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- 2021-06-15 发布
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第 1 页 共 25 页
2020 届重庆市巴蜀中学高考适应性月考卷(五) 数学(理)
试题
一、单选题
1.已知集合 2| 2 0A x x x ,集合 1| 12
x
B x
,则 A B ( )
A. ,0 B. 2, C. , 1 D. 0,
【答案】C
【解析】化简集合 A 和 B ,根据交集定义,即可求得 A B .
【详解】
2| 2 0A x x x
化简可得 , 1 2,A
根据指数函数 1
2
x
y
是减函数
1
2 1
x
,即
01 1
2 2
x
,故 0x
,0B
故 , 1A B
故选:C.
【点睛】
本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基
础题.
2.已知复数 1
2
iz i
(i 为虚数单位),则 z 对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】化简 1
2
iz i
,可得
1 21 1 3
2 2 2 5 5
i iiz ii i i
,即可求得 z 对应的点.
【详解】
第 2 页 共 25 页
1 21 1 3
2 2 2 5 5
i iiz ii i i
z 对应的点为 1 3,5 5
,故在第四象限
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应用复数
的运算法则化简是解答的关键,属于基础题.
3.已知实数 x , y 满足
1 0
2 0
2 2
x y
x y
y x
则 z x y 的最小值是( )
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合即可求得
z x y 的最小值.
【详解】
作出可行域,由 z x y ,得 y x z ,
当 y x z 与边界直线 2 0x y 重合时, z 取得最小值.
可取公共点 1 3,2 2
,可知 min
1 3 22 2z
故选:B.
【点睛】
本题考查线性规划的相关内容,解题关键是根据约束条件画出不等式组表示的平面区域,
数形结合解决问题,属于中档题.
4.命题 p : 2m ,命题 q:直线 1 12 0m x y m 与直线 2 3 0mx y m 垂直,
则 p 是 q成立的( )
第 3 页 共 25 页
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案.
【详解】
由直线 1 12 0m x y m 与直线 2 3 0mx y m 垂直
可得 ( 1) 2 0m m ,即 2 2 0m m ,解得 1m 或 2m .
故:由直线 1 12 0m x y m 与直线 2 3 0mx y m 垂直不能推出: 2m
命题 p 是命题 q不必要条件
由 2m 时直线分别是: 10 0x y , 3 0x y ,此时两条直线垂直.
故命题 p 能推出命题 q
命题 p 是命题 q充分条件
综上所述, p 是 q充分不必要条件.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法
是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.
5.已知 tan 2 ,则sin sin2
的值为( )
A. 2
5 B. 2
5
C. 2
5
D. 4
5
【答案】B
【解析】由 tan 2 ,可得 tan 2 ,根据诱导公式化简 sin sin2
,即可
求得答案.
【详解】
tan 2
tan 2
sin sin cos sin2
第 4 页 共 25 页
2 2 2
cos sin tan
cos sin 1 tan
2 2
1 4 5
故选:B.
【点睛】
本考查了由诱导公式求三角函数值,能熟练使用诱导公式是解本题关键,考察了计算能力,
属于基础题.
6.“辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法:夹在两个平行平面之间的几何体,
如果被平行于这两个平面的任何平面所截,截得的截面面积是截面高(不超过三次)的
多项式函数,那么这个几何体的体积,就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的
和乘以高的六分之一.即: 046
hV S S S ,式中 h , S , S , 0S 依次为几何体的高,下
底面积,上底面积,中截面面积.如图,现将曲线 2 0y x x 与直线 2y 及 y 轴围成的
封闭图形绕 y 轴旋转一周得到一个几何体.利用辛卜生公式可求得该几何体的体积
V ( )
A.
2
B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】根据“辛卜生公式”: 046
hV S S S ,根据旋转体特点,结合已知,即可求得
答案.
【详解】
根据辛卜生公式: 046
hV S S S
根据题意可知该几何体是由,曲线 2 0y x x 与直线 2y 及 y 轴围成的封闭图
形绕 y 轴旋转一周得到.
0S , 2
2 2S , 2
0 1S ,
根据辛卜生公式 2 2 0 4 26V
故选:C.
第 5 页 共 25 页
【点睛】
本题考查了求旋转体体积,解题的关键是能够理解辛卜生公式,考查了理解能力和计算能
力,属于基础题.
7.已知 f x 是 R 上的偶函数,当 0x 时,有 3f x f x ,当 0,3x
时, 2xf x ,则 1
2
log 192f
( )
A. 1
2 B. 1
3 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】利用偶函数 ( )f x 满足 3f x f x 求出函数的周期,然后化简
1
2
log 192f
,通过周期性和偶函数性质,即可求得答案.
【详解】
当 0x 时, 3f x f x ,
6f x f x ,故 ( )f x 最小正周期: 6T .
1 2
2
log 192 log 192f f
,
又 f x 为偶函数
故
2 2 2log 192 log 192 log 64 3f f f
2log 3
2 26 log 3 log 3 2 3f f
故选 D.
【点睛】
本题考查了函数的周期性,需要掌握 ( + ) ( )f m x f x 的周期为 m ,当所求的变量不在所
给的函数定义域内,利用函数的周期和奇偶性化简到定义域内,这是解此类型题的关键.
8.如图是一程序框图,则输出的 S 值为( )
第 6 页 共 25 页
A. 2022
2023 B. 1011
2013 C. 1010
2021 D. 2020
2021
【答案】C
【解析】由程序框图可得 1 1 1
1 3 3 5 2019 2021S ,根据数列的裂项求和,即
可得出答案.
【详解】
由程序框图可知:
1 1 1
1 3 3 5 2019 2021S
1 1 1 1 1 112 3 3 5 2019 2021
1 1 1 2020 101012 2021 2 2021 2021
故选:C.
【点睛】
本题考查数列的裂项求和,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题.
9.已知向量 2,0a
,向量 1, 3b
,向量 c
满足 3c a b
,则 c
r
的最大值为
( )
A. 2 3
3
B. 2 3 C. 3 D.3 3
【答案】D
【解析】设 ,c x y
, 2,0a
, 1, 3b
,则 3, 3c a b x y
,即可求得
223 3 3x y ,将 c
的起点放到坐标原点,则终点在以 3, 3 为圆心,半径 3
第 7 页 共 25 页
的圆上,即可求得 c
r
的最大值.
【详解】
设 ,c x y
, 2,0a
, 1, 3b
3, 3c a b x y
故 223 3 3c a b x y ,
即 223 3 3x y
将 c
的起点放到坐标原点,则终点在以 3, 3 为圆心,半径 3 的圆上.
c
r
的最大值即:圆心到原点的距离+半径,即 9 3 3 3 3 ,
故选:D.
【点睛】
本题主要考查向量的模的最值问题,根据向量模的几何意义,考查了分析能力和计算能力,
属于基础题型.
10.巴蜀中学作为一所中华名校,不仅是培养学生的摇篮,也是培养教师的摇篮,每一年都
有许多实习老师到巴蜀中学实习.现有甲乙等 4 位实习老师被分到高二年级的(1),(2),
(3)三个班级实习.要求每个班级至少有一名实习老师,每个实习老师只能到一个班级实
习,则甲不去高二(1)班,乙必须去高二(3)班实习的概率为( )
A. 7
36 B. 1
6 C. 2
9 D. 7
72
【答案】A
【解析】根据题意,基本事件数 2 3
4 3 36n C A ,甲去(3)班,有 2
2 2A 种,甲去(2)班,
有 2 1 1
2 2 2 5C C C 种,即可求得答案.
【详解】
根据题意基本事件数 2 3
4 3 36n C A
①甲去(3)班,有 2
2 2A 种,
②甲去(2)班,有 2 1 1
2 2 2 5C C C 种,
甲不去高二(1)班,乙必须去高二(3)班实习的概率为: 7
36P ,
故选:A.
【点睛】
第 8 页 共 25 页
本题考查排列组合的简单应用.在排列组合的过程中,一般我们要注意:特殊元素优先排,
相邻元素捆绑排这样一个原则.
11.已知抛物线 2 4x y 的焦点为 F ,过直线 2y x 上任一点引抛物线的两条切线,
切点为 A , B ,则点 F 到直线 AB 的距离( )
A.无最小值 B.无最大值
C.有最小值,最小值为 1 D.有最大值,最大值为 5
【答案】D
【解析】设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,可得 2
1 14x y , 2
2 24x y ,即可求得 A 为切点的切线方
程 1l 和以 B 为切点的切线方程 2l ,设过直线 2y x 上任一点为 0 0,P x y ,将
0 0,P x y 代入 1l 和 2l ,即可求得直线 AB 的方程,进而求得点 F 到直线 AB 的距离.
【详解】
设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,
可得 2
1 14x y , 2
2 24x y
以 A 为切点的切线方程为 1l : 1
1 12
xy y x x ,即 1
12
xy x y ——①
同理可得,以 B 为切点的切线方程为 2l : 2
22
xy x y ——②
设过直线 2y x 上任一点为 0 0,P x y
0 0,P x y 代入①②得
1
0 0 1
2
0 0 2
,2
,2
xy x y
xy x y
所以直线 AB 的方程为 0 02
xy x y ,即 0
02
xy x y ,
又 0 0 2y x ,即 0 1 22
xy x
AB 过定点 2,2P ,
当 PF AB 时, 0,1F 到l 的距离的最大值为: 2 22 0 1 2 5 .
当 AB 过点 F 时,距离的最小值为 0
故选:D.
【点睛】
第 9 页 共 25 页
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,本题涉及到轨迹方程的求法及
直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.
12.已知函数 222 1 3 1 2 2x xf x a a e a x e x 有 4 个不同的零点,
则实数 a 的取值范围为( )
A. 1 ,2 e
B. 1 1,2 2
e
C. 1 ,1 1,2 e
D. 1 1,1 1,2 2
e
【答案】D
【解析】因为 0f x ,故 222 1 3 1 2 2 0x xa a e a x e x ,化简
为: e 2 2 1 e 2 0x xa x a x ,即 2
ex
xa , 22 1 ex
xa ,构造函数
2
ex
xg x ,求其最值即可求得实数 a 的取值范围.
【详解】
由 0f x , 222 1 3 1 2 2 0x xa a e a x e x
得 e 2 2 1 e 2 0x xa x a x ,
可得: 2
ex
xa , 22 1 ex
xa ,
设 2
ex
xg x ,则 1
ex
xg x
,
当 0g x 时, 1x
当 <0g x 时, 1x
g x 在 , 1 上单调递增,在 1, 上单调递减,
故 2 0g , max 1 eg x g ,
当 2x , 0g x .
x , g x , x , 0g x .要使方程有 4 个不同的零点,
则
0 e
0 2 1 e
2 1
a
a
a a
,可得 1 1 e
2 2a , 1a ,
故选:D.
第 10 页 共 25 页
【点睛】
本题考查了函数零点问题,要将函数的求零点问题转化为求方程根的问题,就自变量取不
同范围进行讨论求解这是解题关键.
二、填空题
13.二项式 2
4
6 2x x
展开式中的常数项为______.
【答案】-32
【解析】写出二项式 2
4
6 2x x
展开通项公式: 46 2
1 4 2r rr r
rT C x x
,即可求得答
案.
【详解】
二项式 2
4
6 2x x
展开通项公式:
46 2 24 8
1 4 42 2r r rr r r r
rT C x x C x
当 3r 时, 324 8 3
4 42 2 32rr rC x C
二项式 2
4
6 2x x
展开式中的常数项为: 32 .
故答案为: 32 .
【点睛】
本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能
力和计算能力,属基础题.
14.已知函数 sin 2 cos 2 0 2f x x x ,将 f x 的图像向右平
移
12
个单位后得到的函数图像关于 y 轴对称,则 的值为______.
【答案】 5
12
【解析】将 sin 2 cos 2 0 2f x x x
化简可
得: 2 sin 2 4f x x , 将 f x 的图像向右平移
12
个单位后
第 11 页 共 25 页
得: 2 sin 2 12g x x ,根据 g x 图像关于 y 轴对称,即可求得答案.
【详解】
sin 2 cos 2 0 2f x x x
由辅助角公式可得: 2 sin 2 4f x x
将 f x 的图像向右平移
12
个单位后得: 2 sin 2 12g x x
2 sin 2 12g x x
图像关于 y 轴对称
12 2k k Z , 5
12k ,又 0 2
,
0k , 5
12
.
故答案为: 5
12
.
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换、及三角函数的图像变换和三角函数的性质的应用,其中
根据三角恒等变换的公式,化简得到函数的解析式,掌握三角函数的图像变换和三角函数
的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
15.已知双曲线C :
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a , 0b )的左,右焦点为 1F , 2F ,以 1 2F F 为直径的圆
与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点 P ,线段 2PF 与双曲线的交点 M 为 2PF 的中点,
则双曲线C 的离心率为______.
【答案】 5 1
【解析】因为以 1 2F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点 P ,故
2 2 2x y c
by xa
解得 ,
,
x a
y b
,求得 ,P a b ,由中点坐标公式解得 ,2 2
a c bM
,将其代入
2 2
2 2 1x y
a b
,即可求得双曲线C 的离心率.
【详解】
第 12 页 共 25 页
以 1 2F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点 P ,
2 2 2x y c
by xa
解得:
,
,
x a
y b
故 ,P a b ,
又 2 ,0F c ,
,2 2
a c bM
,代入双曲线方程
2 2
2 2 1x y
a b
可得: 2 22 4 0c ac a ,化简可得 2 2 4 0e e
1 5e ,又 1e ,
5 1e .
故答案为: 5 1 .
【点睛】
本题考查了求双曲线离心率的问题,解题关键双曲线的几何性质及离心率的求法,数形结
合是本题的关键,查分析能力和计算能力,属于中档题.
16.已知数列 na ,满足 *
11 2n nna n a n N , na 的前 n 项和为 nS ,对任意的
*nN ,当 5n 时,都有 5nS S ,则 5S 的取值范围为______.
【答案】 5,6
【解析】由 11 2n nna n a ,当 1n ,得 1 2a .由
1
1 2
1 2
1 2
n n
n n
na n a
n a na
可得
2 12n n na a a ,即可求得 na 为等差数列,结合当 5n 时,都有 5nS S ,即可求得 5S
的取值范围.
【详解】
由 11 2n nna n a ,
当 1n ,得 1 2a .
11 2n nna n a ——①
可得 1 21 2n nn a na ——②
由①②得: 2 12n n na a a ,故 na 为等差数列.
第 13 页 共 25 页
又 1 2 0a , 5S 最大,则 0d , 5 0a , 6 0a ,
即 2 4 0,
2 5 0
d
d
1 2
2 5d ,
又 5 10 10S d ,可得 5 5,6S
故答案为: 5,6 .
【点睛】
本题解题关键是根据已知条件判断出数量是等差数列,掌握数列单调性是解本题的关键,
考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
三、解答题
17.已知数列 na ,是一个等差数列,且 2 2a , 1 4 5a a ,数列 nb 是各项均为正数的
等比数列,且满足: 1
1
2b , 2 4
1
64b b .
(1)求数列 na 与 nb 的通项公式;
(2)求证: 1 1 2 2 2n na b a b a b .
【答案】(1) na n , 1
2
n
nb
(2)证明见解析
【解析】(1)因为 na 为等差数列,设公差为 d ,则 1
1 1
2,
3 5,
a d
a a d
即可求得首项和公
差,即可求得 na .因为 nb 为等比数列, 2
2 4 3
1
64b b b , 2
3 1
1
8b b q ,即可求得公比,
进而求得 nb .
(2)因为 na n , 1
2
n
nb
,所以
2 3 11 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2
n n
nT n n
,根据数列求和错位
相减法,即可求得 nT ,进而求得答案.
【详解】
(1) na 为等差数列,设公差为 d ,
1
1 1
2,
3 5,
a d
a a d
第 14 页 共 25 页
1 1,
1,
a
d
1 1na a n d n .
nb 为等比数列, 0nb ,设公比为 q,则 0q ,
2
2 4 3
1
64b b b , 2
3 1
1
8b b q ,
1
2q ,
11 1 1
2 2 2
n n
nb
.
(2)令 1 1 2 2 3 3n n nT a b a b a b a b ,
2 3 11 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2
n n
nT n n
——①
可得:
2 3 11 1 1 1 11 2 12 2 2 2 2
n n
nT n n
——②
由①-②
得:
2 3 1 1
1 112 21 1 1 1 1 1 1
12 2 2 2 2 2 21 2
n
n n n
nT n n
,
11 12 22 2
n n
nT n
.
故 1 1 2 2 2n na b a b a b .
【点睛】
本题考查求等差数列通项公式和数列求和.错位相减法求数列和,适用于通项公式为等差
的一次函数乘以等比的数列形式,考查了学生的计算能力,属于基础题型.
18.2019 年双十一落下帷幕,天猫交易额定格在 268(单位:十亿元)人民币(下同),再创新
高,比去年 218(十亿元)多了 50(十亿元),这些数字的背后,除了是消费者买买买的表现,更
是购物车里中国新消费的奇迹,为了研究历年销售额的变化趋势,一机构统计了 2010 年
到 2019 年天猫双十一的销售额数据 y (单位:十亿元).绘制如下表 1:
表 1
年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
编号 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
第 15 页 共 25 页
销售额
y 0.9 8.7 22.4 41 65 94 132.5 172.5 218 268
根据以上数据绘制散点图,如图所示.
(1)根据散点图判断, y a bx 与 2y cx d 哪一个适宜作为销售额 y 关于 x 的回归方
程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及下表中的数据,建立 y 关于 x 的回归方程,并预测 2020 年天猫双
十一销售额;(注:数据保留小数点后一位)
(3)把销售额超过 10(十亿元)的年份叫“畅销年”,把销售额超过 100(十亿元)的年份叫“狂
欢年”,从 2010 年到 2019 年这十年的“畅销年”中任取 3 个,求取到的“狂欢年”个数 的分
布列与期望.
参考数据: 2
i it x .
10
1
1020i
i
y
10
1
8088i i
i
x y
10
1
385i
i
t
10
2
1
25380i
i
t
10
1
67770i i
i
t y
2
1483t
参考公式:对于一组数据 1 1,u v , 2 2,u v ,…, ,n nu v ,其回归直线 v a u 的斜率和
截距的最小二乘估计公式分别为
1
22
1 1
1
1
n
i
n
i
u v nuv
u nu
, v u .
第 16 页 共 25 页
【答案】(1) 2y cx d 更适宜(2) 22.7 2.0y x ,预测 2020 年双十一的销售额
为 324.7 十亿元(3)答案见解析
【解析】(1)根据其图像的形状,即可得出答案.
(2)根据
10
1
10
2 2
1
10
10
i i
i
i
t y t y
b
t t
, a y bt $ $ ,即可求得 y 关于 x 的回归方程,即可预测 2020
年天猫双十一销售额;
(3)因为畅销年个数为8 ,狂欢年个数为 4 , 的可能取值为 0,1,2,3 ,分别求出
0P , 1P , 2P , 3P ,即可求得随机变量 X 的分布列和数学期望.
【详解】
(1)根据其图像的形状可知, 2y cx d 更适宜.
(2)
10
1
10
2 2
1
10 67770 10 38.5 102 28500 570 2.725380 14830 10550 21110
i i
i
i
t y t y
b
t t
,
102 2.7 38.5 2.0a y bt ,
22.7 2.0y x ,当 1x 时, 324.7y (十亿元),
预测 2020 年双十一的销售额为324.7 十亿元.
(3)畅销年个数为8 ,狂欢年个数为 4 , 的可能取值为 0,1,2,3
3
4
3
8
4 10 56 14
CP C
,
2 1
4 4
3
8
24 31 56 7
C CP C
,
2 1
4 4
3
8
24 32 56 7
C CP C
,
3
4
3
8
4 13 56 14
CP C
,
0 1 2 3
P 1
14
3
7
3
7
1
14
∴ 1 3 3 1 30 1 2 314 7 7 14 2E .
第 17 页 共 25 页
【点睛】
本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随
机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数
学期望,考查计算能力.
19.已知,在 ABC 中,内角 A , B ,C 的对边分别为
a ,b , c , sin cos ,sinp A C A
, cos sin , sinq C A C
,若 1 cos2
2
Bp q
.
(1)求角 B ;
(2)若 3b ,求 ABC 面积的最大值.
【答案】(1) 2
3B (2) 3 3
4
【解析】(1)因为
sin cos ,sinp A C A
, cos sin , sinq C A C
, 1 cos2
2
Bp q 可得:
2 2 2cos sin sin sin cosp q C A A C B
,根据正弦定理可得 2 2 2a c ac b ,即
可求得答案.
(2)由余弦定理: 2 2 2 2 cosb a c ac B , 2 29 3a c ac ac ,则 3ac ,根据三角
形面积公式即可求得答案.
【详解】
(1) sin cos ,sinp A C A
, cos sin , sinq C A C
, 1 cos2
2
Bp q
2 2 2cos sin sin sin cosp q C A A C B
,
可得: 2 2 21 sin sin sin sin 1 sinC A A C B ,
2 2 2sin sin sin sin sinA C A C B .
由正弦定理: 2 2 2a c ac b
故: 2 2 2 2 cosa c b ac ac B
1cos 2B ,
0 B ,
2
3B .
(2)由余弦定理: 2 2 2 2 cosb a c ac B ,
第 18 页 共 25 页
2 29 3a c ac ac ,
3ac ,当且仅当 a c 时, max 3ac ,
1 3 3 3sin2 4 4ABCS ac B ac .
ABC 面积的最大值为: 3 3
4
.
【点睛】
本题主要考查正弦定理,余弦定理解三角形和三角形面积公式,解题关键是利用正弦定理
sin sin sin
a b c
A B C
边化角,再利用和角的正弦公式化简所给式子,属于基础题.
20.已知椭圆C :
2 2
2 2 1x y
a b
0a b 的两个焦点为 1F , 2F ,焦距为 2 2 ,直线
l : 1y x 与椭圆C 相交于 A , B 两点,
3 1,4 4P
为弦 AB 的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线 l : y kx m 与椭圆C 相交于不同的两点 M , N , 0,Q m ,若
3OM ON OQ (O 为坐标原点),求 m 的取值范围.
【答案】(1)
2
2 13
x y (2) 1 13 m 或 11 3m
【解析】(1)因为 3 1,4 4P
为弦 AB 的中点,设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,将其代入
2 2
2 2 1x y
a b
利用点差法,即可求得答案.
(2)因为 M ,Q , N 三点共线, 1
3 3OQ OM ON
, 根据三点共线性质可
得: 1 13 3
,则 2 ,将直线l 和椭圆C 联立方程 2 2
,
3 3
y kx m
x y
消掉 y ,结合已知,利用
韦达定理即可求得答案.
【详解】
(1) 焦距为 2 2 ,则 2c ,
设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,
第 19 页 共 25 页
3 1,4 4P
为弦 AB 的中点,根据中点坐标公式可得: 1 2
3
2x x , 1 2
1
2y y ,
又 将其 1 1,A x y , 2 2,B x y 代入椭圆C :
2 2
2 2 1x y
a b
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2
2 2
b x a y a b
b x a y a b
将两式作差可得: 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 0b x x x x a y y y y ,
2 2
1 21 2
2 2
1 2 1 2
3 1AB
b x xy y bk x x a y y a
,
2 23a b= ——①.
2 22a cb ——②
由①②得:
2
2
3
1
a
b
椭圆的标准方程为
2
2 13
x y .
(2) M ,Q , N 三点共线, 1
3 3OQ OM ON
根据三点共线性质可得: 1 13 3
,则 2
设 1 1,M x y , 2 2,N x y ,则 1 2
1 2 03 3x x ,
1 22x x .
将直线 l 和椭圆C 联立方程 2 2
,
3 3
y kx m
x y
消掉 y .
可得: 2 2 21 3 6 3 3 0k x kmx m .
2 20 3 1 0k m ——①,
根据韦达定理: 1 2 2
6
1 3
kmx x k
,
2
1 2 2
3 3
1 3
mx x k
,
代入 1 22x x ,可得: 2 2
6
1 3
kmx k
,
2
2
2 2
3 32 1 3
mx k
,
2 2 2
2 22
36 3 32 1 31 3
k m m
kk
,即 2 2 29 1 3 1m k m .
第 20 页 共 25 页
29 1 0m , 2 1
9m ,
2
2
2
13 09 1
mk m
——②,
代入①式得
2
2
2
1 1 09 1
m mm
,即 2
2
2
1 1 09 1
m mm
,
2 2 21 9 1 0m m m ,
21 19 m 满足②式,
1 13 m 或 11 3m .
【点睛】
本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次
的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终
转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,
尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.
21.已知函数 lnf x x x .
(1)求 f x 的单调区间与极值;
(2)若不等式
2 3ln 032
2
xx x e
x
对任意 1,3x 恒成立,求正实数 的取
值范围.
【答案】(1)单减区间为 10, e
, f x 的单增区间为 1 ,e
, 1
ef x 极小值 ,无极
大值.(2) 1 27ln3 2
【解析】(1)因为 lnf x x x ,定义域为 0, ,则 1 lnf x x ,即可求得 f x 的
单调区间与极值;
(2)
2
2
3 eln 032
2
xxx x
x x
,故 2 3 02x x ,将其化简可得
2 23 3ln e2 2
xx x x x x , 2 3 e2
xf x x f ,由(1)知 f x 在
第 21 页 共 25 页
1 ,e
上单增, 2 3 e2
xx x ,
2 3ln 2x x
x
,即可求得正实数 的取值范围.
【详解】
(1) lnf x x x
1 lnf x x ,定义域为 0, ,
又 0f x , 1
ex , 0f x , 10 ex .
f x 的单减区间为 10, e
, f x 的单增区间为 1 ,e
1 1 1 1lne e e ef x f 极小值 ,无极大值.
(2)
2
2
3 eln 032
2
xxx x
x x
,故 2 3 02x x
将
2
2
3 eln 032
2
xxx x
x x
化简可得: 2 23 3ln e2 2
xx x x x x ,
2 3 e2
xf x x f .
2 3 22x x , 0e e 1x ,
由(1)知 f x 在 1 ,e
上单增,
2 3 e2
xx x ,
2 3ln 2x x x ,即
2 3ln 2x x
x
.
令
2 3ln 2x x
h x x
,
第 22 页 共 25 页
2
2
32 32 ln3 2
2
x
x x
x
h x x
令 2
32 32 ln3 2
2
x
k x x x
x
,
则
2
2
3 322 2
33
22
x
k x
x xx
3 321 2 2
3 3
2 2
x
xx x
2 92 31 4 03 3
2 2
x x
x x x
,
k x 在 1,3 上单减, 7 51 ln 05 2k , 5 273 ln 03 2k ,
0 1,3x , 0 0k x 且在 01, x 上, 0k x , 0h x , h x 单增,
在 0,3x 上, 0k x , 0h x , h x 单减.
3
min
27ln5 272min 1 , 3 , 1 ln , 3 ln2 3 2h x h h h h
1 3h h
1 27ln3 2
.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用
导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考查了转化与化归
思想、逻辑推理能力与计算能力.
22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 1C :
2 2cos ,
2sin ,
x
y
( 为参数),以原点O 为极点, x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2C : 2 4 sin 3 ,曲线 1C 与曲线 2C 相交于 M , N
两点.
(1)求曲线 2C 的直角坐标方程与直线 MN 的一般方;
(2)点 3 ,04P ,求 PM PN .
第 23 页 共 25 页
【答案】(1) 2C : 2 2 4 3x y y ,直线 MN : 4 4 3 0x y (2)11 2
4
【解析】(1)将曲线 1C :
2 2cos
2sin
x
y
化简为:
2 cos2
sin2
x
y
,根据 2 2sin cos 1
消参,即可得到 2C 的直角坐标方程,将 1C 和 2C 直角坐标方程作差,即可求得直线 MN 的
一般方程.
(2)将 MNl : 3
4y x 方程,改写成直线参数方程:
3 2
4 2
2
2
x t
y t
(t 为参数),将其
代入 1C ,即可求得 PM PN .
【详解】
(1) 1C : 2 22 4x y 即 2 24 0x x y . ——①
2C : 2 2 4 3x y y ——②
将①-②得: MNl : 4 4 3 0x y ,
曲线 2C 的直角坐标方程: 2 2 4 3x y y ,直线 MN 的一般方程
为: 4 4 3 0x y .
(2) MNl : 3
4y x ,
3 ,04P
在 MNl 上,
直线 MN 的参数方程为:
3 2
4 2
2
2
x t
y t
(t 为参数),
代入 1C : 2 22 4x y ,整理得 2 11 2 57 04 16t t ,
根据韦达定理: 1 2
11 2
4t t , 1 2
57
16t t ,
1 0t , 2 0t .
第 24 页 共 25 页
故: 1 2
11 2
4PM PN t t .
【点睛】
本题考查了极坐标和直角坐标方程.解题关键是掌握直线的标准参数方程,结合韦达定理
来求线段和,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于基础题.
23.已知函数 1 2 2f x x x a .
(1)若 1a ,求不等式 4f x 的解集;
(2)证明:对任意 xR , 2 2f x a a .
【答案】(1) 5, 1,3x (2)证明见解析
【解析】(1)当 1a 时, 1 2 2f x x x ,分别讨论 1x , 1 1x 和 1x 时
求解 4f x ,即可求得答案;
(2)因为 2 2 1f x x x a x a ,根据| | | | | | | | | |a b a b a b 即可求
得答案.
【详解】
(1)当 1a 时, 1 2 2f x x x
①当 1x 时, 1 2 2 4f x x x ,得 5
3x ;
②当 1 1x 时, 1 2 2 3 4f x x x x ,得 1x ,
∴ x
③当 1x 时, 1 2 2 3 1 4f x x x x ,得 1x ,
∴ 5, 1,3x .
(2) 2 2 1 2 1f x x x a x a x x a x a
2 1 2 1 2 2 2a x a a a a a .
对任意 xR , 2 2f x a a .
【点睛】
本题主要考查了含绝对值不等式的求解,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等
价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档
第 25 页 共 25 页
试题.
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