2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积和体积课件新人教A版 40页

第 2 节　空间几何体的表面积和体积 考试要求　 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 . 知 识 梳 理 1. 多面体的表 ( 侧 ) 面积 多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和 . 2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式   圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧 ＝ ______ S 圆锥侧 ＝ ______ S 圆台侧 ＝ ___________ 2π rl π rl π( r 1 ＋ r 2 ) l 3. 空间几何体的表面积与体积公式 　　名称 几何体 表面积 体积 柱　 体 ( 棱柱和圆柱 ) S 表面积 ＝ S 侧 ＋ 2 S 底 V ＝ __________ 锥　 体 ( 棱锥和圆锥 ) S 表面积 ＝ S 侧 ＋ S 底 V ＝ __________ 台　 体 ( 棱台和圆台 ) S 表面积 ＝ S 侧 ＋ S 上 ＋ S 下 球 S ＝ __________ V ＝ __________ S 底 h 4π R 2 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) 解析　 (1) 锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确 . (2) 球的体积之比等于半径比的立方，故不正确 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 2. ( 新教材必修第二册 P120T5 改编 ) 一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为 4π ，则正方体的棱长为 ( 　　 ) 答案　 B 3. ( 老教材必修 2P28A3 改编 ) 如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 ________. 答案　 1 ∶ 47 4. (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知圆柱的高为 1 ，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ( 　　 ) 答案　 B 5. (2018· 浙江卷改编 ) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位： cm) ，则该几何体的体积 ( 单位： cm 3 ) 为 ________. 答案　 6 6. (2019· 江苏卷 ) 如图，长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的体积是 120 ， E 为 CC 1 的中点，则三棱锥 E － BCD 的体积是 ________. 答案　 10 考点一　空间几何体的表面积 【例 1 】 (1) (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O 1 ， O 2 ，过直线 O 1 O 2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为 ( 　　 ) (2) (2020· 郑州一模 ) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( 　　 ) 答案　 (1)B 　 (2)A 规律方法　 空间几何体表面积的求法 (1) 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 . (2) 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 . (3) 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 . 【训练 1 】 (1) (2020· 成都诊断 ) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( 　　 ) 解析　 (1) 由三视图可知，该几何体是一个正方体挖去二分之一的圆柱后所得到的，所以该几何体的表面积 S ＝ 2 × 2 × 5 － π × 1 2 ＋ π × 1 × 2 ＝ 20 ＋ π. 考点二　空间几何体的体积　 多维探究 角度 1 　以三视图为背景的几何体体积 【例 2 － 1 】 (2019· 浙江卷 ) 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的 “ 幂势既同，则积不容异 ” 称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V 柱体 ＝ Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高 . 若某柱体的三视图如图所示 ( 单位： cm) ，则该柱体的体积 ( 单位： cm 3 ) 是 ( 　　 ) A.158 B.162 C.182 D.324 答案　 B 角度 2 　简单几何体的体积 角度 3 　不规则几何体的体积 【例 2 － 3 】 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 △ ADE ， △ BCF 均为正三角形， EF ∥ AB ， EF ＝ 2 ，则该多面体的体积为 ________. 规律方法　 1.( 直接法 ) 规则几何体：对于规则几何体，直接利用公式计算即可 . 若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解 . 2.( 割补法 ) 不规则几何体：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算 . 经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体 . 3.( 等积法 ) 三棱锥：利用三棱锥的 “ 等积性 ” 可以把任一个面作为三棱锥的底面 . (1) 求体积时，可选择 “ 容易计算 ” 的方式来计算； (2) 利用 “ 等积性 ” 可求 “ 点到面的距离 ” ，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥 . 【训练 2 】 (1) ( 角度 1)(2019· 北京卷 ) 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示 . 如果网格纸上小正方形的边长为 1 ，那么该几何体的体积为 ______. (2) ( 角度 2)(2018· 天津卷 ) 已知正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E ， F ， G ， H ， M ( 如图 ) ，则四棱锥 M － EFGH 的体积为 ________. (3) ( 角度 3)(2019· 全国 Ⅲ 卷 ) 学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型 . 如图，该模型为长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 挖去四棱锥 O － EFGH 后所得的几何体 . 其中 O 为长方体的中心， E ， F ， G ， H 分别为所在棱的中点， AB ＝ BC ＝ 6 cm ， AA 1 ＝ 4 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm 3 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 ______g. 考点三　多面体与球的切、接问题　 典例迁移 【例 3 】 ( 经典母题 )(2016· 全国 Ⅲ 卷 ) 在封闭的直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 内有一个体积为 V 的球 . 若 AB ⊥ BC ， AB ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， AA 1 ＝ 3 ，则 V 的最大值是 ( 　　 ) 解析 　由 AB ⊥ BC ， AB ＝ 6 ， BC ＝ 8 ，得 AC ＝ 10. 要使球的体积 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面 △ ABC 的内切圆的半径为 r . 2 r ＝ 4 ＞ 3 ，不合题意 . 球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大 . 【迁移 1 】 若本例中的条件变为 “ 直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上 ” ，若 AB ＝ 3 ， AC ＝ 4 ， AB ⊥ AC ， AA 1 ＝ 12 ，求球 O 的表面积 . 解　 将直三棱柱补形为长方体 ABEC － A 1 B 1 E 1 C 1 ， 则球 O 是长方体 ABEC － A 1 B 1 E 1 C 1 的外接球 . ∴ 体对角线 BC 1 的长为球 O 的直径 . 【迁移 2 】 若将题目的条件变为 “ 如图所示是一个几何体的三视图 ” ，试求该几何体外接球的表面积 . 规律方法　 1. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接 . 球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或 “ 切点 ” 、 “ 接点 ” 作出截面图，把空间问题化归为平面问题 . 2. 若球面上四点 P ， A ， B ， C 中 PA ， PB ， PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题 . 【训练 3 】 (2019· 广州模拟 ) 三棱锥 P － ABC 中，平面 PAC ⊥ 平面 ABC ， AB ⊥ AC ， PA ＝ PC ＝ AC ＝ 2 ， AB ＝ 4 ，则三棱锥 P － ABC 的外接球的表面积为 ( 　　 ) 答案　 D 直观想象 —— 简单几何体的外接球与内切球问题 1. 直观想象主要表现为利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物，解决与球有关的问题对该素养有较高的要求 . 2. 简单几何体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心 O 的位置问题，其中球心的位置是关键 . 类型 1 　外接球问题 1. 必备知识： (1) 简单多面体外接球的球心的结论 . 结论 1 ：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点 . 结论 2 ：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点 . 结论 3 ：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点 . (2) 构造正方体或长方体确定球心 . (3) 利用球心 O 与截面圆圆心 O 1 的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心 . 2. 方法技巧：几何体补成正方体或长方体 . A.3π B.4π C.5π D.6π 答案　 B 类型 2 　内切球问题 1. 必备知识： (1) 内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 . (2) 正多面体的内切球和外接球的球心重合 . (3) 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合 . 2. 方法技巧：体积分割是求内切球半径的通用做法 .