2021届高考数学一轮复习专题七概率与统计课件 35页

专题七 概率与统计 题型 1 概率与统计 概率与统计的综合题，自从 2005 年走进新高考试题后，就 以崭新的姿态，在高考中占有极其重要的地位，每年出现一道 大题 ( 都有一定的命题背景，其地位相当于原来的应用题 ). 连续 五年都为一题多问，前面考统计，后面考概率，预计这一趋势 在全国高考中会得到延续！ 例 1 ： (20 19 年新课标 Ⅰ ) 为治疗某种疾病，研制了甲 、乙 两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验 . 试验 方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验 . 对于两只 白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药 . 一轮的治疗结果 得出后，再安排下一轮试验 . 当其中一种药治愈的白鼠比另一种 药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药 更有效 . 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药 的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得－ 1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得－ 1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分 . 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α 和 β ，一轮试验中甲药的得分 记为 X . (1) 求 X 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， p i ( i ＝ 0 ， 1 ， … ， 8) 表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效” 的概率，则 p 0 ＝ 0 ， p 8 ＝ 1 ， p i ＝ ap i － 1 ＋ bp i ＋ cp i ＋ 1 ( i ＝ 1,2 ， … ， 7) ， 其中 a ＝ P ( X ＝－ 1) ， b ＝ P ( X ＝ 0) ， c ＝ P ( X ＝ 1). 假设 α ＝ 0.5 ， β ＝ 0.8. ① 证明： { p i ＋ 1 － p i }( i ＝ 0,1,2 ， … ， 7) 为等比数列； ② 求 p 4 ，并根据 p 4 的值解释这种试验方案的合理性 . X － 1 0 1 P (1 － α ) β αβ ＋ (1 － α )(1 － β ) α (1 － β ) (1) 解： X 的所有可能取值为－ 1,0,1. P ( X ＝－ 1) ＝ (1 － α ) β ， P ( X ＝ 0) ＝ αβ ＋ (1 － α )(1 － β ) ， P ( X ＝ 1) ＝ α (1 － β ), ∴ X 的分布列为 (2)① 证明： 由 (1) 得 a ＝ 0.4 ， b ＝ 0.5 ， c ＝ 0.1. 因此 p i ＝ 0.4 p i － 1 ＋ 0.5 p i ＋ 0.1 p i ＋ 1 ， 故 0.1( p i ＋ 1 － p i ) ＝ 0.4( p i － p i － 1 ) ， 即 p i ＋ 1 － p i ＝ 4( p i － p i － 1 ). 又 ∵ p 1 － p 0 ＝ p 1 ≠0 ， ∴ { p i ＋ 1 － p i }( i ＝ 0,1,2 ， … ， 7) 为公比为 4 ，首项为 p 1 的等比数列 . ② 解： 由 ① 可得 p 8 ＝ p 8 － p 7 ＋ p 7 － p 6 ＋ … ＋ p 1 － p 0 ＋ p 0 【 名师点评 】 (1) 高考中经常以 统计图的形式显示相关的数 据信息，以统计图为载体来考查概率的相关问题 . 本小题主要考 查概率、分布列等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法， 考查 运用概率统计知识解决实际问题的能力； (2) 散点图与线性回归方程的有关知识，是高考考试的重要 知识点，因此是高考命题的一种重要题型，要注意熟练掌握 . 统 计问题最容易出错的两个方面：公式记错、计算出错！ 【 跟踪训练 】 1.(2016 年新课标 Ⅰ ) 某公司计划购买 2 台机器，该种机器 使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件，在购进机器时，可以 额外购买这种零件作为备件，每个 200 元 . 在机器使用期间，如 果备件不足再购买，则每个 500 元 . 现需决策在购买机器时应同 时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三 年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图 7-1 ： 图 7-1 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更 换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更 换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件 数 . (1) 求 X 的分布列； (2) 若要求 P ( X ≤ n )≥0.5 ，确定 n 的最小值； (3) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n ＝ 19 与 n ＝ 20 之中选其一，应 选用哪个？ 解： (1) 由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年 内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2 ， 0.4 ， 0.2,0.2 ，从而 P ( X ＝ 16) ＝ 0.2×0.2 ＝ 0.04 ； P ( X ＝ 17) ＝ 2×0.2×0.4 ＝ 0.16 ； P ( X ＝ 18) ＝ 2×0.2×0.2 ＋ 0.4×0.4 ＝ 0.24 ； P ( X ＝ 19) ＝ 2×0.2×0.2 ＋ 2×0.4×0.2 ＝ 0.24 ； P ( X ＝ 20) ＝ 2×0.2×0.4 ＋ 0.2×0.2 ＝ 0.2 ； X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 P ( X ＝ 21) ＝ 2×0.2×0.2 ＝ 0.08 ； P ( X ＝ 22) ＝ 0.2×0.2 ＝ 0.04. ∴ X 的分布列为： (2) 由 (1) 知， P ( X ≤18) ＝ 0.44 ， P ( X ≤19) ＝ 0.68 ， ∴ P ( X ≤ n )≥0.5 中， n 的最小值为 19. (3) 记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用 ( 单位： 元 ). 当 n ＝ 19 时， E ( Y ) ＝ 19×200 ＋ 500×0.2 ＋ 1000×0.08 ＋ 1500×0.04 ＝ 4040. 当 n ＝ 20 时， E ( Y ) ＝ 20×200 ＋ 500×0.08 ＋ 1000×0.04 ＝ 4080. 可知当 n ＝ 19 时所需费用的期望值小于 n ＝ 20 时所需费用 的期望值，故应选 n ＝ 19. 题型 2 离散型随机变量的期望与方差 随机变量的分布列与数学期望紧密相连，只有知道随机变 量的分布列，才能够计算出随机变量的数学期望，它们之间是 层层递进的关系 . 因此，这类试题经常是以两个小题的形式出 现，第一问是为第二问作铺垫的 . 例 2: (2017 年天津 ) 从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设 各路口信号灯工作相互独立，且在 各路口遇到红灯的概率分别 (1) 记 X 表示一辆车 从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机 变量 X 的分布 列和数学期望； (2) 若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率 . 【 规律方法 】 (1) 会用频率估计 概率，然后把问题转化为互 斥事件的概率； (2) 首先确定 X 的取值，然后确定 有关概率，注意运用对立 事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可 计算数学期望 . (3) 离散型随机变量分布列的性质 p 1 ＋ p 2 ＋ … ＋ p n ＝ 1 ，这条 性质是我们检验分布列是否正确最有效的工具，希 望同学们在 求分布列时尽量将每个变量的概率求出，而不要偷懒，否则将 失去自我检查的机会 . 【 跟踪训练 】 2. 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行 5 次统一 测试，学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学 继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加 过与否相互独立 . 规定：若前 4 次都没有通过测试，则第 5 次不 能参加测试 . (1) 求该学生获得足够学分升上大学的概率； (2) 如果获得足够学分升上大学或参加 5 次测试就结束，记 该生参加测试的次数为 X ，求变量 X 的分布列及均值 E ( X ). 题型 3 独立性检验 独立性检验是新课标增加的内容，高考试卷多次以解答题 形式考查，体现新课程的理念，因此我们在备考时也应该引起 足够的重视 . 例 3 ： (20 17 年新课标 Ⅱ ) 海水养殖场进行某水产品的新、 旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱， 测量各箱水产品的产量 ( 单位： kg), 其频率分布直方图如图 7-2 ： 图 7-2 (1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧 养殖法的箱产量低于 50 kg ，新养殖法的箱产量不低于 50 kg” ， 估计 A 的概率； (2) 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99% 的把握 认为箱产量与养殖方法有关： (3) 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中 位数的估计 值 ( 精确到 0.01). 附： 养殖法 箱产量＜ 50 kg 箱产量≥ 50 kg 旧养殖法 新养殖法 P ( K 2 ≥ k ) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解： (1) 记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg” ， C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50 kg” ， 由题意知 P ( A ) ＝ P ( BC ) ＝ P ( B ) P ( C ) ， 旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为 (0.012 ＋ 0.014 ＋ 0.024 ＋ 0.034 ＋ 0.040)×5 ＝ 0.62 ，故 P ( B ) ＝ 0.62. 新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为 (0.068 ＋ 0.046 ＋ 0.010 ＋ 0.008)×5 ＝ 0.66 ，故 P ( C ) ＝ 0.66. 因此，事件 A 的概率估计值为 0.62×0.66 ＝ 0.4092. 养殖法 箱产量 <50 kg 箱产量≥ 50 kg 总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 (2) 根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下： 由于 15.705>6.635 ，故有 99% 的把握认为箱产量与养殖方 法有关 . (3)∵ 新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50 kg 的直方图面积为 (0.004 ＋ 0.020 ＋ 0.044)×5 ＝ 0.34<0.5 ， 箱产量低于 55 kg 的直方图面积为 (0.004 ＋ 0.020 ＋ 0.044 ＋ 0.068)×5 ＝ 0.68>0.5 ， 故 新 养 殖 法 箱 产 量 的 中 位 数 的 估 计 值 为 50 ＋ 0.5 － 0.34 0.068 ≈52.35(kg). 分类 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 23 30 女 11 总计 50 【 跟踪训练 】 3. 大型综艺节目 《 最强大脑 》 中，有一个游戏叫做盲拧魔 方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快 速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的， 要学会盲拧也是很容易的 . 根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与 性别有关 . 为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了 50 名魔 方爱好者进行调查，得到的情况如下表： 表 (1) 成功完成时间 / 分 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40] 人数 / 人 10 10 5 5 并邀请这 30 名男生参加 盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如 下表： 表 (2) (1) 将表 (1) 补充完整， 并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？ P ( K 2 ≥ k 0 ) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2) 现从表 (2) 中成功完成时间在 [0,10) 内的 10 名男生中任意 抽取 3 人对他们的盲拧情况进行视 频记录，记成功完成时间在 [0,10) 内的甲、乙、丙 3 人中被抽到的人数为 X ，求 X 的分布列 及数学期望 E ( X ). 分类 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 23 7 30 女 9 11 20 总计 32 18 50 解： (1) 故能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为喜欢盲拧与性 别有关 .