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- 2021-06-15 发布
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一讲 平面向量的概念及
其线性运算
1
知识梳理
•
双基自测
2
考点突破
•
互动探究
3
名师讲坛
•
素养提升
知识梳理
•
双基自测
知识点一 向量的有关概念
(1)
向量:既有
________
又有
________
的量叫做向量,向量的大小叫做向量的
________(
或称
______)
.
(2)
零向量:
___________
的向量叫做零向量,其方向是
________
的,零向量记作
_____.
(3)
单位向量:长度等于
_____
个单位的向量.
(4)
平行向量:方向相同或
________
的
________
向量;平行向量又叫
________
向量.规定:
0
与任一向量
________.
(5)
相等向量:长度
________
且方向
________
的向量.
(6)
相反向量:长度
________
且方向
________
的向量.
大小
方向
长度
模
长度为
0
任意
0
1
相反
非零
共线
平行
相等
相同
相等
相反
三角形
平行四边形
b
+
a
a
+
(
b
+
c
)
相反向量
三角形
向量
相同
相反
λ
(
μ
a
)
λa
+
μa
λa
+
λb
知识点三 共线向量定理
向量
a
(
a
≠0)
与
b
共线,当且仅当存在唯一一个实数
λ
,使
_________.
b
=
λ
a
ABCD
B
3
.
(
必修
4P
84
T4
改编
)
(2019
·
太原模拟
)
向量
e
1
,
e
2
,
a
,
b
在正方形网格中的位置如图所示,向量
a
-
b
等于
(
)
A
.-
4
e
1
-
2
e
2
B
.-
2
e
1
-
4
e
2
C
.
e
1
-
3
e
2
D
.
3
e
1
-
e
2
[
解析
]
由图可知
a
=-
4
e
2
,
b
=-
(
e
1
+
e
2
)
,
∴
a
-
b
=
e
1
-
3
e
2
,故选
C
.
C
D
A
考点突破
•
互动探究
考点一 向量的基本概念
——
自主练透
ACD
例
1
D
[
引申
]
若本例
(1)⑤
中的实数
λ
,
μ
满足
λ
2
+
μ
2
≠0
,该结论是否正确?
D
例
2
考点二 向量的线性运算
——
师生共研
A
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)
考查向量加法或减法的几何意义.
(2)
求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;求首尾相连的向量的和用三角形法则.
(3)
与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知条件中的式子比较,求得参数.
(4)
与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
A
D
考点三 共线向量定理及其应用
——
师生共研
例
3
[
引申
]
本例
(2)
中,若
k
a
+
b
与
a
+
k
b
反向,则
k
=
_______
;若
k
a
+
b
与
a
+
k
b
同向,则
k
=
_____
.
[
解析
]
由本例可知
k
a
+
b
与
a
+
k
b
反向时
λ
<0
,从而
k
=-
1
;
k
a
+
b
与
a
+
k
b
同向时
λ
>0
,从而
k
=
1.
-
1
1
平面向量共线的判定方法
(1)
向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是存在唯一实数
λ
,使
b
=
λ
a
.
要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)
证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
B
D
名师讲坛
•
素养提升
易错警示
——
都是零向量
“
惹的祸
”
例
4
ABC
在向量的有关概念中,定义长度为
0
的向量叫做零向量,其方向是任意的,并且规定:
0
与任一向量平行.由于零向量的特殊性,在两个向量共线或平行问题上,如果不考虑零向量,那么往往会得到错误的判断或结论.在向量的运算中,很多学生也往往忽视
0
与
0
的区别,导致结论错误.
ABCD
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