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  • 2021-06-15 发布

西南名校联盟2021届高三上学期12月高考适应性月考卷(五)理科数学试卷 Word版含答案

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西南名校联盟 2021 届高三上学期 12 月高考适应性月考卷(五) 理科数学试卷 一、选择题(本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x||x|≤1,x∈Z},则满足条件 BÜA 的集合 B 的个数为 A.3 B.4 C.7 D.8 2.已知函数 1 2( )f x x   ,则下列说法正确的是 A.f(x)的图象恒在 x 轴上方 B.f(x)的图象经过原点 C.f(x)是 R 上的减函数 D.f(x)是偶函数 3.已知如图的程序框图,则当输出的 y 的值为 8 时,输入的 x 的值为 A.-3,3,-1B.-1,-3C.-3D.-1 4.若 a  ,b  , c  均为单位向量,且 a b  , 1 3c a kb    (k>0),则 k 的取值是 A. 1 3 B. 2 3 C. 6 3 D. 2 2 3 5.已知定义域为 R 的函数 f(x)的导函数图象如图,则关于以下函数值的大小关系,一定 正确的是 A.f(a)>f(b)>f(0) B.f(0)<f(c)<f(d) C.f(b)<f(0)<f(c) D.f(c)<f(d)<f(e) 6.已知曲线Γ: 2 2 12 3 x y    ,则以下判断错误的是 A.λ<0 或λ>3 时,曲线Γ一定表示双曲线 B.0<λ<3 时,曲线Γ一定表示椭圆 C.当λ=-3 时,曲线Γ表示等轴双曲线 D.曲线Γ不能表示抛物线 7.4 名同学准备利用周末时间到敬老院、福利院、儿童医院三地进行志愿者活动,若要求 每个地方至少有一名同学,则不同的安排方法共有 A.72 种 B.64 种 C.36 种 D.24 种 8.九连环是我国民间的一种益智玩具,它蕴含着丰富的数学奥秘.假设从套环与套框完全 分离的状态出发,需经过 an 步演变,出现只穿有第 n 环的状态,则 an+1=2an+1,且 a1=1.则 从套环与套框完全分离的状态到套环均在套框上的状态,总共需要的演变步数为 a8+1+a6 +1+a4+1+a2+1+1= A.345 B.344 C.341 D.340 9.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M 为棱 BC 的中点,用平行于体对角线 BD1 且 过点 A,M 的平面去截正方体 ABCD-A1B1C1D1,得到的截面的形状是 A.平行四边形 B.梯形 C.五边形 D.以上都不对 10.已知复数 z 满足|z|=1,则|z+1-2i|的最小值为 A. 5 1 B. 5 C.3 D.2 11.已知函数 f(x)=cosx,若 x1, 2 ( ,0) (0, )4 4x     时,有 1 2 2 2 2 1 ( ) ( )f x f x x x  ,则 A.x1>x2 B.x1<x2C. 2 2 1 2x x D. 2 2 1 2x x 12.已知在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB, △ ABC 为锐角三角形,且点 P 在平面 ABC 上的投 影 O1 为 △ ABC 的垂心,O2 为 △ PAB 的重心.若二面角 P-AB-C 的余弦值为 1 3 ,且 1 2 2PO  , 2 3PC  ,则 CO2= A. 2 2 B. 2 2 3 C.3 D.1 二、填空题(本大题共 4 小题) 13.已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的 4 倍,设随机变量 X 为他投篮一 次命中的个数,则 X 的期望是________. 14.在等差数列{an}中,a1=10,令 Sn 为{an}的前 n 项和,若 S10S11<0,则使得 an>0 成立 的最大整数 n 为________. 15.已知双曲线 C: 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0),若其右焦点 F 关于直线 3 3y x 的对称点 在双曲线 C 的一条渐近线上,则双曲线 C 的离心率为________. 16.在锐角 △ ABC 中, 4cos 5A  ,若点 P 为 △ ABC 的外心,且 AP xAB yAC    ,则 x+y 的最大值为________. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.如图为函数 f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)在一个周期内的图象,其中点 M 是图象的 最高点,B,C 为图象与 x 轴的交点,且 OM⊥MB,点 B 为(4,0). (1)求函数 f(x)的表达式; (2)若将 y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将图象向 左平移 1 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在 R 上的单调减区间. 18.2021 年《联合国气候变化框架公约》第十五次缔约方会议(COP15)将在云南昆明举 行,大会的主题为“生态文明:共建地球生物共同体”.大绒鼠是中国的特有濒危物种,仅分 布在湖北、四川、云南等地.某校同学为探究大绒鼠的形态学指标与纬度、海拔和年平均温 度的关系,从德钦、香格里拉、丽江、剑川、哀牢山五个采样点收集了 50 只大绒鼠标本. (1)将五个采样地分别记作 A,B,C,D,E,各个采样地所含标本数量占总标本数量的 百分比如图甲所示.若先从来自于 A,C,D 的标本中随机选出两个进行研究,求这两个标 本来源于不同采样地的概率; (2)为研究大绒鼠体长与纬度的变化关系,收集数据后绘制了如图乙的散点图.由散点图 可看出体长 y 与纬度 x 存在线性相关关系,请根据下列统计量的值,求出 y 与 x 的线性回归 方程,并以此估计纬度为 30 度时,大绒鼠的平均体长. x y x y 2 x 5 1 i i i x y   5 2 1 i i x   27 36 972 729 5008.5 3600 参考公式:回归方程 ˆˆ ˆy a bx  中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 1 2 1 ( )( ) ˆ ( ) n i i i n i i x x y y b x x         , ˆˆa y bx  . 19.已知曲线 C 是顶点为坐标原点 O,且开口向右的抛物线,曲线 C 上一点 A(x0,2)到 准线的距离为 5 2 ,且焦点到准线的距离小于 4. (1)求抛物线 C 的方程与点 A 的坐标; (2)若 MN,PQ 是过点(1,0)且互相垂直的 C 的弦,求四边形 MPNQ 的面积的最小值. 20.如图甲,三棱锥 P-ABD,Q-BCD 均为底面边长为 2 3 、侧棱长为 4 3 3 的正棱锥,且四 边形 ABCD 是边长为 2 3 的菱形(点 P,Q 在平面 ABCD 的同侧),AC,BD 交于点 O. (1)证明:平面 PQO⊥平面 ABCD; (2)如图乙,设 AP,CQ 的延长线交于点 M,求二面角 A-MB-C 的余弦值. 21.已知 ( ) (2 ln )f x x x  ,g(x)=f(x)+ax-3,其中 a∈(0,+∞). (1)判断 f(x)的单调性并求其最值; (2)若 g(x)存在极大值,求 a 的取值范围,并证明此时 g(x)的极大值小于 0. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程为 cos 1, sin , x y       (θ为参数).若以原点 O 为 极点,以 x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 2 sin( ) 14     . (1)求出曲线 C 的极坐标方程; (2)若射线θ=θ1 与曲线 C、直线 l 分别交于 A,B 两点,当 1 ( , )4 3    时,求|OA|·|OB|的 取值范围. 23.【选修 4-5:不等式选讲】 已知 a+b+c=3. (1)若 c=1,且 f(x)=|x-a|+|x-2b|≥2 恒成立,求 a 的取值范围; (2)证明:ab+bc+ca≤3. 西南名校联盟 2021 届高三上学期 12 月高考适应性月考卷(五) 理科数学参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C D D B C C B A D A 【解析】 1.因为 { 1 0 1}A   , , ,所以满足条件 B AÜ 的集合 B 的个数为 32 1 7  ,故选 C. 2. 1 2 1( )f x x x    , ( )f x 的定义域为 (0 ) , ,因此 B,C,D 错误;又 ( ) 0f x  ,所以 ( )f x 的图象恒在 x 轴上方,A 正确,故选 A. 3.该程序框图对应的分段函数 2 9 0 1 0 x x y x x     , , , ,≤ 当 8y  时, 0 9 8 x x     , 或 2 0 1 8 x x     ≤ , , 解得 3x   ,故选 C. 4.因为 c  为单位向量,所以 2 2 2 22 21 1 2 1 13 9 3 9c a kb a ka b k b k                   ,又 0k  ,所 以 2 2 3k  ,故选 D. 5.由 ( )f x 的导函数图象可知, ( )f x 在 ( )a b, , ( )c e, 上单调递增,在 ( )b c, 上单调递减, 所以 ( ) ( )f a f b ,A 错误; ( ) (0) ( )f b f f c  ,B,C 错误; ( ) ( ) ( )f c f d f e  ,D 正确, 故选 D. 6.对  : 2 2 12 3 x y    ,当 2 (3 ) 0   ,即 0  或 3  时,曲线  表示双曲线,当 3   时, : 2 2 16 6 y x  表示等轴双曲线,因为无论  取何值,曲线方程均只含 2x , 2y 项与 常数项,因此 A,C,D 正确;当 1  时,  : 2 2 2x y  表示圆,B 错误,故选 B. 7.由题意,三个地点中有一处为 2 人,其余均为 1 人,先按人数进行分组,共有 2 4C 种分法, 再将三组人分别安排到三个地方,总共有 2 3 4 3C A 36 种安排方法,故选 C. 8.由 1 2 1n na a   ,可得 1 1 2( 1)n na a    ,令 1n nb a  ,则{ }nb 为以 1 1a  为首项,2 为 公 比 的 等 比 数 列 , 所 以 1 2n n nb a   , 则 8 6 4 8 6 4 21 1 1 1 1 2 2 2a a a a            22 1 341  ,故选 C. 9.如图 1,设截面为 ,设 BD AM O ,P 为 1DD 的靠近于 1D 的三等 分点,N为 1CC 的靠近于C的三等分点,由 1BD ∥ 可得平面 1BDD 与 的交线平行于 1BD , 所以  平面 1DBD OP ,又平面 与两平行平面 1 1AA D D , 1 1BB C C 的交线应互相平行, ∴  平面 1 1BB C C MN ,由 MN AP∥ 且 MN AP 可得截面 AMNP 为梯形,故选 B. 10.因为 2 2| | | i | 1z x y x y     ,所以 2 2 1x y  ,即 z 在复平面内表示圆 O: 2 2 1x y  上的点;又 2 2| 1 2i | | ( 1) ( 2)i | ( 1) ( 2)z x y x y          ,所以| 1 2i |z   表示圆 O 上的动点到定点 ( 1 2)A  , 的距离,所以 min| 1 2i |z   为| | 5 1OA r   ,故选 A. 11.因为 1 2 0x x  ,所以 2 21 2 1 1 2 22 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )f x f x x f x x f xx x    ,令 2 2( ) ( ) cosg x x f x x x  ,则 ( )g x 为 偶 函 数 . 当 π0 4x     , 时 , 2( ) 2 cos sin (2cos sin )g x x x x x x x x x     , 令 ( ) 2cosh x x  sinx x ,则 ( ) 3sin cosh x x x x    ,则 ( ) 0h x  在 π0 4      , 上恒成立,所 以 ( )h x 在 π0 4      , 上单调递减,又 π π 22 04 4 2h             ,所以 ( ) 0g x  在 π0 4x     , 上 恒成立,所以 ( )g x 在 π0 4      , 上单调递增 .再结合 ( )g x 为偶函数,从而当 1x , 2 π π0 04 4x           , , 且 1( )g x  2( )g x 时必有 1 2| | | |x x ,即 2 2 1 2x x 故选 D. 12.如图 2,延长 2PO 交 AB 于点 M,则 M 为 AB 的中点,且由 PA PB 可 得 PM AB .又 1PO AB ,所以 AB  平面 1PMO ,所以 1MO AB . 所以二面角 P AB C  的平面角即为 1PMO ,又 1O 为 ABC△ 的垂心,所以点 C 在 1MO 的 延 长 线 上 . 因 为 1 1cos 3PMO  , 所 以 1sin PMO  2 2 3 , 1tan 2 2PMO  . 又 1 2 2PO  ,所以 3PM  , 1 1MO  .又 2O 为△PAB 的重心,所以 2 1 13MO PM  .设 图 2 图 1 MC x ,在△PMC 中,利用余弦定理,可得 29 2 12x x   ,所以 3MC x  .再在 2O MC△ 中,利用余弦定理,可得 2 2 2CO  ,故选 A. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 13 14 15 16 答案 0.8 5 2 5 9 【解析】 13.因为 ( 1) 0.8P X   , ( 0) 0.2P X   ,所以 ( ) 0.8 1 0 0.8E X     . 14.因为 1 10 10 5 6 10( ) 5( ) 02 a aS a a    ,所以 5 6 0a a  .又 1 11 11 6 11( ) 11 02 a aS a   , 所以 6 0a  ,所以 6 5 0 0 a a    , ,所以使得 0na  成立的最大整数 n 为 5. 15.如图 3,设焦点 F 关于直线 3 3y x 的对称点为 P,C 的左焦点 为 F ,PF 与直线 3 3y x 的交点为 Q,则由 Q,O 分别为 PF, FF 的中点,可得 OQ PF∥ ,所以 90F PF OQF     ,则 OP OF , 又 3tan 3QOF  , 所 以 30QOF   , 则 60POF   .又因为 P 在渐近线上,所以 tan 3 bPOF a    ,所以 2 1 2be a       . 16.方法一:不妨设△ABC 的外接圆半径为 5.如图 4,取点 (3 0)B , , ( 3 0)C  , , (0 9)Q , ,并作△BQC 的外接圆 P⊙ ,则点 P 为 (0 4), 则此时 BQC OPC   且 4cos 5OPC  ,所以 4cos 5A  当且 仅当点 A 是优弧 BC 上除 B,C 以外的点.当△ABC 为锐角三 角形时,过点 P 作 B C BC ∥ ,其中 B C  分别交 AB,AC 于点 B, C ,AP 的延长线交 BC 于点 R.设 AP x AB y AC       ,则由 B ,P, C 共线,可得 1x y   . 设 | | | | | | | | | | | | AB AC AP kAB AC AR     , 则 AP x AB y AC x k AB           y k AC xAB yAC     ,所以 x x k , y y k , ( )x y k x y k     ,所以为使 k 取最大 图 3 图 4 值,只需使 | | | | AP AR 最大.过 A 作 x 轴的垂线交 B C  ,BC 分别于点 M,N,则 | | | |=| | | | AP AM AR AN , 又 | | | | | | | | | | AM AM AN AM MN   1 | |1 | | MN AM   ,所以当| | 5AM r  时, max | | 1 5 4| | 91 5 AP AR    . 方 法 二 : 作 出 △ ABC 的 外 接 圆 , 则 由 AP xAB yAC    可 得 ( )AP x AP PB     ( )y AP PC  ,所以 (1 ) (*)x y AP xPB yPC      ,则1 0 1x y x y      ,设外接圆 的半径为 R,则对 (*) 两边平方可得 2 2 2 2 2 2 2(1 ) 2 cosx y R x R xyR BPC y R      .又 2 7cos 2cos 1 25BPC A    ,所以上式整理可得 36 2 2 125 xy x y   .因为 0x  , 0y  , 所以由均值不等式可得 2( ) 4 x yxy ≤ .令 t x y  ,则 29 50 25 0t t  ≥ ,解得 5t≥ (舍去) 或 5 9t≤ ,其中“  ”成立当且仅当 x y ,所以 max 5( ) 9x y  . 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 解:(1)∵ OM MB ,又 C 为 OB 的中点, ∴ | || | | | 22 OBMC OC   . 又| | | |OM MC ,∴△OMC 为边长为 2 的等边三角形, ∴ (1 3)M , , 3A  . 又 2π 2π π 4 2T     , ∴ π( ) 3sin 2f x x . ………………………………………………………(6 分) (2) π π π( ) 3sin ( 1) 3sin4 4 4g x x x            , 令 π π π 3π2 π 2 π( )2 4 4 2k x k k   Z≤ ≤ , 得1 8 5 8 ( )k x k k   Z≤ ≤ , ∴ ( )g x 在 R 上的单调减区间为[1 8 5 8 ]( )k k k   Z, . ……………………………………………(12 分) 18.(本小题满分 12 分) 解:(1)由题图甲可得 A,C,D 各含标本数量为 5,15,10. 设 P 为两个标本来源于不同采样地的概率, 则 1 1 1 1 1 1 5 15 5 10 15 10 2 30 C C C C C C 5 15 5 10 15 10 55 30 29C 87 2 P          . ………………………………………………………(6 分) (2)由表格数据可得, 5 1 5 222 1 5 5008.5 5 972 29.7 3.33600 5 27 95 i i i i i x y x y b x x               , ∴  36 3.3 27 125.1a y bx      , ∴y 与 x 的线性回归方程是  3.3 125.1y x   , ∴当 30x  时,  26.1y  ,即纬度为 30 度时,大绒鼠的平均体长为 26.1 厘米. ……………………………………………………(12 分) 19.(本小题满分 12 分) 解:(1)设抛物线的方程为 2 2 ( 0)y px p  , ∵点 A 在抛物线上,∴ 0 0 24 2 px x p    , ∴点 A 到准线的距离为 2 0 2 5 5 4 02 2 2 p px p pp         , 解得 4p  (舍)或 1, ∴C: 2 2y x , (2 2)A , . …………………………………………………(4 分) (2)设 MN: 1x my  ,代入抛物线的方程可得 2 2 2 0y my   , 设 1 1( )M x y, , 2 2( )N x y, , 则 1 2 1 2 2 2 y y m y y      , , ∴ 2 2 2 2 1 2 1 2| | 1 ( ) 4 2 (1 )( 2)MN m y y y y m m       . 又∵ PQ MN , ∴PQ: 1 1x ym    , ∴ 2 2 1 1| | 2 1 2PQ m m          , ∴ 2 2 2 2 1 1 1| || | 2 (1 )( 2) 1 22MNPQS MN PQ m m m m            四边形 2 2 2 2 1 12 (1 ) 1 ( 2) 2m mm m               2 2 2 2 1 22 2 5 2m mm m      . ∵ 2 2 1 2m m  ≥ ,其中“  ”成立当且仅当 2 1m  , ∴ 2 4 9 12MNPQS  四边形 ≥ , ∴当 1m   时, MNPQS四边形 取得最小值为 12. ………………………………(12 分) 20.(本小题满分 12 分) (1)证明:如图 5,连接 PO,OQ,PQ, ∵ PB PD ,O 为 BD 的中点,∴ PO DB . 同理, QO DB ,又 PO OQ O ,PO, OQ  平面 POQ, ∴ BD  平面 POQ. 又 BD  平面 ABCD, ∴平面 POQ  平面 ABCD. ……………………………… (2)解:(法一:建系法)如图 6,分别过 P, Q 作平面 ABCD 的垂线,垂足分别为 1O , 2O , 则 1O , 2O 在 AC 上,且 1O , 2O 分别为 AO,OC 的三 等分点,且 1PO 2QO , 1 1 2PO OO , ∴四边形 1 2PO O Q 为矩形, ∴ PQ AC∥ . 且 1 2 1 22 3 3PQ O O AO AO    , ∴ 3 3 4 3 2 32 2 3MA MC AP     . ∴ MO AC⊥ ,由(1)得 MO,OB,OC 两两垂直. 图 5 图 6 又 32 3 32AO    , ∴ 2 2 3MO MA AO   . 如图,以 O 为原点,分别以 OB,OC,OM 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则 (0 3 0)A , , , ( 3 0 0)B , , , (0 3 0)C , , , (0 0 3)M , , , ∴ ( 3 3 0)AB  , , , ( 3 0 3)MB   , , , ( 3 3 0)BC   , , . 设 1 1 1( )x y z  , , , 2 2 2( )x y z  , , 分别为平面 AMB 与平面 MBC 的法向量, 则 1 1 1 1 3 3 0 ( 3 1 3) 3 3 0 x y x z          , , , , 2 2 2 2 3 3 0 ( 3 1 3) 3 3 0 x y x z         , ,, . 设 为二面角 A MB C  的平面角, 由于 ,  均指向半平面的外部, ∴ 5cos cos 7| || |                   , . ………………………………………………………(12 分) (2)(法二:定义法)分别过 P,Q 作平面 ABCD 的垂线,垂足分别为 1O , 2O , 则 1O , 2O 在 AC 上,且 1O , 2O 分别为 AO,OC 的三等分点, 且 1PO 2QO , 1 1 2PO OO , ∴四边形 1 2PO O Q 为矩形, ∴ PQ AC∥ . 且 1 2 1 22 3 3PQ O O AO AO    , ∴ 3 3 4 3 2 32 2 3MA MC AP     , ∴ MA AB BC CM   . 取 MB 的中点 E,则 AE MB , CE MB , ∴ AEC 为二面角 A MB C  的平面角. 又 32 3 32AO    , ∴ 2 2 3MO MA AO   . 又 3OB  ,∴ 2 2 6MB OB OM   , ∴ 2 2 2 6 4212 2 2AE AM ME CE           . 又 2 6AC AO  , 2 2 2 42 36 52cos 422 7 2 AE EC ACAEC AE EC        . ……………………………………………(12 分) 21.(本小题满分 12 分) 解:(1)∵ 1 1 ln( ) (2 ln ) 2 2 xf x x x xx x       , ∴当 (0 1)x , 时, ( ) 0f x  , ( )f x 单调递增; 当 (1 )x  , 时, ( ) 0f x  , ( )f x 单调递减, ∴ max( ) (1) 2f x f  ,且 ( )f x 无最小值. …………………………………………………(4 分) (2) ( ) (2 ln ) 3g x x x ax    , 令 t x ,则 2x t , ∴ (2 ln ) 3x x ax    22 2 ln 3t t t at   . 令 2( ) 2 2 ln 3t t t t at     , ∵函数 t x 是 (0 ) , 上的单调递增函数, ∴由复合函数的单调性可知, ( )g x 存在极大值 ( )t 存在极大值, 且 ( )g x 取到极大值 0( ) ( )g x t 取到极大值 0( )t , 其中 0 0t x ,且 0 0( ) ( )g x t . ∵ ( ) 2 2ln 2 2 2ln 2t t at t at        , ∴ 2 2 2( ) 2 att at t        , ∴ 10t a     , 时, ( ) 0t  , ( )t 单调递减; 1t a       , 时, ( ) 0t  , ( )t 单调递增, ∴ min 1( ) 2ln 2 2(ln 1)t a aa            . ①当 1 ea≥ 时, 1 0a      ≥ ,则 ( ) 0t ≥ 在 (0 ) , 上恒成立, ∴ ( )t 在 (0 ) , 上单调递增,则 ( )t 无极值点; ②当 10 ea  时, 1 ea  ,取 11 a  , 1e a  , 有 (1) 2 0a   , (e) 2 2 e 2 2 0a        , ∴ ( )t 在 (1 e), 上有唯一零点,设为 0t ,且 0(1 )t t , 时, ( ) 0t  , 0(1 )t t , 时, ( ) 0t  , ∴当 10 ea  时, ( )t 在 (0 ) , 上有唯一的极大值点 0( )t . ………………………………………………(8 分) ∵ 0 0 0( ) 2ln 2 0t t at     , ∴ 0 0lnt at , ∴ 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( ) 2 2 ln 3 2 2 ln ln 3t t t t at t t t t t          0 0 02 ln 3t t t  , 令 ( ) 2 ln 3m t t t t   , 则 ( ) 2 ln 1 ln 1m t t t       , ∴ ( )m t 在 (0 e), 上单调递增. 又 (e) 2e e 3 e 3 0m       , ∴ 0( ) 0t  , 即 ( )t 的极大值小于 0, 综上,有 10 ea  时, ( )g x 存在极大值,且此时 ( )g x 的极大值小于 0. ………………………………………………………(12 分) 22.(本小题满分 10 分)【选修 4−4:坐标系与参数方程】 解:(1)由条件可得 cos 1x   , siny  , 又 2 2cos sin 1   ,∴ 2 2( 1) 1x y   , 即 2 2 2 0x y x   为曲线 C 的普通方程, 将 2 2 2 cos sin x y x y             , , , 代入 C 的普通方程,可得 2 2 cos 0    , 即 2cos  为曲线 C 的极坐标方程. …………………………………………………(5 分) (2)将 1  分别代入曲线 C 与直线 l 的极坐标方程, 可得 1| | 2cosAOA    , 1 1 1 1 1| | π 2(sin cos )2sin 4 BOB            , ∴ 1 11 1 2cos 1| | | | 2 tan 12(sin cos ) OA OB       . 又 1 π π 4 3      , , ∴ 1tan (1 3)  , , ∴ 6 2 2| | | | 2 2OA OB       , . ………………………………………………………………(10 分) 23.(本小题满分 10 分)【选修 4−5:不等式选讲】 (1)解:若 1c  ,则 2a b  , 2b a  , ∴ ( ) | | | 2 | | | | 4 2 |f x x a x b x a x a         , 由绝对值三角不等式可得, ( ) | ( ) ( 4 2 ) | | 4 3 |f x x a x a a     ≥ , 其中“  ”成立当且仅当 ( )( 4 2 ) 0x a x a   ≤ , ∴ min( ) | 4 3 |f x a  , ∴ ( ) | | | 2 | 2 | 4 3 | 2f x x a x b a     ≥ ≥ , ∴ 4 3 2a ≥ 或 4 3 2a ≤ ,即 2 3a≤ 或 2a ≥ . ………………………(5 分) (2)证明:∵ 2 2 2a b ab ≥ , 2 2 2b c bc ≥ 2 2 2c a ca ≥ , ∴ 2 2 22( ) 2( )a b c ab bc ca   ≥ , ∴ 2 2 2a b c ab bc ca   ≥ , 2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab bc ca        ≥ 3( )ab bc ca  , ∴ 2( ) 33 a b cab bc ca    ≤ , 其中“  ”当且仅当 1a b c   . ………………………………………………(10 分)