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- 2021-06-15 发布
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高考命题新思维之四
“
云朵
”
考题别有创意 基础稳固轻松求解
【
题目
】
(2019·
全国卷
Ⅲ
第
22
题
)
如图
,
在极坐标系
Ox
中
,A(2,0),B
,
C
,D(2,π),
弧 所在圆的圆心分别是
(1,0),
,(1,π),
曲线
M
1
是弧
,
曲线
M
2
是弧
,
曲线
M
3
是弧
.
(1)
分别写出
M
1
,M
2
,M
3
的极坐标方程
.
(2)
曲线
M
由
M
1
,M
2
,M
3
构成
,
若点
P
在
M
上
,
且
|OP|= ,
求点
P
的极坐标
.
【
试题点评
】
本题命制新颖
,
别出心裁
,
以一个“云”形状的图形
,
要求考生求极坐标方程
.
这种极坐标形式的问题在高考中不多见
.
命题人的“煞费苦心”让考生感觉这朵云“好凄美”
.
这些题目看似变难了
,
其实是出题方式变得灵活了
,
更加符合新高考的要求
,
突出考查数学建模、直观想象、数学运算的核心素养
.
【
命题探源
】
在
2016
年上海高考数学试卷中
,
也出现过类似给出图形求曲线的极坐标方程的题目
,
其来源为数学家笛卡尔的心形线
.
人教版教材中
,
也出现过自己选择适当的极坐标系求圆的极坐标方程、直线的极坐标方程等
.
【
高考声音
】
这道题传递了一个高考信息
,
回归课本
,
基础要绝对扎实
.
虽然题目比较新颖
,
但是只要紧扣教材
,
就能很好地解答
.
这些试题不仅对所学的知识进行考查
,
而且还与实际生活联系得更加紧密了
.
高考试题不但考查考生的做题的速度和准确度
,
还拓宽了知识的广度和宽度
,
更加考验学生对知识灵活运用的能力
.
【
解法探究
】
(1)
将三个过原点的圆方程列出
,
注意题中要求的是弧
,
所以要注意方程中
θ
的取值范围
.
(2)
根据条件
ρ=
逐个方程代入求解
,
最后解出
P
点的极坐标
.
【
解析
】
(1)
如图所示
,
极坐标
A(2,0),B
,C
,D(2,π)
转化为直角坐标为
A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0).
则
M
1
,M
2
,M
3
的圆心坐标分别为
(1,0),(0,1),(-1,0).
M
1
,M
2
,M
3
所在圆的方程为
(x-1)
2
+y
2
=1,x
2
+(y-1)
2
=1,(x+1)
2
+y
2
=1,
设
x=ρ cos θ,y=ρ sin θ,
则
M
1
,M
2
,M
3
所在圆的极坐标方程分别为
M
1
:
ρ
=2cos
θ
,
M
2
:
ρ
=2cos
=2sin
θ
,
M
3
:
ρ
=2cos(
θ
-
π
)=-2cos
θ
.
(2)
设
P(ρ,θ),
由题设及
(1)
知若
2cos θ=
,
解得
θ= ,
若
2sin θ=
,
解得
θ=
或
θ= .
若
-2cos θ=
,
解得
θ= .
故
P
的极坐标为
【
拓展赏析
】
1.
其实这道题并不难
:
考生之所以认为这道题难
,
其主要原因是长期的应试训练
,
造成了学生思维的僵化的结果
.
由于没有心理准备
,
当面对新的变化时容易引起情绪上的波动
,
从而觉得试题变难了
.
其实只要静下心来好好读读题目
,
也不难发现那是几个曲线的组合
.
教材上的标准模型不见了
,
取而代之的是几个标准模型的组合
.
2.
把高考拉进了现实
:
现实社会中哪有标准的模型
,
几乎每件事都是复杂的不能再复杂的事情的组合
.
要想解决现实的问题
,
只有努力地透过现象看本质
,
找出其中所包含的模型
,
才有可能解决现实中的问题
.“
死记硬背”“机械刷题”“题海战术”
,
已不适合新高考
.
高考试卷中出现了一朵云
,
这朵云把高考拉进了现实
.
值得师生在备考中细加品味
.
【
新题试做
】
(2019·
北京高考
)
数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线
,
曲线
C:x
2
+y
2
=1+|x|y
就是其中之一
(
如图
).
给出下列三个结论
:
①
曲线
C
恰好经过
6
个整点
(
即横、纵坐标均为整数的点
);
②
曲线
C
上任意一点到原点的距离都不超过
;
③
曲线
C
所围成的“心形”区域的面积小于
3.
其中
,
所有正确结论的序号是
(
)
A.①
B.②
C.①②
D.①②③
【
解析
】
选
C.
对①
,
令
x=0
得
y=±1,
即曲线
C
过整点
(0,±1);
令
x=1
得
1+y
2
=1+y,y=0,1,
即曲线
C
过整点
(1,0),(1,1),
又由曲线关于
y
轴对称知
,
曲线
C
过整点
(-1,0),(-1,1),
结合图形知
,
曲线
C
不过其他整点
,
所以①正确
;
对②
,
只需考虑第一象限内的点
,
即
x>0,y>0,
设
C
上的点
(x,y)
到原点的距离为
d,
则
x
2
+y
2
=1+|x|y=1+xy≤1+
,x
2
+y
2
≤2,d≤ ,
所以②正确
;
对③
,
由①知
,S
△OAB
= ×1×1= ,S
正方形
OBCD
=1×1=1,
所以
S
阴影
=2×
=3,
所以心形区域面积大于
3,③
错误
.
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