高中数学人教a版必修4课时达标检测（二十八）二倍角的正弦、余弦、正切公式 word版含解析 4页

课时达标检测（二十八）二倍角的正弦、余弦、正切公式 一、选择题 1．若 sin 3π 2 －x ＝3 5 ，则 cos 2x 的值为( ) A．－ 7 25 B.14 25 C．－16 25 D.19 25 答案：A 2．若sin α＋cos α sin α－cos α ＝1 2 ，则 tan 2α＝( ) A．－3 4 B.3 4 C．－4 3 D.4 3 答案：B 3．设－3π<α<－5π 2 ，化简 1－cosα－π 2 的结果是( ) A．sinα 2 B．cosα 2 C．－cosα 2 D．－sinα 2 答案：C 4．若α∈ 0，π 2 ，且 sin2α＋cos 2α＝1 4 ，则 tan α的值等于( ) A. 2 2 B. 3 3 C. 2 D. 3 答案：D 5．若θ∈ π 4 ，π 2 ，sin 2θ＝3 7 8 ，则 sin θ＝( ) A.3 5 B.4 5 C. 7 4 D.3 4 答案：D 二、填空题 6．函数 f(x)＝2cos2x＋sin 2x 的最小值是________． 答案：1－ 2 7．已知α∈ 0，π 2 ，sin α＝3 5 ，则 1 cos 2α ＋tan 2α＝________. 答案：7 8．等腰三角形一个底角的余弦为2 3 ，那么这个三角形顶角的正弦值为________． 答案：4 5 9 三、解答题 9．已知α为锐角，且 tan π 4 ＋α ＝2. (1)求 tan α的值； (2)求sin 2αcos α－sin α cos 2α 的值． 解：(1)tan π 4 ＋α ＝1＋tan α 1－tan α ， 所以1＋tan α 1－tan α ＝2,1＋tan α＝2－2tan α， 所以 tan α＝1 3. (2)sin 2αcos α－sin α cos 2α ＝2sin αcos2α－sin α cos 2α ＝sin α2cos2α－1 cos 2α ＝sin αcos 2α cos 2α ＝sin α. 因为 tan α＝1 3 ，所以 cos α＝3sin α， 又 sin2α＋cos2α＝1，所以 sin2α＝ 1 10 ， 又α为锐角，所以 sin α＝ 10 10 ， 所以sin 2αcos α－sin α cos 2α ＝ 10 10 . 10．已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)．若 f(x0)＝6 5 ，x0∈ π 4 ，π 2 ，求 cos 2x0 的值． 解：∵f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1 ＝ 3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) ＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin 2x＋π 6 ， ∴sin 2x0＋π 6 ＝3 5. 又∵x0∈ π 4 ，π 2 ，∴2x0＋π 6 ∈ 2π 3 ，7π 6 . ∴cos 2x0＋π 6 ＝－ 1－sin2 2x0＋π 6 ＝－4 5. ∴cos 2x0＝cos 2x0＋π 6 －π 6 ＝cos 2x0＋π 6 cosπ 6 ＋sin 2x0＋π 6 sinπ 6 ＝－4 5 × 3 2 ＋3 5 ×1 2 ＝3－4 3 10 . 11．设函数 f(x)＝5 3cos2x＋ 3sin2x－4sin xcos x. (1)求 f 5π 12 ； (2)若 f(α)＝5 3，α∈ π 2 ，π ，求角α. 解：f(x)＝5 3cos2x＋ 3sin2x－4sin xcos x ＝5 3cos2x＋5 3sin2x－2sin 2x－4 3sin2x ＝5 3－2sin 2x－2 3(1－cos 2x) ＝3 3－2sin 2x＋2 3cos 2x ＝3 3－4 sin 2x×1 2 －cos 2x× 3 2 ＝3 3－4 sin 2xcosπ 3 －cos 2xsinπ 3 ＝3 3－4sin 2x－π 3 ， (1)f 5π 12 ＝3 3－4sin 5π 6 －π 3 ＝3 3－4sinπ 2 ＝3 3－4. (2)由 f(α)＝5 3，得 sin 2α－π 3 ＝－ 3 2 ， 由α∈ π 2 ，π ， 得 2α－π 3 ∈ 2π 3 ，5π 3 ， ∴2α－π 3 ＝4π 3 ，α＝5π 6 .