山东专用2021版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4讲函数的奇偶性与周期性课件 47页

第二章 函数、导数及其应用 第四讲　函数的奇偶性与周期性 1 　　知识梳理 • 双基自测 2 　 　 考点突破 • 互动探究 3 　 　 名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 知识点一　函数的奇偶性 f ( － x ) ＝ f ( x ) 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x 都有 _____________________ ，那么函数 f ( x ) 是偶函数 都有 ______________________ ，那么函数 f ( x ) 是奇函数 图象特征 关于 ________ 对称 关于 ________ 对称 f ( － x ) ＝－ f ( x ) y 轴 原点 知识点二　函数的周期性 1 ． 周期函数 对于函数 y ＝ f ( x ) ，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 _______________ ，那么就称函数 y ＝ f ( x ) 为周期函数，称 T 为这个函数的周期． 2 ． 最小正周期 如果在周期函数 f ( x ) 的所有周期中存在一个 ______________ ，那么这个 ____________ 就叫做 f ( x ) 的最小正周期． f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) 最小的正数 最小正数 BCD 2 减 减 1 题组三　考题再现 5 ． (2019 · 全国卷 Ⅱ ， 5 分 ) 设 f ( x ) 为奇函数，且当 x ≥0 时， f ( x ) ＝ e x － 1 ，则当 x <0 时， f ( x ) ＝ ( 　　 ) A ． e － x － 1 B ． e － x ＋ 1 C ．－ e － x － 1 D ．－ e － x ＋ 1 [ 解析 ] 　 解法一：依题意得，当 x <0 时， f ( x ) ＝－ f ( － x ) ＝－ (e － x － 1) ＝－ e － x ＋ 1 ，选 D ． 解法二：依题意得， f ( － 1) ＝－ f (1) ＝－ (e 1 － 1) ＝ 1 － e ，结合选项知，选 D ． D 6 ． (2018 · 全国卷 Ⅱ ， 5 分 ) 已知 f ( x ) 是定义域为 ( －∞，＋∞ ) 的奇函数，满足 f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ) ．若 f (1) ＝ 2 ，则 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ … ＋ f (50) ＝ ( 　　 ) A ．－ 50 B ． 0 C ． 2 D ． 50 [ 解析 ] 　 解法一： ∵ f ( x ) 是定义域为 ( －∞，＋∞ ) 的奇函数， ∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，且 f (0) ＝ 0. ∵ f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ) ， ∴ f ( x ) ＝ f (2 － x ) ， f ( － x ) ＝ f (2 ＋ x ) ， ∴ f (2 ＋ x ) ＝－ f ( x ) ， ∴ f (4 ＋ x ) ＝－ f (2 ＋ x ) ＝ f ( x ) ， ∴ f ( x ) 是周期函数，且一个周期为 4 ， ∴ f (4) ＝ f (0) ＝ 0 ， f (2) ＝ f (1 ＋ 1) ＝ f (1 － 1) ＝ f (0) ＝ 0 ， f (3) ＝ f (1 ＋ 2) ＝ f (1 － 2) ＝－ f (1) ＝－ 2 ， ∴ f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ f (4) ＋ … ＋ f (50) ＝ 12 × 0 ＋ f (49) ＋ f (50) ＝ f (1) ＋ f (2) ＝ 2 ，故选 C ． C 考点突破 • 互动探究 判断下列函数的奇偶性 考点一　函数的奇偶性 考向 1 　判断函数的奇偶性 —— 自主练透 例 1 (3) 函数的定义域 x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ ) ，关于原点对称． ∵ f ( － x ) ＝ | － x ＋ 1| － | － x － 1| ＝ | x － 1| － | x ＋ 1| ＝－ (| x ＋ 1| － | x － 1|) ＝－ f ( x ) ， ∴ f ( x ) ＝ | x ＋ 1| － | x － 1| 是奇函数． (4) 易知函数的定义域为 ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) ，关于原点对称，又当 x >0 时， f ( x ) ＝ x 2 ＋ x ，则当 x <0 时，－ x >0 ，故 f ( － x ) ＝ x 2 － x ＝ f ( x ) ； 当 x <0 时， f ( x ) ＝ x 2 － x ，则当 x >0 时，－ x <0 ， 故 f ( － x ) ＝ x 2 ＋ x ＝ f ( x ) ，故原函数是偶函数． 判断函数的奇偶性的方法 (1) 定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断 f ( － x ) 是否等于 f ( x ) 或－ f ( x ) ，据此得出结论． (2) 图象法：奇 ( 偶 ) 函数的充要条件是它的图象关于原点 ( 或 y 轴 ) 对称． (3) 性质法：偶函数的和、差、积、商 ( 分母不为零 ) 仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇 ( 偶 ) 数个奇函数的积、商 ( 分母不为零 ) 为奇 ( 偶 ) 函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． ( 注：利用上述结论时要注意各函数的定义域 ) B 例 2 考向 2 　函数的性质的综合应用 —— 多维探究 角度 1 　利用奇偶性求参数的值或取值范围 A 角度 2 　函数奇偶性与单调性结合 例 3 C A 例 4 角度 3 　函数奇偶性与周期性结合 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x － 4) ＝－ f ( x ) 且在区间 [0,2] 上是增函数，则 ( 　　 ) A ． f ( － 25)< f (11)< f (80) B ． f (80)< f (11)< f ( － 25) C ． f (11)< f (80)< f ( － 25) D ． f ( － 25)< f (80)< f (11) [ 分析 ] 　 角度 4 　单调性、奇偶性和周期性结合 D 例 5 [ 解析 ] 　 因为 f ( x ) 满足 f ( x － 4) ＝－ f ( x ) ， 所以 f ( x － 8) ＝ f ( x ) ，所以函数 f ( x ) 是以 8 为周期的周期函数，则 f ( － 25) ＝ f ( － 1) ， f (80) ＝ f (0) ， f (11) ＝ f (3) ． 由 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且满足 f ( x － 4) ＝－ f ( x ) ，得 f (11) ＝ f (3) ＝－ f ( － 1) ＝ f (1) ． 因为 f ( x ) 在区间 [0,2] 上是增函数 f ( x ) 在 R 上是奇函数， 所以 f ( x ) 在区间 [ － 2,2] 上是增函数， 所以 f ( － 1)< f (0)< f (1) ，即 f ( － 25)< f (80)< f (11). 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 1 ． 函数单调性与奇偶性结合．注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． 2 ．周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 3 ．周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解． 〔 变式训练 1〕 (1) ( 角度 1) (2019 · 北京 ， 13,5 分 ) 设函数 f ( x ) ＝ e x ＋ a e － x ( a 为常数 ) ．若 f ( x ) 为奇函数，则 a ＝ ________. (2) ( 角度 2) (2019 · 广东省广州市高三测试 ， 9) 若 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数， f ( － 3) ＝ 0 ，且在 (0 ，＋∞ ) 上是增函数，则 x · [ f ( x ) － f ( － x )]<0 的解集为 ( 　　 ) A ． { x | － 3< x <0 或 x >3} B ． { x | x < － 3 或 0< x <3} C ． { x | x < － 3 或 x >3} D ． { x | － 3< x <0 或 0< x <3} － 1 D D (4) ( 角度 4) (2020 · 湖北、山东部分重点中学第一次联考 ， 8) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋ 6) ＝ f ( x ) ，且 y ＝ f ( x ＋ 3) 为偶函数，若 f ( x ) 在 (0,3) 内单调递减，则下面结论正确的是 ( 　　 ) A ． f ( － 4.5)< f (3.5)< f (12.5) B ． f (3.5)< f ( － 4.5)< f (12.5) C ． f (12.5)< f (3.5)< f ( － 4.5) D ． f (3.5)< f (12.5)< f ( － 4.5) B [ 解析 ] 　 (1) ∵ f ( x ) ＝ e x ＋ a e － x 为奇函数， ∴ f ( － x ) ＋ f ( x ) ＝ 0 ， 即 e － x ＋ a e x ＋ e x ＋ a e － x ＝ 0 ， ∴ ( a ＋ 1)(e x ＋ e － x ) ＝ 0 ， ∴ a ＝－ 1. (2) 因为函数为奇函数，所以 x · [ f ( x ) － f ( － x )]<0 等价于 2 x · f ( x )<0 ，由题设知 f ( x ) 在 R 上是奇函数，且在 (0 ，＋∞ ) 上是增函数，又 f ( － 3) ＝ 0 ，所以 f (3) ＝ 0 ，且 f ( x ) 在 ( －∞， 0) 上是增函数，即 f ( x ) 在 ( －∞，－ 3) 上小于零，在 ( － 3 ， 0) 上大于零，在 (0,3) 上小于零，在 (3 ，＋∞ ) 上大于零．又 x · [ f ( x ) － f ( － x )]<0 ，所以 x 与 f ( x ) 的符号相反，由 x >0 可得 x ∈ (0,3) ；由 x <0 可得 x ∈ ( － 3,0) ，所以 x · [ f ( x ) － f ( － x )]<0 的解集是 { x | － 3< x <0 或 0< x <3} ，故选 D ． 例 6 考点二　函数的周期性 —— 自主练透 0 － 2( x ＋ 4)( x ＋ 3) 2×(2 020 － x )( x － 2 019) 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 名师讲坛 • 素养提升 函数三大性质的综合应用 ①③ 例 7 函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． C