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  • 2021-06-15 发布

2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷02(人教A版)(文)

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‎2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷02(人教A版)(文)‎ ‎(本卷满分150分,考试时间120分钟)‎ 测试范围:人教A版 必修5全册+选修1-1第一章、第二章 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知,若:,:,则是的( )。‎ A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】不能推出,当、时,满足:,但不满足:,‎ 能推出,当时,,‎ ‎∴是的必要不充分条件,选A。‎ ‎2.某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比。如果在距离车站处建仓库,则土地费用和运输费用分别为万元和万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )。‎ A、处 B、处 C、处 D、处 ‎【答案】A ‎【解析】设仓库建在离车站处,则土地费用(),运输费用(),‎ 把,代入得,把,代入得,‎ 故总费用,‎ 当且仅当,即时等号成立,故选A。‎ ‎3.已知等比数列的前项积满足,则( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵,∴,,故选C。‎ ‎4.关于的不等式()的解集为,则的最小值是( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】可化为,解集为,‎ ‎∵,∴,,‎ ‎∴,故选C。‎ ‎5.对于一个给定的数列,把它连续的两项与的比记为,得到一个新的数列,称数列是数列的一阶比数列,若数列的一阶比数列是每一项均为的常数列,则 ‎( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知,数列满足,则数列是等比数列,且公比,‎ 则,故选D。‎ ‎6.已知椭圆:()的左、右焦点分别为、。若椭圆上存在点使,则椭圆的离心率的取值范围为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图,设,,由正弦定理得:,‎ 则,则,又,‎ 则,,又,‎ 则,两边同除以得,‎ 解得,故选C。‎ ‎7.在中,角、、的对边分别为、、,若,且、、为等差数列,则( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】,则,又、、等差,‎ 则,,,‎ ‎,‎ ‎,故选C。‎ ‎8.在双曲线:(,)的右支上存在点,使点与双曲线的左、右焦点、形成的三角形的内切圆的半径为,若的重心满足,则双曲线的离心率为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图,由平行于轴可得,则,‎ ‎∴,‎ 又,则,,‎ 由焦半径公式得,‎ 因此代入双曲线方程得可得,‎ ‎∴,即,故选C。‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9.椭圆的离心率为,则的值为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】BD ‎【解析】①,,则,则,即,解得,‎ ‎ ②,,则,则,即,解得,故选BD。‎ ‎10.已知,下列四个条件中,使成立的既不充分也不必要的条件是( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】CD ‎【解析】A选项:,但不能,则是的充分而不必要条件,‎ ‎ 例:,,,则,而,,,但,‎ B选项:不能,但,则是的必要而不充分条件,‎ 例:,,,但,而,,,则,‎ C选项:不能,也不能,‎ 则是的既不充分也不必要条件,‎ 例:,,,但,而,,,但,‎ D选项:不能,也不能,‎ 则是的既不充分也不必要条件,‎ 例:,,,但,而,,,但,‎ 综上,选CD。‎ ‎11.设,则当取最小值时,下列说法正确的是( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】AC ‎【解析】原式 ‎ ‎ 当且仅当,即,,时,等号成立,此时,‎ 故选AC。‎ ‎12.若数列通项公式为,则满足的正整数的个数为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】AB ‎【解析】由可知,‎ 当时,,‎ 解得,不符,舍去,‎ 当时,‎ ‎,‎ 即,解得或,符合,可取,‎ 故选AB。‎ 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知实数、满足约束条件,则的最大值是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】表示可行域内的点与点连线的斜率,‎ 当直线过点时,斜率取最大值,。‎ ‎14.在各项均为正数的等比数列中,若,则的值为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵等比数列的各项均为正数,‎ ‎,∴,‎ ‎∴‎ ‎。‎ ‎15.已知中角、、所对的边分别为、、,,,,则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得:,‎ 即,由得,得,‎ 由余弦定理得,即,解得。‎ ‎16.如图,已知抛物线的焦点为,直线过点且依次交抛物线及圆于、、、四点,则的最小值为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,焦点,准线:,‎ 由圆:,圆心,半径为,‎ 由抛物线的定义得:,‎ 又∵,∴,同理:,‎ 当轴时,则,∴,‎ 当的斜率存在且不为,设:时,代入抛物线方程,得:‎ ‎,∴,,‎ ‎∴‎ ‎,‎ 当且仅当,即,时取等号,‎ 综上所述的最小值为。‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 在中,角、、的对边分别为、、,且。‎ ‎(1)求的大小;‎ ‎(2)若为边上的中线,,,求的面积。‎ ‎【解析】(1)在中,,‎ 由正弦定理得:, 1分 则, 2分 则,又,∴, 3分 ‎∴,∵,∴; 4分 ‎ (2)在中,由余弦定理得,‎ ‎∴①, 6分 在中,由正弦定理得,由已知得, 7分 ‎∴,∴②, 9分 由①②解得,∴。 10分 ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知数列满足,对任意的均有。‎ ‎(1)证明:数列为等比数列;‎ ‎(2)记数列满足,且数列的前项和为,求。‎ ‎【解析】(1),又, 2分 ‎∴数列是首项为,公比为的等比数列, 3分 ‎∴,; 4分 ‎(2), 6分 ‎ ‎ ‎ 8分 ‎ 10分 ‎∴,‎ ‎∴。 12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 在中,内角、、的对边分别为、、,,,点在线段上,且,。‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求的面积。‎ ‎【解析】(1)∵点在线段上,且,∴,, 1分 在中,由余弦定理得:, 2分 在中,由余弦定理得:, 3分 则,化简得, 4分 在中,由余弦定理得:‎ ‎, 6分 化简得,十字相乘得:,解得或(舍去), ‎ ‎∴; 8分 ‎ (2)∵,,∴, 9分 ‎ ∴, 10分 ‎ 又∵,,∴,∴。 12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知直线与抛物线:()交于、两点,且点、在轴两侧,其准线与 轴的交点为点,当直线的斜率为且过抛物线的焦点时,。‎ ‎(1)求抛物线的标准方程;‎ ‎(2)若抛物线的焦点为,,且与的面积分别为、,求的最小值。‎ ‎【解析】(1)当直线的斜率为且过抛物线的焦点时,直线的方程为, 1分 设、,联立得:, 2分 则,, 3分 ‎∴,‎ 解得, 4分 ‎∴此抛物线的标准方程为; 5分 ‎ (2)由(1)知抛物线的方程为,设直线:, 6分 ‎∵直线与抛物线相交,∴, 7分 联立得:,‎ 则,, 8分 则,解得或(舍), 9分 ‎∴直线:,恒过定点,‎ 设,从而、, 10分 则, 11分 当且仅当时不等式取等号, 故的最小值为。 12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知等差数列的前项和,满足。‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)设,数列的前项和为,求证:。‎ ‎【解析】(1)由题意知,当时,, 1分 当时,由①,②, 2分 ‎①-②得(),∴(),, 3分 又数列为等差数列,∴,得; 4分 ‎(2)由(1)知,,则, 5分 ‎∴, 6分 ‎∴, 7分 上式减下式得: 8分 ‎, 9分 ‎∴, 10分 ‎∵,∴是关于的增函数,即, 11分 又易知,故。 12分 ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆(),设为椭圆上一点,且,。‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,,是否存在以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形?若存在,请求出共有几个?若不存在,请说明理由。‎ ‎【解析】(1)设,,由椭圆定义得,‎ 设椭圆的半焦距为,则, 2分 对由余弦定理得:‎ ‎,‎ 解得, 3分 又,结合得; 5分 ‎(2)可得椭圆的标准方程为:,‎ 当、中一个斜率为零,一个斜率不存在显然不符合题意, 6分 设:,不妨设,‎ 联立直线和椭圆方程得:, 7分 ‎∴两根为、, ∴, 8分 由,得,‎ 把中的换成,可得, 10分 由,得,‎ 结合化简得,整理得,‎ 解得、、,均符合,‎ ‎∴符合条件的的个数有个。 12分