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- 2021-06-15 发布
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课时提升作业 十九
导数的几何意义
一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)
1.(2016·深圳高二检测)曲线 y=f(x)= 在点(2,-2)处的切线的斜率 k
为 ( )
A. B. C.1 D.-
【解析】选 C.k=
= = =1.
【补偿训练】(2016·重庆高二检测)曲线 y=x3-2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
【解析】选 B.y′=
=
= =3x2-2.
则当 x=1 时,切线的斜率 k=1.
设切线的倾斜角为θ,由 tanθ=1,且 0≤θ≤180°,得θ=45°.
2.(2016·阜阳高二检测)函数 y=f(x)的图象在点 P(5,f(5))处的切线方程是 y=-x+8,则
f(5)+f′(5)= ( )
A. B.1 C.2 D.0
【解题指南】根据函数 f(x)的图象在点 P(5,f(5))处的切线方程求出切线的斜率 f′(5)和
f(5)是解答关键.
【解析】选 C.函数 f(x)的图象在点 P(5,f(5))处的切线 y=
-x+8 的斜率是 k=-1,
所以 f′(5)=-1,
又切线过点 P(5,f(5)),
所以 f(5)=-5+8=3,
所以 f(5)+f′(5)=3-1=2.
3.(2016·临沂高二检测)曲线 y=x3-3x2+1 在点 P 处的切线平行于直线 y=9x-1,则切线方程为
( )
A.y=9x B.y=9x-26
C.y=9x+26 D.y=9x+6 或 y=9x-26
【解析】选 D.设点 P(x0,y0),
则 =
=
=(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3 -6x0.
所以 f′(x0)=
=3 -6x0,于是 3 -6x0=9,解得 x0=3 或 x0=-1,
因此,点 P 的坐标为(3,1)或(-1,-3).
又切线斜率为 9,所以曲线在点 P 处的切线方程为 y=9(x-3)+1 或 y=9(x+1)-3,即 y=9x-26 或
y=9x+6.
二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)
4.(2016·德州高二检测)已知曲线 f(x)=x3 在点(2,8)处的切线方程为 12x-ay-16=0,则实数
a 的值为 .
【解析】因为 f′(2)= =
=12,
所以曲线 f(x)=x3 在点(2,8)处的切线的斜率为 12,
所以 =12,a=1.
答案:1
【补偿训练】(2016·福州高二检测)已知函数 y=ax2+b 在点(1,3)处的切线斜率为 2,则
= .
【解析】 = (a·Δx+2a)=2a=2,所以 a=1,
又 3=a×12+b,所以 b=2,即 =2.
答案:2
5.(2016·北京东城高二检测)如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为
(0,4),(2,0),(6,4),则 f(f(0))= ;
= .(用数字作答)
【解析】因为函数 f(x)的图象过点 A(0,4)和(4,2),
所以 f(f(0))=f(4)=2.
又函数 f(x)过点 A(0,4),B(2,0),
则当 0≤x≤2 时,
f(x)=4-2x.
所以 = =f′(1)=-2.
答案:2 -2
三、解答题
6.(10 分)(2016·威海高二检测)已知曲线 f(x)=x2+1 与 g(x)=x3+1 在 x=x0 处的切线互相垂直,
求 x0 的值.
【解析】因为 f′(x)=
= (2x+Δx)=2x,
g′(x)=
= ((Δx)2+3xΔx+3x2)=3x2,
所以 k1=2x0,k2=3 ,
由 k1k2=-1,
即 6 =-1,
解得 x0=- .
【补偿训练】已知曲线 y= x3 上一点 P ,如图所示.
(1)求曲线在点 P 处的切线的斜率.
(2)求曲线在点 P 处的切线方程.
【解题指南】
【解析】(1)因为 y= x3,
所以 y′= =
=
= =x2,
所以 y′ =22=4,
所以曲线 y= x3 在点 P 处的切线的斜率为 4.
(2)曲线 y= x3 在点 P 处的切线方程是 y- =4(x-2),
即 12x-3y-16=0.
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.(2016·重庆高二检测)过曲线 y=x3+1 上一点(1,2)且与该点处的切线垂直的直线方程是
( )
A.y=3x-3 B.y= x-
C.y=- x+ D.y=-3x+3
【解题指南】先求出曲线在该点处的切线的斜率,再求与此切线垂直的直线的斜率,进而得到
直线方程.
【解析】选 C.曲线上点(1,2)处切线的斜率为
= =3,
所以与切线垂直的直线的斜率为- ,
所以所求直线的方程是 y-2=- (x-1),
即 y=- x+ .
【补偿训练】若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则 ( )
A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1
【解析】选 A.y′=
=
=
= (Δx+a+2x)=2x+a.
又因为点(0,b)处的切线方程为 x-y+1=0,
所以 y′ =a=1.
将(0,b)代入 x-y+1=0 得,b=1.
所以 a=1,b=1.
2.(2016·泰安高二检测)设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角
的取值范围为 ,则点 P 横坐标的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
【解题指南】根据倾斜角的取值范围可以得到曲线 C 在点 P 处切线斜率的取值范围,进而得
到点 P 横坐标的取值范围.
【解析】选 D.设点 P 的横坐标为 x0,因为 y=x2+2x+3,
由定义可求其导数 y′ =2x0+2,利用导数的几何意义得 2x0+2=tanα(α为点 P 处切线的
倾斜角),
又因为α∈ ,所以 1≤2x0+2,
所以 x0∈ .
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.(2016·烟台高二检测)若函数 f(x)=x- ,则它与 x 轴交点处的切线方程为 .
【解析】由 f(x)=x- =0 得 x=±1,
即与 x 轴交点坐标为(1,0),(-1,0).
因为 f′(x)=
= =1+ ,
所以切线的斜率 k=1+ =2.
所以切线的方程为 y=2(x-1)或 y=2(x+1),
即 2x-y-2=0 或 2x-y+2=0.
答案:2x-y-2=0 或 2x-y+2=0
4.若点 P 是抛物线 y=x2 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为 .
【解析】由题意可得,当点 P 到直线 y=x-2 的距离最小时,点 P 为抛物线 y=x2 的一条切线的
切点,且该切线平行于直线 y=x-2,由导数的几何意义知 y′=2x=1,解得 x= ,
所以 P ,故点 P 到直线 y=x-2 的最小距离 d= = .
答案:
三、解答题
5.(10 分)已知曲线 C:y=x3.
(1)求曲线 C 在点 P(1,1)处的切线方程.
(2)试判断(1)中的切线与曲线 C 是否还有其他公共点.
【解析】(1)曲线在点 P 处的切线斜率为 f′(1)=
=3,故所求切线方程为 y-1=3(x-1),即 3x-y-2=0.
(2)由 解得 或
因此,点 P 处的切线与曲线 C 除了切点(1,1)之外,还有另一个公共点(-2,-8).
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