2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷02（人教A版）（文） 11页

‎2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷02（人教A版）（文）‎ ‎（本卷满分150分，考试时间120分钟）‎ 测试范围：人教A版 必修5全册+选修1-1第一章、第二章 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知，若：，：，则是的( )。‎ A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】不能推出，当、时，满足：，但不满足：，‎ 能推出，当时，，‎ ‎∴是的必要不充分条件，选A。‎ ‎2．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比。如果在距离车站处建仓库，则土地费用和运输费用分别为万元和万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )。‎ A、处 B、处 C、处 D、处 ‎【答案】A ‎【解析】设仓库建在离车站处，则土地费用()，运输费用()，‎ 把，代入得，把，代入得，‎ 故总费用，‎ 当且仅当，即时等号成立，故选A。‎ ‎3．已知等比数列的前项积满足，则( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，∴，，故选C。‎ ‎4．关于的不等式()的解集为，则的最小值是( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】可化为，解集为，‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴，故选C。‎ ‎5．对于一个给定的数列，把它连续的两项与的比记为，得到一个新的数列，称数列是数列的一阶比数列，若数列的一阶比数列是每一项均为的常数列，则 ‎( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知，数列满足，则数列是等比数列，且公比，‎ 则，故选D。‎ ‎6．已知椭圆：()的左、右焦点分别为、。若椭圆上存在点使，则椭圆的离心率的取值范围为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，设，，由正弦定理得：，‎ 则，则，又，‎ 则，，又，‎ 则，两边同除以得，‎ 解得，故选C。‎ ‎7．在中，角、、的对边分别为、、，若，且、、为等差数列，则( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】，则，又、、等差，‎ 则，，，‎ ‎，‎ ‎，故选C。‎ ‎8．在双曲线：(，)的右支上存在点，使点与双曲线的左、右焦点、形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，由平行于轴可得，则，‎ ‎∴，‎ 又，则，，‎ 由焦半径公式得，‎ 因此代入双曲线方程得可得，‎ ‎∴，即，故选C。‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9．椭圆的离心率为，则的值为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】BD ‎【解析】①，，则，则，即，解得，‎ ‎ ②，，则，则，即，解得，故选BD。‎ ‎10．已知，下列四个条件中，使成立的既不充分也不必要的条件是( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】CD ‎【解析】A选项：，但不能，则是的充分而不必要条件，‎ ‎ 例：，，，则，而，，，但，‎ B选项：不能，但，则是的必要而不充分条件，‎ 例：，，，但，而，，，则，‎ C选项：不能，也不能，‎ 则是的既不充分也不必要条件，‎ 例：，，，但，而，，，但，‎ D选项：不能，也不能，‎ 则是的既不充分也不必要条件，‎ 例：，，，但，而，，，但，‎ 综上，选CD。‎ ‎11．设，则当取最小值时，下列说法正确的是( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】AC ‎【解析】原式 ‎ ‎ 当且仅当，即，，时，等号成立，此时，‎ 故选AC。‎ ‎12．若数列通项公式为，则满足的正整数的个数为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】AB ‎【解析】由可知，‎ 当时，，‎ 解得，不符，舍去，‎ 当时，‎ ‎，‎ 即，解得或，符合，可取，‎ 故选AB。‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知实数、满足约束条件，则的最大值是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】表示可行域内的点与点连线的斜率，‎ 当直线过点时，斜率取最大值，。‎ ‎14．在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵等比数列的各项均为正数，‎ ‎，∴，‎ ‎∴‎ ‎。‎ ‎15．已知中角、、所对的边分别为、、，，，，则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得：，‎ 即，由得，得，‎ 由余弦定理得，即，解得。‎ ‎16．如图，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于、、、四点，则的最小值为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，焦点，准线：，‎ 由圆：，圆心，半径为，‎ 由抛物线的定义得：，‎ 又∵，∴，同理：，‎ 当轴时，则，∴，‎ 当的斜率存在且不为，设：时，代入抛物线方程，得：‎ ‎，∴，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当，即，时取等号，‎ 综上所述的最小值为。‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在中，角、、的对边分别为、、，且。‎ ‎(1)求的大小；‎ ‎(2)若为边上的中线，，，求的面积。‎ ‎【解析】(1)在中，，‎ 由正弦定理得：， 1分 则， 2分 则，又，∴， 3分 ‎∴，∵，∴； 4分 ‎ (2)在中，由余弦定理得，‎ ‎∴①， 6分 在中，由正弦定理得，由已知得， 7分 ‎∴，∴②， 9分 由①②解得，∴。 10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，对任意的均有。‎ ‎(1)证明：数列为等比数列；‎ ‎(2)记数列满足，且数列的前项和为，求。‎ ‎【解析】(1)，又， 2分 ‎∴数列是首项为，公比为的等比数列， 3分 ‎∴，； 4分 ‎(2)， 6分 ‎ ‎ ‎ 8分 ‎ 10分 ‎∴，‎ ‎∴。 12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 在中，内角、、的对边分别为、、，，，点在线段上，且，。‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)求的面积。‎ ‎【解析】(1)∵点在线段上，且，∴，， 1分 在中，由余弦定理得：， 2分 在中，由余弦定理得：， 3分 则，化简得， 4分 在中，由余弦定理得：‎ ‎， 6分 化简得，十字相乘得：，解得或(舍去)， ‎ ‎∴； 8分 ‎ (2)∵，，∴， 9分 ‎ ∴， 10分 ‎ 又∵，，∴，∴。 12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知直线与抛物线：()交于、两点，且点、在轴两侧，其准线与 轴的交点为点，当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，。‎ ‎(1)求抛物线的标准方程；‎ ‎(2)若抛物线的焦点为，，且与的面积分别为、，求的最小值。‎ ‎【解析】(1)当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，直线的方程为， 1分 设、，联立得：， 2分 则，， 3分 ‎∴，‎ 解得， 4分 ‎∴此抛物线的标准方程为； 5分 ‎ (2)由(1)知抛物线的方程为，设直线：， 6分 ‎∵直线与抛物线相交，∴， 7分 联立得：，‎ 则，， 8分 则，解得或(舍)， 9分 ‎∴直线：，恒过定点，‎ 设，从而、， 10分 则， 11分 当且仅当时不等式取等号， 故的最小值为。 12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的前项和，满足。‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)设，数列的前项和为，求证：。‎ ‎【解析】(1)由题意知，当时，， 1分 当时，由①，②， 2分 ‎①-②得()，∴()，， 3分 又数列为等差数列，∴，得； 4分 ‎(2)由(1)知，，则， 5分 ‎∴， 6分 ‎∴， 7分 上式减下式得： 8分 ‎， 9分 ‎∴， 10分 ‎∵，∴是关于的增函数，即， 11分 又易知，故。 12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆()，设为椭圆上一点，且，。‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若，，是否存在以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，请求出共有几个？若不存在，请说明理由。‎ ‎【解析】(1)设，，由椭圆定义得，‎ 设椭圆的半焦距为，则， 2分 对由余弦定理得：‎ ‎，‎ 解得， 3分 又，结合得； 5分 ‎(2)可得椭圆的标准方程为：，‎ 当、中一个斜率为零，一个斜率不存在显然不符合题意， 6分 设：，不妨设，‎ 联立直线和椭圆方程得：， 7分 ‎∴两根为、， ∴， 8分 由，得，‎ 把中的换成，可得， 10分 由，得，‎ 结合化简得，整理得，‎ 解得、、，均符合，‎ ‎∴符合条件的的个数有个。 12分