高等数学下册 chap2(导数与微分)2-1(导数概念) 34页

第二章 导数与微分 一、导数概念引例 三、函数可导性与连续性之间的关系 四、经济学中的变化率问题 二、导数的定义 第一节 导数概念 一、导数概念引例 例 1 变速直线运动的瞬时速度 一质点作直线运动 , 已知路程 s 与时间 t 的 试确定 t 0 时的 瞬时速度 v ( t 0 ). 这段时间内的 平均速度 在每个时刻的速度 . 解 若运动是 匀速的 , 平均速度就等于质点 关系 质点走过的路程 此式既是它的定义式 , 又指明了它的计算 它越近似的 定义为 并称之为 t 0 时的 瞬时速度 v ( t 0 ). 瞬时速度是路程对时间的变化率 . 若运动是 非匀速 的 , 平均速度 是这段 时间内运动快慢的平均值 , 越小 , 表明 t 0 时运动的快慢 . 因此 , 人们把 t 0 时的速度 注 方法 , 例 2 割线的极限位置 —— 对于一般曲线如何定义其切线呢 ? 曲线的切线斜率问题 若已知平面曲线 如何作过 的切线呢 . 初等数学中并没有给出曲线切线的定义 . 过该点的切线 . 我们知道与圆周有唯一交点的直线 即为圆周 但此定义不适应其它曲线 . 如 与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线 . 切线位置 . ? 曲线上点 法国 数学家费马在 1629 年提出了如下的定义和求法 , P.de Fermat 1601-1665 从而圆满地解决了这个问题 . 处切线的斜率 . 已知曲线的方程 确定点 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT , 极限位置即 C 在点 M 处的 切线 . 如图 , 割线 MN 的斜率为 切线 MT 的斜率为 就其实际意义来说各不相同 , 关系上确有如下的共性 : 但在数量 1. 在问题提法上 , 都是已知一个函数 求 y 关于 x 在 x 0 处的变化率 . 2. 计算方法上 , (1) 当 y 随 x 均匀变化时 , 用除法 . (2) 当变化是非均匀的时 , 需作平均变化率的 上述两例 , 分别属于运动学、几何学中的问题 , 极限运算 : 二、导数的定义 定义 函数 与自 平均变化率 . 中的任何一个表示 , 存在 , 如 平均变化率的极限 : 或 或有导数 . 可用下列记号 则称此极限值为 处不可导或导数不存在 . 特别当 (1) 式的极限为 有时也说在 x 0 处导数是正 ( 负 ) 无 注 要注意 导数定义可以写成多种形式 : 当极限 (1) 式不存在时 , 就说函数 f ( x ) 在 x 0 在利用导数的定义证题或计算时 , 正 ( 负 ) 无穷时 , 穷大 , 但这时 导数不存在 . 关于导数的说明 或 如果 x 0 = 0 , 可以写成 特别 是 , (1) 点导数是因变量在点 x 0 处的变化率 , 它反映了 因变量随自变量的变化而变化的快慢程度 . (2) 如果函数 y = f ( x ) 在开区间 I 内的每点处都可 导 , 就称函数 f ( x ) 在开区间 I 内可导 . 注 记作 即 或 (3) 对于任一 都对应着 f ( x ) 的一个确定的 导数值 . 这个函数叫做原来函数 f ( x ) 的 导函数 . 右导数 单侧导数 左导数 又分别可以解释为曲线 点的左切线的斜率与右切线的斜率 . 从几何上 处的可导性 . 此性质常用于判定 分段函数 在 分段点 如果 在开区间 内可导 , 都存在 , 例 解 求导举例 ( 几个基本初等函数的导数 ) 步 骤 即 例 解 即 同理可得 自己练习 例 解 更一般地 如 即 例 解 即 例 解 即 例 解 即 1. 几何意义 特别地 : 即 导数的几何意义与物理意义 例 解 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 由 导数的几何意义 , 即 即 2. 物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率 . 路程对时间的导数为物体的瞬时速度 ; 电量对时间的导数为电流强度 ; 为物体的线 ( 面 , 体 ) 密度 . 变速直线运动 交流电路 非均匀的物体 质量对长度 ( 面积 , 体积 ) 的导数 三、函数可导性与连续性之间的关系 该点必连续 . 证 定理 如果函数 则函数在 在点 x 处可导 , 即 函数极限与无穷小的关系 所以 , 如 , 该定理的逆定理不一定成立 . 注 连续是可导的必要条件 , 不是可导的充分条件 . 例 解 练习 为了使 f ( x ) 在 x 0 处可导 , 解 首先函数必须在 x 0 处连续 . 由于 故应有 又因 应如何选取 a,b ? 从而 , 当 f ( x ) 在 x 0 处可导 . 应如何选取 a,b ? 为了使 f ( x ) 在 x 0 处可导 , 四、经济学中的变化率问题 1 。经济学中的边际概念 在经济问题中经常把一个函数的导函数称为该函数 的边际函数。相应地，把导数值称为边际值。 例如，在某产品的生产中，它的成本函数是 ， 当产品数量从 增到 时，成本相应的增量为 而比值 表示所改变产量 的平均单位成本 令 ，平均单位成本的极限 表示当产量为 时，单位成本的近似值。经济上把 成本 对产量 的导数 称为边际成本 2 。经济学中的弹性概念 弹性是经济学中与导数密切相关的概念。它表示一个 经济量对另外一个经济量相对变化的灵敏程度 导数的实质 : 增量比的极限 ; 导数的几何意义 : 切线的斜率 ; 函数可导一定连续，但连续不一定可导 ; 求导数最基本的方法 : 由定义求导数 . 判断可导性 不连续 , 一定不可导 . 连续 直接用定义 ; 看左右导数是否存在且相等 . 六、小结 思考题 ( 是非题 ) 非 可导 ; 但 不可导 . 非 但 不可导 .