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  • 2021-06-15 发布

2019年高考数学练习题汇总解答题滚动练2(B)

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解答题滚动练2(B)‎ ‎1.(2018·湖北省级示范高中联盟模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象经过三点,,,且在区间内有唯一的最值,且为最小值.‎ ‎(1)求出函数f(x)=Asin的解析式;‎ ‎(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f =且bc=1,b+c=3,求a的值.‎ 解 (1)由题意可得函数的周期T=2=π,‎ ‎∴ω=2,又由题意可知,当x=时,y=0,‎ ‎∴Asin=0,∴2×+φ=kπ(k∈Z),‎ 又0<φ<,∴φ=.‎ 再由题意得当x=0时,y=,∴Asin =,∴A=,‎ ‎∴f(x)=sin.‎ ‎(2)∵f =,∴sin=,‎ ‎∴A+=+2kπ(k∈Z),又A∈(0,π),‎ ‎∴A=.‎ ‎∵bc=1,b+c=3,‎ ‎∴由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=9-3=6,‎ ‎∴a=.‎ ‎2.已知等差数列{an}满足(n+1)an=2n2+n+k,k∈R.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解 (1)方法一 由(n+1)an=2n2+n+k,‎ 令n=1,2,3,‎ 得到a1=,a2=,a3=,‎ ‎∵{an}是等差数列,∴2a2=a1+a3,‎ 即=+,‎ 解得k=-1.‎ 由于(n+1)an=2n2+n-1=(2n-1)(n+1),‎ 又∵n+1≠0,∴an=2n-1(n∈N*).‎ 方法二 ∵{an}是等差数列,设公差为d,‎ 则an=a1+d(n-1)=dn+(a1-d),‎ ‎∴(n+1)an=(n+1)(dn+a1-d)‎ ‎=dn2+a1n+a1-d,‎ ‎∴dn2+a1n+a1-d=2n2+n+k对于任意n∈N*均成立,‎ 则解得k=-1,∴an=2n-1(n∈N*).‎ ‎(2)由bn====1+ ‎=1+=+1,‎ 得Sn=b1+b2+b3+…+bn ‎=+1++1++1+…++1‎ ‎=+n=+n ‎=+n=(n∈N*).‎ ‎3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥底面ABC, ∠A1AC=60°, AC=2AA1=4,点D, E分别是AA1,BC的中点.‎ ‎(1)证明: DE∥平面A1B1C;‎ ‎(2)若AB=2,∠BAC=60°,求直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明 取AC的中点F,连接DF, EF,‎ ‎∵E是BC的中点,‎ ‎∴EF∥AB,‎ ‎∵ABC-A1B1C1是三棱柱,‎ ‎∴AB∥A1B1,‎ ‎∴EF∥A1B1,又EF⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,‎ ‎∴EF∥平面A1B1C,‎ ‎∵D是AA1的中点,‎ ‎∴DF∥A1C,又DF⊄平面A1B1C,A1C⊂平面A1B1C,‎ ‎∴DF∥平面A1B1C.‎ 又EF∩DF=F,EF,DF⊂平面DEF,‎ ‎∴平面DEF∥平面A1B1C,‎ ‎∴DE∥平面A1B1C.‎ ‎(2)解 过点A1作A1O⊥AC,垂足为O,连接OB,‎ ‎∵侧面ACC1A1⊥底面ABC,侧面ACC1A1∩底面ABC=AC,A1O⊂侧面ACC1A1,‎ ‎∴A1O⊥平面ABC,‎ ‎∴A1O⊥OB, A1O⊥OC.‎ ‎∵∠A1AC=60°, AA1=2,‎ ‎∴OA=1,OA1=,‎ ‎∵AB=2,∠BAC=60°,由余弦定理,得 OB2=OA2+AB2-2OA·ABcos∠BAC=3,‎ ‎∴OB=,∠AOB=90°,‎ ‎∴OB⊥AC,‎ 分别以OB,OC,OA1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,‎ 由题设可得A(0,-1,0),C(0,3,0),B(,0,0),A1(0,0,),D,E,‎ ‎∴=(,1,0),=(0,1,).‎ 设m=(x1,y1,z1)是平面ABB1A1的一个法向量,‎ 则 即 令z1=1,得y1=-,x1=1,∴m=(1,-,1),‎ ‎∵=,‎ ‎∴cos〈m,〉==,‎ ‎∴直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值为.‎ ‎4.设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),且在点(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴.‎ ‎(1)用a分别表示b和c;‎ ‎(2)当bc取得最小值时,求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.‎ 解 (1)f′(x)=2ax+b,‎ 由题意得则b=2a,c=2a+3.‎ ‎(2)由(1)得bc=2a(2a+3)=42-,‎ 故当a=-时,bc取得最小值-,‎ 此时有b=-,c=,‎ 从而f(x)=-x2-x+,f′(x)=-x-,‎ g(x)=-f(x)e-x=e-x,‎ 所以g′(x)=-(x2-4)e-x,‎ 令g′(x)=0,解得x1=-2,x2=2.‎ 当x∈(-∞,-2)时,g′(x)<0,故g(x)在(-∞,-2)上为减函数;‎ 当x∈(-2,2)时,g′(x)>0,故g(x)在(-2,2)上为增函数;‎ 当x∈(2,+∞)时,g′(x)<0,故g(x)在(2,+∞)上为减函数.‎ 由此可见,函数g(x)的单调递减区间为(-∞,-2),(2,+∞),单调递增区间为(-2,2).‎ ‎5.(2018·郑州外国语学校调研)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距与椭圆Ω:x2+=1的短轴长相等,且C与Ω的长轴长相等.‎ ‎(1)求椭圆C的方程; ‎ ‎(2)设F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,不经过F1的直线l与椭圆C交于两个不同的点A,‎ B,如果直线AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列,求△AOB的面积的最大值.‎ 解 (1)由题意可得∴ 故椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=kx+m,代入椭圆方程+=1,‎ 整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,‎ 由Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,‎ 得m2<4k2+3.①‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=-,x1x2=.‎ 因为F1(-1,0),所以kAF1=,kBF1=.‎ 因为2k= +,且y1=kx1+m,y2=kx2+m,‎ 所以(m-k)(x1+x2+2)=0,‎ 因为直线AB:y=kx+m不过焦点F1(-1,0),‎ 所以m-k≠0,‎ 所以x1+x2+2=0,‎ 从而x1+x2=-=-2,‎ 即m=.②‎ 由①②得2<3+4k2,化简得k2>.③‎ 过O点作直线AB的垂线,垂足为M,则|OM|=,|AB|=|x1-x2|,‎ ‎△AOB的面积S△AOB=|OM||AB|=|m| ‎== ‎=≤,‎ 当且仅当k2=时等号成立,满足Δ>0,‎ 故△AOB的面积的最大值为.‎ ‎6.(2018·宁夏银川一中月考)设函数f(x)=|x-1|,g(x)=|x-2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)+g(x)<2;‎ ‎(2)对于实数x,y,若f(x)≤1,g(y)≤1,求证:|x-2y+1|≤5.‎ ‎(1)解 令y=|x-1|+|x-2|,则 y= 作出函数y=|x-1|+|x-2|的图象,‎ 它与直线y=2的交点为和.‎ 所以f(x)+g(x)<2的解集为.‎ ‎(2)证明 因为|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+2|(y-2)+1|≤|x-1|+2(|y-2|+1)=f(x)+2g(y)+2≤5,所以|x-2y+1|≤5.‎