,-1) =2sin2α-2sinαcosα-1=-(sin2α+cos2α) =- 2sin(2α+π 4), 又α∈(-π 8 ,π 2),故 0<2α+π 4<5π 4 , 当 0<2α+π 4 ≤π 2 ,即-π 8<α≤π 8 时,f(α)单调递减; 当π 2<2α+π 4<5π 4 ,即π 8<α<π 2 时,f(α)单调递增, 故函数 f(α)的单调递增区间为(π 8 ,π 2), 单调递减区间为(-π 8 ,π 8], 因为 sin(2α+π 4)∈(- 2 2 ,1], 故函数 f(α)的值域为[- 2,1). (2)OP=(2cosα-sinα,-1),OC=(-sinα,2), 由 O,P,C 三点共线可得 (-1)×(-sinα)=2×(2cosα-sinα),得 tanα=4 3. sin2α= 2sinαcosα sin2α+cos2α = 2tanα 1+tan2α =24 25. ∴|OA+OB|= sinα+cosα2+1 = 2+sin2α= 74 5 .