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- 2021-06-15 发布
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西南名校联盟 2021 届高三上学期 12 月高考适应性月考卷(五)
理科数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 A={x||x|≤1,x∈Z},则满足条件 BÜA 的集合 B 的个数为
A.3 B.4 C.7 D.8
2.已知函数
1
2( )f x x
,则下列说法正确的是
A.f(x)的图象恒在 x 轴上方 B.f(x)的图象经过原点
C.f(x)是 R 上的减函数 D.f(x)是偶函数
3.已知如图的程序框图,则当输出的 y 的值为 8 时,输入的 x 的值为
A.-3,3,-1B.-1,-3C.-3D.-1
4.若 a
,b
, c
均为单位向量,且 a b , 1
3c a kb (k>0),则 k 的取值是
A. 1
3 B. 2
3 C. 6
3 D. 2 2
3
5.已知定义域为 R 的函数 f(x)的导函数图象如图,则关于以下函数值的大小关系,一定
正确的是
A.f(a)>f(b)>f(0) B.f(0)<f(c)<f(d)
C.f(b)<f(0)<f(c) D.f(c)<f(d)<f(e)
6.已知曲线Γ:
2 2
12 3
x y
,则以下判断错误的是
A.λ<0 或λ>3 时,曲线Γ一定表示双曲线 B.0<λ<3 时,曲线Γ一定表示椭圆
C.当λ=-3 时,曲线Γ表示等轴双曲线 D.曲线Γ不能表示抛物线
7.4 名同学准备利用周末时间到敬老院、福利院、儿童医院三地进行志愿者活动,若要求
每个地方至少有一名同学,则不同的安排方法共有
A.72 种 B.64 种 C.36 种 D.24 种
8.九连环是我国民间的一种益智玩具,它蕴含着丰富的数学奥秘.假设从套环与套框完全
分离的状态出发,需经过 an 步演变,出现只穿有第 n 环的状态,则 an+1=2an+1,且 a1=1.则
从套环与套框完全分离的状态到套环均在套框上的状态,总共需要的演变步数为 a8+1+a6
+1+a4+1+a2+1+1=
A.345 B.344 C.341 D.340
9.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M 为棱 BC 的中点,用平行于体对角线 BD1 且
过点 A,M 的平面去截正方体 ABCD-A1B1C1D1,得到的截面的形状是
A.平行四边形 B.梯形 C.五边形 D.以上都不对
10.已知复数 z 满足|z|=1,则|z+1-2i|的最小值为
A. 5 1 B. 5 C.3 D.2
11.已知函数 f(x)=cosx,若 x1, 2 ( ,0) (0, )4 4x 时,有 1 2
2 2
2 1
( ) ( )f x f x
x x
,则
A.x1>x2 B.x1<x2C. 2 2
1 2x x D. 2 2
1 2x x
12.已知在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB,
△
ABC 为锐角三角形,且点 P 在平面 ABC 上的投
影 O1 为
△
ABC 的垂心,O2 为
△
PAB 的重心.若二面角 P-AB-C 的余弦值为 1
3
,且 1 2 2PO ,
2 3PC ,则 CO2=
A. 2 2 B. 2 2
3 C.3 D.1
二、填空题(本大题共 4 小题)
13.已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的 4 倍,设随机变量 X 为他投篮一
次命中的个数,则 X 的期望是________.
14.在等差数列{an}中,a1=10,令 Sn 为{an}的前 n 项和,若 S10S11<0,则使得 an>0 成立
的最大整数 n 为________.
15.已知双曲线 C:
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0),若其右焦点 F 关于直线 3
3y x 的对称点
在双曲线 C 的一条渐近线上,则双曲线 C 的离心率为________.
16.在锐角
△
ABC 中, 4cos 5A ,若点 P 为
△
ABC 的外心,且 AP xAB yAC ,则 x+y
的最大值为________.
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.如图为函数 f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)在一个周期内的图象,其中点 M 是图象的
最高点,B,C 为图象与 x 轴的交点,且 OM⊥MB,点 B 为(4,0).
(1)求函数 f(x)的表达式;
(2)若将 y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将图象向
左平移 1 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在 R 上的单调减区间.
18.2021 年《联合国气候变化框架公约》第十五次缔约方会议(COP15)将在云南昆明举
行,大会的主题为“生态文明:共建地球生物共同体”.大绒鼠是中国的特有濒危物种,仅分
布在湖北、四川、云南等地.某校同学为探究大绒鼠的形态学指标与纬度、海拔和年平均温
度的关系,从德钦、香格里拉、丽江、剑川、哀牢山五个采样点收集了 50 只大绒鼠标本.
(1)将五个采样地分别记作 A,B,C,D,E,各个采样地所含标本数量占总标本数量的
百分比如图甲所示.若先从来自于 A,C,D 的标本中随机选出两个进行研究,求这两个标
本来源于不同采样地的概率;
(2)为研究大绒鼠体长与纬度的变化关系,收集数据后绘制了如图乙的散点图.由散点图
可看出体长 y 与纬度 x 存在线性相关关系,请根据下列统计量的值,求出 y 与 x 的线性回归
方程,并以此估计纬度为 30 度时,大绒鼠的平均体长.
x y x y 2
x
5
1
i i
i
x y
5
2
1
i
i
x
27 36 972 729 5008.5 3600
参考公式:回归方程 ˆˆ ˆy a bx 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 1
2
1
( )( )
ˆ
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
,
ˆˆa y bx .
19.已知曲线 C 是顶点为坐标原点 O,且开口向右的抛物线,曲线 C 上一点 A(x0,2)到
准线的距离为 5
2
,且焦点到准线的距离小于 4.
(1)求抛物线 C 的方程与点 A 的坐标;
(2)若 MN,PQ 是过点(1,0)且互相垂直的 C 的弦,求四边形 MPNQ 的面积的最小值.
20.如图甲,三棱锥 P-ABD,Q-BCD 均为底面边长为 2 3 、侧棱长为 4 3
3
的正棱锥,且四
边形 ABCD 是边长为 2 3 的菱形(点 P,Q 在平面 ABCD 的同侧),AC,BD 交于点 O.
(1)证明:平面 PQO⊥平面 ABCD;
(2)如图乙,设 AP,CQ 的延长线交于点 M,求二面角 A-MB-C 的余弦值.
21.已知 ( ) (2 ln )f x x x ,g(x)=f(x)+ax-3,其中 a∈(0,+∞).
(1)判断 f(x)的单调性并求其最值;
(2)若 g(x)存在极大值,求 a 的取值范围,并证明此时 g(x)的极大值小于 0.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.【选修 4-4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程为 cos 1,
sin ,
x
y
(θ为参数).若以原点 O 为
极点,以 x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为
2 sin( ) 14
.
(1)求出曲线 C 的极坐标方程;
(2)若射线θ=θ1 与曲线 C、直线 l 分别交于 A,B 两点,当 1 ( , )4 3
时,求|OA|·|OB|的
取值范围.
23.【选修 4-5:不等式选讲】
已知 a+b+c=3.
(1)若 c=1,且 f(x)=|x-a|+|x-2b|≥2 恒成立,求 a 的取值范围;
(2)证明:ab+bc+ca≤3.
西南名校联盟 2021 届高三上学期 12 月高考适应性月考卷(五)
理科数学参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A C D D B C C B A D A
【解析】
1.因为 { 1 0 1}A , , ,所以满足条件 B AÜ 的集合 B 的个数为 32 1 7 ,故选 C.
2.
1
2 1( )f x x
x
, ( )f x 的定义域为 (0 ) , ,因此 B,C,D 错误;又 ( ) 0f x ,所以 ( )f x
的图象恒在 x 轴上方,A 正确,故选 A.
3.该程序框图对应的分段函数 2
9 0
1 0
x x
y
x x
, ,
, ,≤
当 8y 时, 0
9 8
x
x
, 或 2
0
1 8
x
x
≤ ,
,
解得
3x ,故选 C.
4.因为 c
为单位向量,所以
2
2 2 22 21 1 2 1 13 9 3 9c a kb a ka b k b k
,又 0k ,所
以 2 2
3k ,故选 D.
5.由 ( )f x 的导函数图象可知, ( )f x 在 ( )a b, , ( )c e, 上单调递增,在 ( )b c, 上单调递减,
所以 ( ) ( )f a f b ,A 错误; ( ) (0) ( )f b f f c ,B,C 错误; ( ) ( ) ( )f c f d f e ,D 正确,
故选 D.
6.对 :
2 2
12 3
x y
,当 2 (3 ) 0 ,即 0 或 3 时,曲线 表示双曲线,当 3
时, :
2 2
16 6
y x 表示等轴双曲线,因为无论 取何值,曲线方程均只含 2x , 2y 项与
常数项,因此 A,C,D 正确;当 1 时, : 2 2 2x y 表示圆,B 错误,故选 B.
7.由题意,三个地点中有一处为 2 人,其余均为 1 人,先按人数进行分组,共有 2
4C 种分法,
再将三组人分别安排到三个地方,总共有 2 3
4 3C A 36 种安排方法,故选 C.
8.由 1 2 1n na a ,可得 1 1 2( 1)n na a ,令 1n nb a ,则{ }nb 为以 1 1a 为首项,2 为
公 比 的 等 比 数 列 , 所 以 1 2n
n nb a , 则
8 6 4
8 6 4 21 1 1 1 1 2 2 2a a a a 22 1 341 ,故选 C.
9.如图 1,设截面为 ,设 BD AM O ,P 为 1DD 的靠近于 1D 的三等
分点,N为 1CC 的靠近于C的三等分点,由 1BD ∥ 可得平面 1BDD 与 的交线平行于 1BD ,
所以 平面 1DBD OP ,又平面 与两平行平面 1 1AA D D , 1 1BB C C 的交线应互相平行,
∴ 平面 1 1BB C C MN ,由 MN AP∥ 且 MN AP 可得截面 AMNP 为梯形,故选 B.
10.因为 2 2| | | i | 1z x y x y ,所以 2 2 1x y ,即 z 在复平面内表示圆 O: 2 2 1x y
上的点;又 2 2| 1 2i | | ( 1) ( 2)i | ( 1) ( 2)z x y x y ,所以| 1 2i |z 表示圆 O
上的动点到定点 ( 1 2)A , 的距离,所以 min| 1 2i |z 为| | 5 1OA r ,故选 A.
11.因为 1 2 0x x ,所以 2 21 2
1 1 2 22 2
2 1
( ) ( ) ( ) ( )f x f x x f x x f xx x
,令 2 2( ) ( ) cosg x x f x x x ,则
( )g x 为 偶 函 数 . 当 π0 4x
, 时 , 2( ) 2 cos sin (2cos sin )g x x x x x x x x x , 令
( ) 2cosh x x sinx x ,则 ( ) 3sin cosh x x x x ,则 ( ) 0h x 在 π0 4
, 上恒成立,所
以 ( )h x 在 π0 4
, 上单调递减,又 π π 22 04 4 2h
,所以 ( ) 0g x 在 π0 4x
, 上
恒成立,所以 ( )g x 在 π0 4
, 上单调递增 .再结合 ( )g x 为偶函数,从而当 1x ,
2
π π0 04 4x , , 且 1( )g x 2( )g x 时必有 1 2| | | |x x ,即 2 2
1 2x x
故选 D.
12.如图 2,延长 2PO 交 AB 于点 M,则 M 为 AB 的中点,且由 PA PB 可
得 PM AB .又 1PO AB ,所以 AB 平面 1PMO ,所以 1MO AB .
所以二面角 P AB C 的平面角即为 1PMO ,又 1O 为 ABC△ 的垂心,所以点 C 在 1MO 的
延 长 线 上 . 因 为 1
1cos 3PMO , 所 以 1sin PMO 2 2
3
, 1tan 2 2PMO . 又
1 2 2PO ,所以 3PM , 1 1MO .又 2O 为△PAB 的重心,所以 2
1 13MO PM .设
图 2
图 1
MC x ,在△PMC 中,利用余弦定理,可得 29 2 12x x ,所以 3MC x .再在
2O MC△ 中,利用余弦定理,可得 2 2 2CO ,故选 A.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
题号 13 14 15 16
答案 0.8 5 2 5
9
【解析】
13.因为 ( 1) 0.8P X , ( 0) 0.2P X ,所以 ( ) 0.8 1 0 0.8E X .
14.因为 1 10
10 5 6
10( ) 5( ) 02
a aS a a ,所以 5 6 0a a .又 1 11
11 6
11( ) 11 02
a aS a ,
所以 6 0a ,所以 6
5
0
0
a
a
,
,所以使得 0na 成立的最大整数 n 为 5.
15.如图 3,设焦点 F 关于直线 3
3y x 的对称点为 P,C 的左焦点
为 F ,PF 与直线 3
3y x 的交点为 Q,则由 Q,O 分别为 PF,
FF 的中点,可得 OQ PF∥ ,所以 90F PF OQF ,则
OP OF , 又 3tan 3QOF , 所 以 30QOF , 则
60POF .又因为 P 在渐近线上,所以 tan 3 bPOF a
,所以
2
1 2be a
.
16.方法一:不妨设△ABC 的外接圆半径为 5.如图 4,取点 (3 0)B , ,
( 3 0)C , , (0 9)Q , ,并作△BQC 的外接圆 P⊙ ,则点 P 为 (0 4),
则此时 BQC OPC 且 4cos 5OPC ,所以 4cos 5A 当且
仅当点 A 是优弧 BC 上除 B,C 以外的点.当△ABC 为锐角三
角形时,过点 P 作 B C BC ∥ ,其中 B C 分别交 AB,AC 于点 B,
C ,AP 的延长线交 BC 于点 R.设 AP x AB y AC ,则由 B ,P, C 共线,可得
1x y . 设 | | | | | |
| | | | | |
AB AC AP kAB AC AR
, 则 AP x AB y AC x k AB
y k AC xAB yAC ,所以 x x k , y y k , ( )x y k x y k ,所以为使 k 取最大
图 3
图 4
值,只需使 | |
| |
AP
AR
最大.过 A 作 x 轴的垂线交 B C ,BC 分别于点 M,N,则 | | | |=| | | |
AP AM
AR AN
,
又 | | | |
| | | | | |
AM AM
AN AM MN
1
| |1 | |
MN
AM
,所以当| | 5AM r 时,
max
| | 1 5
4| | 91 5
AP
AR
.
方 法 二 : 作 出 △ ABC 的 外 接 圆 , 则 由 AP xAB yAC 可 得 ( )AP x AP PB
( )y AP PC ,所以 (1 ) (*)x y AP xPB yPC ,则1 0 1x y x y ,设外接圆
的半径为 R,则对 (*) 两边平方可得 2 2 2 2 2 2 2(1 ) 2 cosx y R x R xyR BPC y R .又
2 7cos 2cos 1 25BPC A ,所以上式整理可得 36 2 2 125 xy x y .因为 0x , 0y ,
所以由均值不等式可得
2( )
4
x yxy ≤ .令 t x y ,则 29 50 25 0t t ≥ ,解得 5t≥ (舍去)
或 5
9t≤ ,其中“ ”成立当且仅当 x y ,所以 max
5( ) 9x y .
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 12 分)
解:(1)∵ OM MB ,又 C 为 OB 的中点,
∴ | || | | | 22
OBMC OC .
又| | | |OM MC ,∴△OMC 为边长为 2 的等边三角形,
∴ (1 3)M , , 3A .
又 2π 2π π
4 2T
,
∴ π( ) 3sin 2f x x . ………………………………………………………(6 分)
(2) π π π( ) 3sin ( 1) 3sin4 4 4g x x x
,
令 π π π 3π2 π 2 π( )2 4 4 2k x k k Z≤ ≤ ,
得1 8 5 8 ( )k x k k Z≤ ≤ ,
∴ ( )g x 在 R 上的单调减区间为[1 8 5 8 ]( )k k k Z, .
……………………………………………(12 分)
18.(本小题满分 12 分)
解:(1)由题图甲可得 A,C,D 各含标本数量为 5,15,10.
设 P 为两个标本来源于不同采样地的概率,
则
1 1 1 1 1 1
5 15 5 10 15 10
2
30
C C C C C C 5 15 5 10 15 10 55
30 29C 87
2
P .
………………………………………………………(6 分)
(2)由表格数据可得,
5
1
5 222
1
5 5008.5 5 972 29.7 3.33600 5 27 95
i i
i
i
i
x y x y
b
x x
,
∴ 36 3.3 27 125.1a y bx ,
∴y 与 x 的线性回归方程是 3.3 125.1y x ,
∴当 30x 时, 26.1y ,即纬度为 30 度时,大绒鼠的平均体长为 26.1 厘米.
……………………………………………………(12 分)
19.(本小题满分 12 分)
解:(1)设抛物线的方程为 2 2 ( 0)y px p ,
∵点 A 在抛物线上,∴ 0 0
24 2 px x p
,
∴点 A 到准线的距离为 2
0
2 5 5 4 02 2 2
p px p pp
,
解得 4p (舍)或 1,
∴C: 2 2y x , (2 2)A , . …………………………………………………(4 分)
(2)设 MN: 1x my ,代入抛物线的方程可得 2 2 2 0y my ,
设 1 1( )M x y, , 2 2( )N x y, ,
则 1 2
1 2
2
2
y y m
y y
,
,
∴ 2 2 2 2
1 2 1 2| | 1 ( ) 4 2 (1 )( 2)MN m y y y y m m .
又∵ PQ MN ,
∴PQ: 1 1x ym
,
∴ 2 2
1 1| | 2 1 2PQ m m
,
∴ 2 2
2 2
1 1 1| || | 2 (1 )( 2) 1 22MNPQS MN PQ m m m m
四边形
2 2
2 2
1 12 (1 ) 1 ( 2) 2m mm m
2 2
2 2
1 22 2 5 2m mm m
.
∵ 2
2
1 2m m
≥ ,其中“ ”成立当且仅当 2 1m ,
∴ 2 4 9 12MNPQS 四边形 ≥ ,
∴当 1m 时, MNPQS四边形 取得最小值为 12. ………………………………(12 分)
20.(本小题满分 12 分)
(1)证明:如图 5,连接 PO,OQ,PQ,
∵ PB PD ,O 为 BD 的中点,∴ PO DB .
同理, QO DB ,又 PO OQ O ,PO, OQ 平面 POQ,
∴ BD 平面 POQ.
又 BD 平面 ABCD,
∴平面 POQ 平面 ABCD. ………………………………
(2)解:(法一:建系法)如图 6,分别过 P,
Q 作平面 ABCD 的垂线,垂足分别为 1O , 2O ,
则 1O , 2O 在 AC 上,且 1O , 2O 分别为 AO,OC 的三
等分点,且 1PO 2QO , 1 1 2PO OO ,
∴四边形 1 2PO O Q 为矩形,
∴ PQ AC∥ .
且 1 2
1 22 3 3PQ O O AO AO ,
∴ 3 3 4 3 2 32 2 3MA MC AP .
∴ MO AC⊥ ,由(1)得 MO,OB,OC 两两垂直.
图 5
图 6
又 32 3 32AO ,
∴ 2 2 3MO MA AO .
如图,以 O 为原点,分别以 OB,OC,OM 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,
则 (0 3 0)A , , , ( 3 0 0)B , , , (0 3 0)C , , , (0 0 3)M , , ,
∴ ( 3 3 0)AB , , , ( 3 0 3)MB , , , ( 3 3 0)BC , , .
设 1 1 1( )x y z , , , 2 2 2( )x y z , , 分别为平面 AMB 与平面 MBC 的法向量,
则 1 1
1 1
3 3 0 ( 3 1 3)
3 3 0
x y
x z
, , , ,
2 2
2 2
3 3 0 ( 3 1 3)
3 3 0
x y
x z
, ,, .
设 为二面角 A MB C 的平面角,
由于 , 均指向半平面的外部,
∴ 5cos cos 7| || |
, .
………………………………………………………(12 分)
(2)(法二:定义法)分别过 P,Q 作平面 ABCD 的垂线,垂足分别为 1O , 2O ,
则 1O , 2O 在 AC 上,且 1O , 2O 分别为 AO,OC 的三等分点,
且 1PO 2QO , 1 1 2PO OO ,
∴四边形 1 2PO O Q 为矩形,
∴ PQ AC∥ .
且 1 2
1 22 3 3PQ O O AO AO ,
∴ 3 3 4 3 2 32 2 3MA MC AP ,
∴ MA AB BC CM .
取 MB 的中点 E,则 AE MB , CE MB ,
∴ AEC 为二面角 A MB C 的平面角.
又 32 3 32AO ,
∴ 2 2 3MO MA AO .
又 3OB ,∴ 2 2 6MB OB OM ,
∴
2
2 2 6 4212 2 2AE AM ME CE
.
又 2 6AC AO ,
2 2 2
42 36 52cos 422 7
2
AE EC ACAEC AE EC
.
……………………………………………(12 分)
21.(本小题满分 12 分)
解:(1)∵ 1 1 ln( ) (2 ln )
2 2
xf x x x xx x
,
∴当 (0 1)x , 时, ( ) 0f x , ( )f x 单调递增;
当 (1 )x , 时, ( ) 0f x , ( )f x 单调递减,
∴ max( ) (1) 2f x f ,且 ( )f x 无最小值.
…………………………………………………(4 分)
(2) ( ) (2 ln ) 3g x x x ax ,
令 t x ,则 2x t ,
∴ (2 ln ) 3x x ax 22 2 ln 3t t t at .
令 2( ) 2 2 ln 3t t t t at ,
∵函数 t x 是 (0 ) , 上的单调递增函数,
∴由复合函数的单调性可知, ( )g x 存在极大值 ( )t 存在极大值,
且 ( )g x 取到极大值 0( ) ( )g x t 取到极大值 0( )t ,
其中 0 0t x ,且 0 0( ) ( )g x t .
∵ ( ) 2 2ln 2 2 2ln 2t t at t at ,
∴ 2 2 2( ) 2 att at t
,
∴ 10t a
, 时, ( ) 0t , ( )t 单调递减;
1t a
, 时, ( ) 0t , ( )t 单调递增,
∴ min
1( ) 2ln 2 2(ln 1)t a aa
.
①当 1
ea≥ 时, 1 0a
≥ ,则 ( ) 0t ≥ 在 (0 ) , 上恒成立,
∴ ( )t 在 (0 ) , 上单调递增,则 ( )t 无极值点;
②当 10 ea 时, 1 ea
,取 11 a
, 1e a
,
有 (1) 2 0a , (e) 2 2 e 2 2 0a ,
∴ ( )t 在 (1 e), 上有唯一零点,设为 0t ,且 0(1 )t t , 时, ( ) 0t , 0(1 )t t , 时, ( ) 0t ,
∴当 10 ea 时, ( )t 在 (0 ) , 上有唯一的极大值点 0( )t .
………………………………………………(8 分)
∵ 0 0 0( ) 2ln 2 0t t at ,
∴ 0 0lnt at ,
∴ 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( ) 2 2 ln 3 2 2 ln ln 3t t t t at t t t t t 0 0 02 ln 3t t t ,
令 ( ) 2 ln 3m t t t t ,
则 ( ) 2 ln 1 ln 1m t t t ,
∴ ( )m t 在 (0 e), 上单调递增.
又 (e) 2e e 3 e 3 0m ,
∴ 0( ) 0t ,
即 ( )t 的极大值小于 0,
综上,有 10 ea 时, ( )g x 存在极大值,且此时 ( )g x 的极大值小于 0.
………………………………………………………(12 分)
22.(本小题满分 10 分)【选修 4−4:坐标系与参数方程】
解:(1)由条件可得 cos 1x , siny ,
又 2 2cos sin 1 ,∴ 2 2( 1) 1x y ,
即 2 2 2 0x y x 为曲线 C 的普通方程,
将
2 2 2
cos
sin
x
y
x y
,
,
,
代入 C 的普通方程,可得 2 2 cos 0 ,
即 2cos 为曲线 C 的极坐标方程.
…………………………………………………(5 分)
(2)将 1 分别代入曲线 C 与直线 l 的极坐标方程,
可得 1| | 2cosAOA ,
1 1
1
1 1| | π 2(sin cos )2sin 4
BOB
,
∴ 1
11 1
2cos 1| | | | 2 tan 12(sin cos )
OA OB
.
又 1
π π
4 3
, ,
∴ 1tan (1 3) , ,
∴ 6 2 2| | | | 2 2OA OB
, .
………………………………………………………………(10 分)
23.(本小题满分 10 分)【选修 4−5:不等式选讲】
(1)解:若 1c ,则 2a b , 2b a ,
∴ ( ) | | | 2 | | | | 4 2 |f x x a x b x a x a ,
由绝对值三角不等式可得, ( ) | ( ) ( 4 2 ) | | 4 3 |f x x a x a a ≥ ,
其中“ ”成立当且仅当 ( )( 4 2 ) 0x a x a ≤ ,
∴ min( ) | 4 3 |f x a ,
∴ ( ) | | | 2 | 2 | 4 3 | 2f x x a x b a ≥ ≥ ,
∴ 4 3 2a ≥ 或 4 3 2a ≤ ,即 2
3a≤ 或 2a ≥ . ………………………(5 分)
(2)证明:∵ 2 2 2a b ab ≥ ,
2 2 2b c bc ≥
2 2 2c a ca ≥ ,
∴ 2 2 22( ) 2( )a b c ab bc ca ≥ ,
∴ 2 2 2a b c ab bc ca ≥ ,
2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab bc ca ≥ 3( )ab bc ca ,
∴
2( ) 33
a b cab bc ca ≤ ,
其中“ ”当且仅当 1a b c .
………………………………………………(10 分)
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