2020年高中数学第四章几个幂函数的导数 4页

‎4．2.1　几个幂函数的导数 ‎4．2.2　一些初等函数的导数表 一、基础达标 ‎1．下列结论中正确的个数为 ‎(　　)‎ ‎①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；③y＝2x，则y′＝2xln 2；‎ ‎④y＝log2x，则y′＝.‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ 答案　D 解析　①y＝ln 2为常数，所以y′＝0.①错．②③④正确．‎ ‎2．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为 ‎(　　)‎ A. B.或 C. D. 答案　B 解析　y′＝′＝－＝－4，x＝±，故选B.‎ ‎3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于 ‎(　　)‎ A．4 B．－‎4 ‎‎ C．5 D．－5‎ 答案　A 解析　f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.‎ ‎4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有 ‎(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定 答案　B 解析　∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线．‎ 4‎ ‎5．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．‎ 答案　x＋y－6＝0‎ 解析　∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1，‎ ‎∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：‎ y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0.‎ ‎6．若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.‎ 答案　64‎ 解析　‎ ‎∴曲线在点处的切线斜率，‎ ‎∴切线方程为．‎ 令x＝0得；令y＝0得x＝‎3a.‎ ‎∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝·‎3a·＝18，∴a＝64.‎ ‎7．求下列函数的导数：‎ ‎(1) y＝；(2)y＝；(3)y＝－2sin ；‎ ‎(4)y＝log2x2－log2x.‎ 解　(1)y′＝′＝＝.‎ ‎(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.‎ ‎(3)∵y＝－2sin ‎＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，‎ ‎∴y′＝(sin x)′＝cos x.‎ ‎(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，‎ 4‎ ‎∴y′＝(log2x)′＝.‎ 二、能力提升 ‎8．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为 ‎(　　)‎ A. B．－ C．－e D．e 答案　D 解析　y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则 ‎∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.‎ ‎9．曲线y＝ln x在x＝a处的切线倾斜角为，则a＝______.‎ 答案　1‎ 解析　y′＝，∴y′|x＝a＝＝1，∴a＝1.‎ ‎10．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为________．‎ 答案　 解析　根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.‎ ‎∵y′＝(ex)′＝ex，‎ ‎∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为.‎ ‎11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．‎ 解　∵f(x)＝cos x，g(x)＝x，‎ ‎∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1，‎ 由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，‎ 即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]，‎ ‎∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z.‎ ‎12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．‎ 解　根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝2x0＝1，‎ 所以x0＝，所以切点坐标为，‎ 4‎ 切点到直线x－y－2＝0的距离 d＝＝，‎ 所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.‎ 三、探究与创新 ‎13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)．‎ 解　f1(x)＝(sin x)′＝cos x，‎ f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，‎ f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，‎ f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，‎ f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，‎ f6(x)＝f2(x)，…，‎ fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4，‎ ‎∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x.‎ 4‎