2019年高考数学练习题汇总解答题滚动练2(B) 6页

解答题滚动练2(B)‎ ‎1.(2018·湖北省级示范高中联盟模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象经过三点，，，且在区间内有唯一的最值，且为最小值.‎ ‎(1)求出函数f(x)＝Asin的解析式；‎ ‎(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f ＝且bc＝1，b＋c＝3，求a的值.‎ 解　(1)由题意可得函数的周期T＝2＝π，‎ ‎∴ω＝2，又由题意可知，当x＝时，y＝0，‎ ‎∴Asin＝0，∴2×＋φ＝kπ(k∈Z)，‎ 又0<φ<，∴φ＝.‎ 再由题意得当x＝0时，y＝，∴Asin ＝，∴A＝，‎ ‎∴f(x)＝sin.‎ ‎(2)∵f ＝，∴sin＝，‎ ‎∴A＋＝＋2kπ(k∈Z)，又A∈(0，π)，‎ ‎∴A＝.‎ ‎∵bc＝1，b＋c＝3，‎ ‎∴由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝9－3＝6，‎ ‎∴a＝.‎ ‎2.已知等差数列{an}满足(n＋1)an＝2n2＋n＋k，k∈R.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解　(1)方法一　由(n＋1)an＝2n2＋n＋k，‎ 令n＝1，2，3，‎ 得到a1＝，a2＝，a3＝，‎ ‎∵{an}是等差数列，∴2a2＝a1＋a3，‎ 即＝＋，‎ 解得k＝－1.‎ 由于(n＋1)an＝2n2＋n－1＝(2n－1)(n＋1)，‎ 又∵n＋1≠0，∴an＝2n－1(n∈N*).‎ 方法二　∵{an}是等差数列，设公差为d，‎ 则an＝a1＋d(n－1)＝dn＋(a1－d)，‎ ‎∴(n＋1)an＝(n＋1)(dn＋a1－d)‎ ‎＝dn2＋a1n＋a1－d，‎ ‎∴dn2＋a1n＋a1－d＝2n2＋n＋k对于任意n∈N*均成立，‎ 则解得k＝－1，∴an＝2n－1(n∈N*).‎ ‎(2)由bn＝＝＝＝1＋ ‎＝1＋＝＋1，‎ 得Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ‎＝＋1＋＋1＋＋1＋…＋＋1‎ ‎＝＋n＝＋n ‎＝＋n＝(n∈N*).‎ ‎3.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC， ∠A1AC＝60°， AC＝2AA1＝4，点D， E分别是AA1，BC的中点.‎ ‎(1)证明： DE∥平面A1B1C；‎ ‎(2)若AB＝2，∠BAC＝60°，求直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明　取AC的中点F，连接DF， EF，‎ ‎∵E是BC的中点，‎ ‎∴EF∥AB，‎ ‎∵ABC－A1B1C1是三棱柱，‎ ‎∴AB∥A1B1，‎ ‎∴EF∥A1B1，又EF⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，‎ ‎∴EF∥平面A1B1C，‎ ‎∵D是AA1的中点，‎ ‎∴DF∥A1C，又DF⊄平面A1B1C，A1C⊂平面A1B1C，‎ ‎∴DF∥平面A1B1C.‎ 又EF∩DF＝F，EF，DF⊂平面DEF，‎ ‎∴平面DEF∥平面A1B1C，‎ ‎∴DE∥平面A1B1C.‎ ‎(2)解　过点A1作A1O⊥AC，垂足为O，连接OB，‎ ‎∵侧面ACC1A1⊥底面ABC，侧面ACC1A1∩底面ABC＝AC，A1O⊂侧面ACC1A1，‎ ‎∴A1O⊥平面ABC，‎ ‎∴A1O⊥OB， A1O⊥OC.‎ ‎∵∠A1AC＝60°， AA1＝2，‎ ‎∴OA＝1，OA1＝，‎ ‎∵AB＝2，∠BAC＝60°，由余弦定理，得 OB2＝OA2＋AB2－2OA·ABcos∠BAC＝3，‎ ‎∴OB＝，∠AOB＝90°，‎ ‎∴OB⊥AC，‎ 分别以OB，OC，OA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，‎ 由题设可得A(0，－1，0)，C(0，3，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，D，E，‎ ‎∴＝(，1，0)，＝(0，1，).‎ 设m＝(x1，y1，z1)是平面ABB1A1的一个法向量，‎ 则 即 令z1＝1，得y1＝－，x1＝1，∴m＝(1，－，1)，‎ ‎∵＝，‎ ‎∴cos〈m，〉＝＝，‎ ‎∴直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值为.‎ ‎4.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，曲线y＝f(x)通过点(0，2a＋3)，且在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴.‎ ‎(1)用a分别表示b和c；‎ ‎(2)当bc取得最小值时，求函数g(x)＝－f(x)e－x的单调区间.‎ 解　(1)f′(x)＝2ax＋b，‎ 由题意得则b＝2a，c＝2a＋3.‎ ‎(2)由(1)得bc＝2a(2a＋3)＝42－，‎ 故当a＝－时，bc取得最小值－，‎ 此时有b＝－，c＝，‎ 从而f(x)＝－x2－x＋，f′(x)＝－x－，‎ g(x)＝－f(x)e－x＝e－x，‎ 所以g′(x)＝－(x2－4)e－x，‎ 令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.‎ 当x∈(－∞，－2)时，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，－2)上为减函数；‎ 当x∈(－2，2)时，g′(x)>0，故g(x)在(－2，2)上为增函数；‎ 当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(2，＋∞)上为减函数.‎ 由此可见，函数g(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递增区间为(－2，2).‎ ‎5.(2018·郑州外国语学校调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距与椭圆Ω：x2＋＝1的短轴长相等，且C与Ω的长轴长相等.‎ ‎(1)求椭圆C的方程； ‎ ‎(2)设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，不经过F1的直线l与椭圆C交于两个不同的点A，‎ B，如果直线AF1，l，BF1的斜率依次成等差数列，求△AOB的面积的最大值.‎ 解　(1)由题意可得∴ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程＋＝1，‎ 整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，‎ 由Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)>0，‎ 得m2<4k2＋3.①‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 因为F1(－1，0)，所以kAF1＝，kBF1＝.‎ 因为2k＝ ＋，且y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，‎ 所以(m－k)(x1＋x2＋2)＝0，‎ 因为直线AB：y＝kx＋m不过焦点F1(－1，0)，‎ 所以m－k≠0，‎ 所以x1＋x2＋2＝0，‎ 从而x1＋x2＝－＝－2，‎ 即m＝.②‎ 由①②得2<3＋4k2，化简得k2>.③‎ 过O点作直线AB的垂线，垂足为M，则|OM|＝，|AB|＝|x1－x2|，‎ ‎△AOB的面积S△AOB＝|OM||AB|＝|m| ‎＝＝ ‎＝≤，‎ 当且仅当k2＝时等号成立，满足Δ>0，‎ 故△AOB的面积的最大值为.‎ ‎6.(2018·宁夏银川一中月考)设函数f(x)＝|x－1|，g(x)＝|x－2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＋g(x)<2；‎ ‎(2)对于实数x，y，若f(x)≤1，g(y)≤1，求证：|x－2y＋1|≤5.‎ ‎(1)解　令y＝|x－1|＋|x－2|，则 y＝ 作出函数y＝|x－1|＋|x－2|的图象，‎ 它与直线y＝2的交点为和.‎ 所以f(x)＋g(x)<2的解集为.‎ ‎(2)证明　因为|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋2|(y－2)＋1|≤|x－1|＋2(|y－2|＋1)＝f(x)＋2g(y)＋2≤5，所以|x－2y＋1|≤5.‎