高考卷 全国统一高考数学卷（文科）（新课标ⅲ） 59页

2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）已知集合 A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则 A∩B 中元素的个数 为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（5 分）复平面内表示复数 z=i（﹣2+i）的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理 了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制 了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比 较平稳 4．（5 分）已知 sinα﹣cosα= ，则 sin2α=（ ） A．﹣ B．﹣ C． D． 5．（5 分）设 x，y 满足约束条件 则 z=x﹣y 的取值范围是（ ） A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3] 6．（5 分）函数 f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 7．（5 分）函数 y=1+x+ 的部分图象大致为（ ） A． B ． C． D． 8．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 9．（5 分）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球 面上，则该圆柱的体积为（ ） A．π B． C． D． 10．（5 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，则（ ） A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 11．（5 分）已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且 以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．（5 分）已知函数 f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则 a=（ ） A．﹣ B． C． D．1 二、填空题 13．（5 分）已知向量 =（﹣2，3）， =（3，m），且 ，则 m= ． 14．（5 分）双曲线 （a＞0）的一条渐近线方程为 y= x，则 a= ． 15．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C=60°，b= ， c=3，则 A= ． 16．（5 分）设函数 f（x）= ，则满足 f（x）+f（x﹣ ）＞1 的 x 的取 值范围是 ． 三、解答题 17．（12 分）设数列{an}满足 a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{ }的前 n 项和． 18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完．根 据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温 不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统 计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一 天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率． 19．（12 分）如图四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD． （1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE⊥EC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比． 20．（12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x2+mx﹣2 与 x 轴交于 A、B 两点，点 C 的坐标为（0，1），当 m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由； （2）证明过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值． 21．（12 分）已知函数 f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 a＜0 时，证明 f（x）≤﹣ ﹣2． [选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 ，（t 为参数）， 直线 l2 的参数方程为 ，（m 为参数）．设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C． （1）写出 C 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ（cosθ+sinθ） ﹣ =0，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式 f（x）≥1 的解集； （2）若不等式 f（x）≥x2﹣x+m 的解集非空，求 m 的取值范围． 2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）已知集合 A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则 A ∩B 中元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；4O：定义法；5J ：集合． 【分析】利用交集定义先求出 A∩B，由此能求出 A∩B 中元素的个数． 【解答】解：∵集合 A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}， ∴A∩B={2，4}， ∴A∩B 中元素的个数为 2． 故选：B． 【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意 交集定义的合理运用． 2．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）复平面内表示复数 z=i（﹣2+i）的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；5N ：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1 对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题． 3．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务 质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万 人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比 较平稳 【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线．菁优网版 权所有 【专题】27 ：图表型；2A ：探究型；5I ：概率与统计． 【分析】根据已知中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万 人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案． 【解答】解：由已有中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位： 万人）的数据可得： 月接待游客量逐月有增有减，故 A 错误； 年接待游客量逐年增加，故 B 正确； 各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月，故 C 正确； 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平 稳，故 D 正确； 故选：A 【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大， 属于基础题． 4．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）已知 sinα﹣cosα= ，则 sin2α=（ ） A．﹣ B．﹣ C． D． 【考点】GS：二倍角的正弦．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；56 ：三角函数的求值． 【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出． 【解答】解：∵sinα﹣cosα= ， ∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α= ， ∴sin2α=﹣ ， 故选：A． 【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题． 5．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）设 x，y 满足约束条件 则 z=x﹣y 的取 值范围是（ ） A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3] 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即 可． 【解答】解：x，y 满足约束条件 的可行域如图： 目标函数 z=x﹣y，经过可行域的 A，B 时，目标函数取得最值， 由 解得 A（0，3）， 由 解得 B（2，0）， 目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3， 目标函数的取值范围：[﹣3，2]． 故选：B． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是 解题的关键． 6．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）函数 f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）的最大值 为（ ） A． B．1 C． D． 【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；57 ：三角函数的图像与 性质． 【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可． 【解答】解：函数 f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）= sin（x+ ）+cos（﹣ x+ ）= sin（x+ ）+sin（x+ ） = sin（x+ ） ． 故选：A． 【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查 计算能力． 7．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）函数 y=1+x+ 的部分图象大致为（ ） A． B ． C． D． 【考点】3O：函数的图象．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应 用． 【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊 点判断函数的图象即可． 【解答】解：函数 y=1+x+ ，可知：f（x）=x+ 是奇函数，所以函数的图 象关于原点对称， 则函数 y=1+x+ 的图象关于（0，1）对称， 当 x→0+，f（x）＞0，排除 A、C，点 x=π时，y=1+π，排除 B． 故选：D． 【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法． 8．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则 输入的正整数 N 的最小值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】EF：程序框图．菁优网版 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BC1 ⊂ 平面 B1BCC1， ∴A1B1⊥BC1， ∵A1B1∩B1C=B1， ∴BC1⊥平面 A1ECB1， ∵A1E ⊂ 平面 A1ECB1， ∴A1E⊥BC1． 故选：C． 法二：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中棱长为 2， 则 A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2）， A（2，0，0），C（0，2，0）， =（﹣2，1，﹣2）， =（0，2，2）， =（﹣2，﹣2，0）， =（﹣2，0，2）， =（﹣2，2，0）， ∵ • =﹣2， =2， =0， =6， ∴A1E⊥BC1． 故选：C． 【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法 的合理运用． 11．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点 分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，则 C 的离 心率为（ ） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的简单性质．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；5B ：直线与圆；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，可得原点到直线的 距离 =a，化简即可得出． 【解答】解：以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切， ∴原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2． ∴椭圆 C 的离心率 e= = = ． 故选：A． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线 的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）已知函数 f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零 点，则 a=（ ） A．﹣ B． C． D．1 【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】通过转化可知问题等价于函数 y=1﹣（x﹣1）2 的图象与 y=a（ex﹣1+ ） 的图象只有一个交点求 a 的值．分 a=0、a＜0、a＞0 三种情况，结合函数的单调 性分析可得结论． 【解答】解：因为 f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ ） =0， 所以函数 f（x）有唯一零点等价于方程 1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解， 等价于函数 y=1﹣（x﹣1）2 的图象与 y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点． ①当 a=0 时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾； ②当 a＜0 时，由于 y=1﹣（x﹣1）2 在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递 减， 且 y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数 y=1﹣（x﹣1）2 的图象的最高点为 A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图 象的最高点为 B（1，2a）， 由于 2a＜0＜1，此时函数 y=1﹣（x﹣1）2 的图象与 y=a（ex﹣1+ ）的图象有 两个交点，矛盾； ③当 a＞0 时，由于 y=1﹣（x﹣1）2 在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递 减， 且 y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数 y=1﹣（x﹣1）2 的图象的最高点为 A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图 象的最低点为 B（1，2a）， 由题可知点 A 与点 B 重合时满足条件，即 2a=1，即 a= ，符合条件； 综上所述，a= ， 故选：C． 【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力， 考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法 的积累，属于难题． 二、填空题 13．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）已知向量 =（﹣2，3）， =（3，m），且 ， 则 m= 2 ． 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5A ：平面向量及应用． 【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解． 【解答】解：∵向量 =（﹣2，3）， =（3，m），且 ， ∴ =﹣6+3m=0， 解得 m=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量 数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用． 14．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）双曲线 （a＞0）的一条渐近线方程为 y= x， 则 a= 5 ． 【考点】KC：双曲线的简单性质．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解 a 即可． 【解答】解：双曲线 （a＞0）的一条渐近线方程为 y= x， 可得 ，解得 a=5． 故答案为：5． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 15．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已 知 C=60°，b= ，c=3，则 A= 75° ． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；58 ：解三角形． 【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可 【解答】解：根据正弦定理可得 = ，C=60°，b= ，c=3， ∴sinB= = ， ∵b＜c， ∴B=45°， ∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°， 故答案为：75°． 【点评】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题 16．（5 分）（2017•新课标Ⅲ）设函数 f（x）= ，则满足 f（x）+f（x ﹣ ）＞1 的 x 的取值范围是 （ ，+∞） ． 【考点】3T：函数的值．菁优网版 权所有 【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论 x 的取值范围，进行求解即可． 【解答】解：若 x≤0，则 x﹣ ≤﹣ ， 则 f（x）+f（x﹣ ）＞1 等价为 x+1+x﹣ +1＞1，即 2x＞﹣ ，则 x＞ ， 此时 ＜x≤0， 当 x＞0 时，f（x）=2x＞1，x﹣ ＞﹣ ， 当 x﹣ ＞0 即 x＞ 时，满足 f（x）+f（x﹣ ）＞1 恒成立， 当 0≥x﹣ ＞﹣ ，即 ≥x＞0 时，f（x﹣ ）=x﹣ +1=x+ ， 此时 f（x）+f（x﹣ ）＞1 恒成立， 综上 x＞ ， 故答案为：（ ，+∞）． 【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的 数学思想进行求解是解决本题的关键． 三、解答题 17．（12 分）（2017•新课标Ⅲ）设数列{an}满足 a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{ }的前 n 项和． 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用数列递推关系即可得出． （2） = = ﹣ ．利用裂项求和方法即可得出． 【解答】解：（1）数列{an}满足 a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n． n≥2 时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）． ∴（2n﹣1）an=2．∴an= ． 当 n=1 时，a1=2，上式也成立． ∴an= ． （2） = = ﹣ ． ∴数列{ }的前 n 项和= + +…+ =1﹣ = ． 【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 18．（12 分）（2017•新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同， 进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格 当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃） 有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20， 25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月 份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一 天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率． 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CB：古典概型及其概率计算公式．菁 优网版权 所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计． 【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20， 25）和最高气温低于 20 的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超 过 300 瓶的概率． （2）当温度大于等于 25°C 时，需求量为 500，求出 Y=900 元；当温度在[20， 25）°C 时，需求量为 300，求出 Y=300 元；当温度低于 20°C 时，需求量为 200， 求出 Y=﹣100 元，从而当温度大于等于 20 时，Y＞0，由此能估计估计 Y 大于零 的概率． 【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据， 得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于 20 的天数为 2+16+36=54， 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关． 如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶， 如果最高气温位于区间[20，25），需求量为 300 瓶， 如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶， ∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率 p= = ． （2）当温度大于等于 25°C 时，需求量为 500， Y=450×2=900 元， 当温度在[20，25）°C 时，需求量为 300， Y=300×2﹣（450﹣300）×2=300 元， 当温度低于 20°C 时，需求量为 200， Y=400﹣（450﹣200）×2=﹣100 元， 当温度大于等于 20 时，Y＞0， 由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于 20°C 的天数有： 90﹣（2+16）=72， ∴估计 Y 大于零的概率 P= ． 【点评】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古 典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数 形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 19．（12 分）（2017•新课标Ⅲ）如图四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD． （1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE⊥EC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距 离． 【分析】（1）取 AC 中点 O，连结 DO、BO，推导出 DO⊥AC，BO⊥AC，从而 AC ⊥平面 BDO，由此能证明 AC⊥BD． （2）法一：连结 OE，设 AD=CD= ，则 OC=OA=1，由余弦定理求出 BE=1，由 BE=ED，四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 h，S△DCE=S△ BCE，由此能求出四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比．法二：设 AD=CD= ， 则 AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO= ，推导出 BO⊥DO，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，由 AE⊥EC，求出 DE=BE， 由此能求出四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比． 【解答】证明：（1）取 AC 中点 O，连结 DO、BO， ∵△ABC 是正三角形，AD=CD， ∴DO⊥AC，BO⊥AC， ∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面 BDO， ∵BD ⊂ 平面 BDO，∴AC⊥BD． 解：（2）法一：连结 OE，由（1）知 AC⊥平面 OBD， ∵OE ⊂ 平面 OBD，∴OE⊥AC， 设 AD=CD= ，则 OC=OA=1， ∴E 是线段 AC 垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD= ， 由余弦定理得： cos∠CBD= = ， 即 ，解得 BE=1 或 BE=2， ∵BE＜＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED， ∵四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 h， ∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE， ∴四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1． 法二：设 AD=CD= ，则 AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1， ∴BO= = ，∴BO2+DO2=BD2，∴BO⊥DO， 以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），A（1，0，0）， 设 E（a，b，c）， ，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0， ，﹣1）， 解得 E（0， ，1﹣λ）， ∴ =（1， ）， =（﹣1， ）， ∵AE⊥EC，∴ =﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0， 由λ ∈ [0，1]，解得 ，∴DE=BE， ∵四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 h， ∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE， ∴四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1． 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空 间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解 能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 20．（12 分）（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x2+mx﹣2 与 x 轴 交于 A、B 两点，点 C 的坐标为（0，1），当 m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由； （2）证明过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值． 【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；43 ：待定系数法；5B ：直线与圆． 【分析】（1）设曲线 y=x2+mx﹣2 与 x 轴交于 A（x1，0），B（x2，0），运用韦达 定理，再假设 AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情 况； （2）设过 A、B、C 三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题 意可得 D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得 E=1，再令 x=0，即可得到圆在 y 轴的 交点，进而得到弦长为定值． 【解答】解：（1）曲线 y=x2+mx﹣2 与 x 轴交于 A、B 两点， 可设 A（x1，0），B（x2，0）， 由韦达定理可得 x1x2=﹣2， 若 AC⊥BC，则 kAC•kBC=﹣1， 即有 • =﹣1， 即为 x1x2=﹣1 这与 x1x2=﹣2 矛盾， 故不出现 AC⊥BC 的情况； （2）证明：设过 A、B、C 三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）， 由题意可得 y=0 时，x2+Dx+F=0 与 x2+mx﹣2=0 等价， 可得 D=m，F=﹣2， 圆的方程即为 x2+y2+mx+Ey﹣2=0， 由圆过 C（0，1），可得 0+1+0+E﹣2=0，可得 E=1， 则圆的方程即为 x2+y2+mx+y﹣2=0， 另解：设过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上的交点为 H（0，d）， 则由相交弦定理可得|OA|•|OB|=|OC|•|OH|， 即有 2=|OH|， 再令 x=0，可得 y2+y﹣2=0， 解得 y=1 或﹣2． 即有圆与 y 轴的交点为（0，1），（0，﹣2）， 则过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 3． 【点评】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式， 以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题． 21．（12 分）（2017•新课标Ⅲ）已知函数 f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 a＜0 时，证明 f（x）≤﹣ ﹣2． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的 应用．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；32 ：分类讨论；48 ：分析法；53 ：导数的综合应用． 【分析】（1）题干求导可知 f′（x）= （x＞0），分 a=0、a＞0、a＜ 0 三种情况讨论 f′（x）与 0 的大小关系可得结论； （2）通过（1）可知 f（x）max=f（﹣ ）=﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ），进而转化 可知问题转化为证明：当 t＞0 时﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．进而令 g（t）=﹣ t+lnt， 利用导数求出 y=g（t）的最大值即可． 【解答】（1）解：因为 f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x， 求导 f′（x）= +2ax+（2a+1）= = ，（x＞0）， ①当 a=0 时，f′（x）= +1＞0 恒成立，此时 y=f（x）在（0，+∞）上单调递增； ②当 a＞0，由于 x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0 恒成立，此时 y=f（x）在（0， +∞）上单调递增； ③当 a＜0 时，令 f′（x）=0，解得：x=﹣ ． 因为当 x ∈ （0，﹣ ）f′（x）＞0、当 x ∈ （﹣ ，+∞）f′（x）＜0， 所以 y=f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减． 综上可知：当 a≥0 时 f（x）在（0，+∞）上单调递增， 当 a＜0 时，f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减； （2）证明：由（1）可知：当 a＜0 时 f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减， 所以当 x=﹣ 时函数 y=f（x）取最大值 f（x）max=f（﹣ ）=﹣1﹣ln2﹣ +ln （﹣ ）． 从而要证 f（x）≤﹣ ﹣2，即证 f（﹣ ）≤﹣ ﹣2， 即证﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ）≤﹣ ﹣2，即证﹣ （﹣ ）+ln（﹣ ）≤﹣1+ln2． 令 t=﹣ ，则 t＞0，问题转化为证明：﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．…（*） 令 g（t）=﹣ t+lnt，则 g′（t）=﹣ + ， 令 g′（t）=0 可知 t=2，则当 0＜t＜2 时 g′（t）＞0，当 t＞2 时 g′（t）＜0， 所以 y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减， 即 g（t）≤g（2）=﹣ ×2+ln2=﹣1+ln2，即（*）式成立， 所以当 a＜0 时，f（x）≤﹣ ﹣2 成立． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，考查转化 能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． [选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 ， （t 为参数），直线 l2 的参数方程为 ，（m 为参数）．设 l1 与 l2 的交点为 P， 当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C． （1）写出 C 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ（cosθ+sinθ） ﹣ =0，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；4Q：参数法；4R：转化法；5S ：坐标系和参数方程． 【分析】解：（1）分别消掉参数 t 与 m 可得直线 l1 与直线 l2 的普通方程为 y=k（x ﹣2）①与 x=﹣2+ky②；联立①②，消去 k 可得 C 的普通方程为 x2﹣y2=4； （2）将 l3 的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0 化为普通方程：x+y﹣ =0， 再与曲线 C 的方程联立，可得 ，即可求得 l3 与 C 的交点 M 的极径为ρ= ． 【解答】解：（1）∵直线 l1 的参数方程为 ，（t 为参数）， ∴消掉参数 t 得：直线 l1 的普通方程为：y=k（x﹣2）①； 又直线 l2 的参数方程为 ，（m 为参数）， 同理可得，直线 l2 的普通方程为：x=﹣2+ky②； 联立①②，消去 k 得：x2﹣y2=4，即 C 的普通方程为 x2﹣y2=4（x≠±2）； （2）∵l3 的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0， ∴其普通方程为：x+y﹣ =0， 联立 得： ， ∴ρ2=x2+y2= + =5． ∴l3 与 C 的交点 M 的极径为ρ= ． 【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等 价转化思想的运用，属于中档题． [选修 4-5：不等式选讲] 23．（2017•新课标Ⅲ）已知函数 f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式 f（x）≥1 的解集； （2）若不等式 f（x）≥x2﹣x+m 的解集非空，求 m 的取值范围． 【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版 权所有 【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ： 函数的性质及应用；5T ：不等式． 【分析】（1）由于 f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，解不等式 f（x）≥ 1 可分﹣1≤x≤2 与 x＞2 两类讨论即可解得不等式 f（x）≥1 的解集； （2）依题意可得 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）=f（x）﹣x2+x，分 x≤1、﹣1 ＜x＜2、x≥2 三类讨论，可求得 g（x）max= ，从而可得 m 的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1， ∴当﹣1≤x≤2 时，2x﹣1≥1，解得 1≤x≤2； 当 x＞2 时，3≥1 恒成立，故 x＞2； 综上，不等式 f（x）≥1 的解集为{x|x≥1}． （2）原式等价于存在 x ∈ R 使得 f（x）﹣x2+x≥m 成立， 即 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）=f（x）﹣x2+x． 由（1）知，g（x）= ， 当 x≤﹣1 时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为 x= ＞﹣1， ∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5； 当﹣1＜x＜2 时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为 x= ∈ （﹣1， 2）， ∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ； 当 x≥2 时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x= ＜2， ∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1； 综上，g（x）max= ， ∴m 的取值范围为（﹣∞， ]． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突 出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题． 参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；沂蒙松；豫汝王世崇；whgcn；qiss； cst；maths；双曲线；wfy814（排名不分先后） 菁优网 2017 年 8 月 1 日 考点卡片 1．交集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作 A ∩B． 符号语言：A∩B={x|x ∈ A，且 x ∈ B}． A∩B 实际理解为：x 是 A 且是 B 中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交 集． 运算形状： ①A∩B=B∩A．②A∩ ∅ = ∅ ．③A∩A=A．④A∩B ⊆ A，A∩B ⊆ B．⑤A∩B=A ⇔ A ⊆ B．⑥ A∩B= ∅ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ ∁ UA）= ∅ ．⑧ ∁ U（A∩B）=（ ∁ UA）∪ （ ∁ UB）． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能 把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩 图． 【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集． 命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、 复合函数的单调性等联合命题． 2．命题的真假判断与应用 【知识点的认识】 判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确 p、q 及非 p 的真 假，然后由真值表判断复合命题的真假． 注意：“非 p”的正确写法，本题不应将“非 p”写成“方程 x2﹣2x+1=0 的两根都不是 实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分． 【解题方法点拨】 1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中 简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假． 2．判断一个“若 p 则 q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方 法：若“p q”，则“若 p 则 q”为真；而要确定“若 p 则 q”为假，只需举出一个反 例说明即可． 3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真 同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断． 【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知 识点多而且全，多以小题形式出现． 3．函数的图象 【知识点的认识】 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、 单调性、周期性、对称性等）． 其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等）， 描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 （1）平移变换： y=f（x）a＞0，右移 a 个单位（a＜0，左移|a|个单位） ⇒ y=f（x﹣a）； y=f（x）b＞0，上移 b 个单位（b＜0，下移|b|个单位） ⇒ y=f（x）+b． （2）伸缩变换： y=f（x） y=f（ωx）； y=f（x）A＞1，伸为原来的 A 倍（0＜A＜1，缩为原来的 A 倍） ⇒ y=Af（x）． （3）对称变换： y=f（x）关于 x 轴对称 ⇒ y=﹣f（x）； y=f（x）关于 y 轴对称 ⇒ y=f（﹣x）； y=f（x）关于原点对称 ⇒ y=﹣f（﹣x）． （4）翻折变换： y=f（x）去掉 y 轴左边图，保留 y 轴右边图，将 y 轴右边的图象翻折到左边 ⇒ y=f （|x|）； y=f（x）留下 x 轴上方图将 x 轴下方图翻折上去 y=|f（x）|． 【解题方法点拨】 1、画函数图象的一般方法 （1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几 何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出． （2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称 得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要 先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． （3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点， 就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论． 2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法 （1）知图选式： ①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； ②从图象的变化趋势，观察函数的单调性； ③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； ④从图象的循环往复，观察函数的周期性． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项． （2）知式选图： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ④从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项． 注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻 找突破口． 3、（1）利有函数的图象研究函数的性质 从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数 的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． （2）利用函数的图象研究方程根的个数 有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由 解的个数求参数值． 4、方法归纳： （1）1 个易错点﹣﹣图象变换中的易错点 在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的 x，y 变换”的原 则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错． （2）3 个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点 为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点： ①正确求出函数的定义域； ②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函 数、幂函数、形如 y=x+的函数； ③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧， 来帮助我们简化作图过程． （3）3 种方法﹣﹣识图的方法 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称 性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有： ①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下 降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题； ②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题； ③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数 模型来分析解决问题． 4．函数的值 【知识点的认识】 函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值 域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因 变量的取值范围． 【解题方法点拨】 求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种： ①基本不等式法：如当 x＞0 时，求 2x+ 的最小值，有 2x+ ≥2 =8； ②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到 x=5 和 x=3 的距离之和，易知最小值为 2； ③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行 比较 例题：求 f（x）=lnx﹣x 在（0，+∞）的值域 解：f′（x）= ﹣1= ∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减 ∴最大值为：ln1﹣1=﹣1，无最小值； 故值域为（﹣∞，﹣1） 【命题方向】 函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题 难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒 成立的问题为主． 5．函数零点的判定定理 【知识点的知识】 1、函数零点存在性定理： 一般地，如果函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有 f（a）•f（b）＜0，那么函数 y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在 c ∈ （a，b），使得 f（c）=O，这个 c 也就是 f（x）=0 的根． 特别提醒： （1）根据该定理，能确定 f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一． （2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件， 并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数 f（x）=x2﹣3x+2 有 f（0） •f（3）＞0，但函数 f（x）在区间（0，3）上有两个零点． （3）若 f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b） ＜0，则 f（x）在（a，b）上有唯一的零点． 2、函数零点个数的判断方法： （1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y=f（x）的图象联 系起来，并利用函数的性质找出零点． 特别提醒： ①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程 x2﹣ 2x+1=0 在[0，2]上有两个等根，而函数 f（x）=x2﹣2x+1 在[0，2]上只有一个零 点； ②函数的零点是实数而不是数轴上的点． （2）代数法：求方程 f（x）=0 的实数根． 6．利用导数研究函数的单调性 【知识点的知识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若 f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是增函数，f′ （x）＞0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若 f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是减函数，f′ （x）＜0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定 f（x）的定义域； （2）计算导数 f′（x）； （3）求出 f′（x）=0 的根； （4）用 f′（x）=0 的根将 f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区 间内 f′（x）的符号，进而确定 f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则 f（x）在对应 区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则 f（x）在对应区间上是减 函数，对应区间为减区间． 【典型例题分析】 题型一：导数和函数单调性的关系 典例 1：已知函数 f（x）的定义域为 R，f（﹣1）=2，对任意 x ∈ R，f′（x）＞2， 则 f（x）＞2x+4 的解集为（ ） A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞） 解：设 g（x）=f（x）﹣2x﹣4， 则 g′（x）=f′（x）﹣2， ∵对任意 x ∈ R，f′（x）＞2， ∴对任意 x ∈ R，g′（x）＞0， 即函数 g（x）单调递增， ∵f（﹣1）=2， ∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0， 则由 g（x）＞g（﹣1）=0 得 x＞﹣1， 即 f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞）， 故选：B 题型二：导数很函数单调性的综合应用 典例 2：已知函数 f（x）=alnx﹣ax﹣3（a ∈ R）． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于 任意的 t ∈ [1，2]，函数 在区间（t，3）上总不是单调 函数，求 m 的取值范围； （Ⅲ）求证： ． 解：（Ⅰ） （2 分） 当 a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当 a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当 a=0 时，f（x）不是单调函数（4 分） （Ⅱ） 得 a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3 ∴ ， ∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6 分） ∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且 g′（0）=﹣2 ∴ 由题意知：对于任意的 t ∈ [1，2]，g′（t）＜0 恒成立， 所以有： ，∴ （10 分） （Ⅲ）令 a=﹣1 此时 f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以 f（1）=﹣2， 由（Ⅰ）知 f（x）=﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增， ∴当 x ∈ （1，+∞）时 f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0， ∴lnx＜x﹣1 对一切 x ∈ （1，+∞）成立，（12 分） ∵n≥2，n ∈ N*，则有 0＜lnn＜n﹣1， ∴ ∴ 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使 f′（x）=0，在其余的点恒有 f′（x）＞0，则 f（x） 仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内 f′（x）＞0 是 f（x）在此区 间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 7．导数在最大值、最小值问题中的应用 【知识点的知识】 一、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地，设函数 f（x）在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f （x）＜f（x0），就说 f（x0）是函数的一个极大值，记作 y 极大值=f（x0），是极大值 点． 2、极小值 一般地，设函数 f（x）在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f（x） ＞f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极小值，记作 y 极小值=f（x0），是极小 值点． 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数 值．请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函 数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小 值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极 小值，如下图所示，x1 是极大值点，x4 是极小值点，而 f（x4）＞f（x1）． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使 函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4、判别 f（x0）式极大值、极小值的方法： 若 x0 满足 f′（x0）=0，且在 x0 的两侧 f（x）的导数异号，则 x0 是 f（x）的极值点， f（x0）是极值，并且如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左正右负”，则 x0 是 f（x）的极 大值点，f（x0）是极大值；如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左负右正”，则 x0 是 f（x） 的极小值点，f（x0）是极小值． 5、求可导函数 f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数 f′（x）； （2）求方程 f′（x）=0 的根； （3）用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列 成表格．检查 f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f（x）在 这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f（x）在这个根处取得极小值；如果 左右不改变符号，那么 f（x）在这个根处无极值． 二、利用导数求函数的最大值与最小值 1、函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数 f（x）的图象．图中 f（x1）与 f（x3） 是极小值，f（x2）是极大值．函数 f（x）在[a，b]上的最大值是 f（b），最小值 是 f（x1）． 一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数 f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值． 说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数 f（x）不一定有最大值与最小值．如 函数 f（x）= 在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值； （2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值 点附近函数值得出的． （3）函数 f（x）在闭区间[a，b]上连续，是 f（x）在闭区间[a，b]上有最大值 与最小值的充分条件而非必要条件． （4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能 不止一个，也可能没有一个 2、用导数求函数的最值步骤： 由上面函数 f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点 的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 设函数 f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求 f（x）在[a，b]上的最 大值与最小值的步骤如下： （1）求 f（x）在（a，b）内的极值； （2）将 f（x）的各极值与 f（a）、f（b）比较得出函数 f（x）在[a，b]上的最值． 【解题方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点： （1）按定义，极值点 x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点 a，b（因为在端点 不可导）． （2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须 在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在 某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必 然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小． （3）若 f（x）在（a，b）内有极值，那么 f（x）在（a，b）内绝不是单调函数， 即在区间上单调的函数没有极值． （4）若函数 f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的， 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个 极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数 f （x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的， （5）可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点， 不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点． 8．简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问 题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的 线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三 个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者 是斜率的最值． 【例题解析】 例：若目标函数 z=x+y 中变量 x，y 满足约束条件 ． （1）试确定可行域的面积； （2）求出该线性规划问题中所有的最优解． 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形 ABC， 其中 B（4，3），A（2，3），C（4，2）， 则可行域的面积 S= = ． （2）由 z=x+y，得 y=﹣x+z，则平移直线 y=﹣x+z， 则由图象可知当直线经过点 A（2，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最小， 此时 z 最小为 z=2+3=5， 当直线经过点 B（4，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最大， 此时 z 最大为 z=4+3=7， 故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3） 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条 直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通 过目标函数的平移去找到它的最值． 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考 的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标 曲线． 9．数列的求和 【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、 等差等比数列等等，常用的方法包括： （1）公式法： ①等差数列前 n 项和公式：Sn=na1+ n（n﹣1）d 或 Sn= ②等比数列前 n 项和公式： ③几个常用数列的求和公式： （2）错位相减法： 适用于求数列{an×bn}的前 n 项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列． （3）裂项相消法： 适用于求数列{ }的前 n 项和，其中{an}为各项不为 0 的等差数列，即 = （ ）． （4）倒序相加法： 推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列 （反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个（a1+an）． （5）分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开， 可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可． 【典型例题分析】 典例 1：已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前 n 项和为 Sn． （Ⅰ）求 an 及 Sn； （Ⅱ）令 bn= （n ∈ N*），求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 分 析 ： 形 如 的 求 和 ， 可 使 用 裂 项 相 消 法 如 ： ． 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d， ∵a3=7，a5+a7=26， ∴ ，解得 a1=3，d=2， ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1； Sn= =n2+2n． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 an=2n+1， ∴bn= = = = ， ∴Tn= = = ， 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= ． 点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的 方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求 和． 【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便 是放缩也要往这里面考． 10．数列递推式 【知识点的知识】 1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第 1 项（或前几项），且任一项 an 与它的 前一项 an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做 这个数列的递推公式． 2、数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式：an= ． 在数列{an}中，前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系，是本讲内容一个重点，要认 真掌握． 注意：（1）用 an=Sn﹣Sn﹣1 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了 吗？（n≥2，当 n=1 时，a1=S1）；若 a1 适合由 an 的表达式，则 an 不必表达成分 段形式，可化统一为一个式子． （2）一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时，常需运用关系式 an=Sn﹣ Sn﹣1，先将已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式，然后再求解． 3、数列的通项的求法： （1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式． （2）已知 Sn（即 a1+a2+…+an=f（n））求 an，用作差法：an= ．一 般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件 转化为只含 或 的关系式，然后再求解． （3）已知 a1•a2…an=f（n）求 an，用作商法：an，= ． （4）若 an+1﹣an=f（n）求 an，用累加法：an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2 ﹣a1）+a1（n≥2）． （5）已知 =f（n）求 an，用累乘法：an= （n≥2）． （6）已知递推关系求 an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地 有， ①形如 an=kan﹣1+b、an=kan﹣1+bn（k，b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法 转化为公比为 k 的等比数列后，再求 an． ②形如 an= 的递推数列都可以用倒数法求通项． （7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进 行证明． 11．数量积判断两个平面向量的垂直关系 【概念】 向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重 合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量 垂直．假如 =（1，0，1）， =（2，0，﹣2），那么 与 垂直，有 • =1×2+1× （﹣2）=0，即互相垂直的向量它们的乘积为 0． 【例题解析】 例：与向量 ， 垂直的向量可能为（ ） A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3） 解：对于 A：∵ ， •（3，﹣4）=﹣ =﹣5，∴A 不成立； 对于 B：∵ ， •（﹣4，3）= ，∴B 不成立； 对于 C：∵ ， •（4，3）= ，∴C 成立； 对于 D：∵ ， •（4，﹣3）= ，∴D 不成立； 故选：C． 点评：分别求出向量 ， 和 A，B，C，D 四个备选向量的乘积，如果乘积 等于 0，则这两个向量垂直，否则不垂直． 【考点分析】 向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为 0，希望大 家熟记这个关系并灵活运用． 12．复数的代数表示法及其几何意义 【知识点的知识】 1、复数的代数表示法 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实 轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是 1，y 轴的单位是 i，实轴与虚轴的交点叫做原 点，且原点（0，0），对应复数 0．即复数 z=a+bi→复平面内的点 z（a，b）→平 面向量 ． 2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意： （1）|z|=|z﹣0|=a（a＞0）表示复数 z 对应的点到原点的距离为 a； （2）|z﹣z0|表示复数 z 对应的点与复数 z0 对应的点之间的距离． 3、复数中的解题策略： （1）证明复数是实数的策略： ①z=a+bi ∈ R ⇔ b=0（a，b ∈ R）；②z ∈ R ⇔ =z． （2）证明复数是纯虚数的策略： ①z=a+bi 为纯虚数 ⇔ a=0，b≠0（a，b ∈ R）； ②b≠0 时，z﹣ =2bi 为纯虚数；③z 是纯虚数 ⇔ z+ =0 且 z≠0． 13．频率分布折线图、密度曲线 【知识点的认识】 1．频率分布折线图： 如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得 到频率分布折线图，简称频率折线图． 2．总体分布的密度曲线： 如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则相应的频率分布折 线图将趋于一条光滑曲线，我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线． 14．古典概型及其概率计算公式 【考点归纳】 1．定义：如果一个试验具有下列特征： （1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个； （2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的． 则称这种随机试验的概率模型为古典概型． *古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特 征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中 可能出现的结果进行分析和计算即可． 2．古典概率的计算公式 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那 么每一个基本事件的概率都是 ； 如 果 某 个 事 件 A 包 含 的 结 果 有 m 个 ， 那 么 事 件 A 的 概 率 为 P （ A ） = = ． 【解题技巧】 1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数 n 与事件 A 中 所包含的基本事件数． 因此要注意清楚以下三个方面： （1）本试验是否具有等可能性； （2）本试验的基本事件有多少个； （3）事件 A 是什么． 2．解题实现步骤： （1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； （2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 A； （3）分别求出基本事件的个数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m； （4）利用公式 P（A）= 求出事件 A 的概率． 3．解题方法技巧： （1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率 （2）利用分析法求解古典概型． 15．离散型随机变量的期望与方差 【知识点的知识】 1、离散型随机变量的期望 数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望． 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机 变量取值的平均水平． 平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令 p1=p2=…=pn，则有 p1=p2=…=pn= ，Eξ=（x1+x2+…+xn）× ，所以ξ的数学期望又称 为平均数、均值． 期望的一个性质：若η=aξ+b，则 E（aξ+b）=aEξ+b． 2、离散型随机变量的方差； 方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是 x1，x2，…，xn，…，且 取这些值的概率分别是 p1，p2，…，pn…，那么， 称 为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的 Eξ 是随机变量ξ的期望． 标准差：Dξ的算术平方根 叫做随机变量ξ的标准差，记作 ． 方差的性质： ． 方差的意义： （1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； （2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变 量取值的稳定与波动、集中与离散的程度； （3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 16．程序框图 【知识点的知识】 1．程序框图 （1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及 文字说明来准确、直观地表示算法的图形； （2）构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止 框 表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少 的． 输入、 输出 框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输 入、输出的位置． 处理 框 赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别 写在不同的用以处理数据的处理框内． 判断 框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成 立时在出口处标明则标明“否”或“N”． 流程 线 算法进行的前进方向以及先后顺序 连结 点 连接另一页或另一部分的框图 注释 框 帮助编者或阅读者理解框图 （3）程序框图的构成． 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的 流程线；程序框内必要的说明文字． 17．二倍角的正弦 【二倍角的正弦】 二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α=β的一种特 例，其公式为：sin2α=2sinα•cosα；其可拓展为 1+sin2α=（sinα+cosα）2． 【例题解析】 例：y=sin2x+2sinxcosx 的周期是 π ． 解：∵y=sin2x+2sinxcosx = +sin2x =sin2x﹣ cos2x+ = sin（2x+φ）+ ，（tanφ=﹣ ） ∴其周期 T= =π． 故答案为：π． 这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和 差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且 公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式． 【考点点评】 本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位 同学多加练习，熟记各种公式． 18．正弦定理 【知识点的知识】 1．正弦定理和余弦定理 定 正弦定理 余弦定理 理 内 容 =2R （ R 是△ABC 外接圆半径） a2=b2+c2﹣2bccos A， b2=a2+c2﹣2accos B， c2=a2+b2﹣2abcos C 变 形 形 式 ①a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C； ②sin A= ，sin B= ，sin C= ； ③a：b：c=sinA：sinB：sinC； ④asin B=bsin A，bsin C=csin B，asin C=csin A cos A= ， cos B= ， cos C= 解 决 三 角 形 的 问 题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他 两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一 边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三 边和其他两角 在△ABC 中，已知 a，b 和角 A 时，解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A＜ a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 由上表可知，当 A 为锐角时，a＜bsin A，无解．当 A 为钝角或直角时，a≤b， 无解． 2、三角形常用面积公式 1．S= a•ha（ha 表示边 a 上的高）； 2．S= absin C= acsin B= bcsin A． 3．S= r（a+b+c）（r 为内切圆半径）． 19．余弦定理 【知识点的知识】 1．正弦定理和余弦定理 定 理 正弦定理 余弦定理 内 容 =2R （ R 是△ABC 外接圆半径） a2=b2+c2﹣2bccos A， b2=a2+c2﹣2accos_B， c2=a2+b2﹣2abcos_C 变 形 形 式 ①a=2Rsin A，b=2Rsin_B，c=2Rsin_C； ②sin A= ，sin B= ，sin C= ； ③a：b：c=sinA：sinB：sinC； ④asin B=bsin A，bsin C=csin B，asin C=csin A cos A= ， cos B= ， cos C= 解 决 三 角 形 的 问 题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他 两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另 一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三 边和其他两角 20．三角函数的最值 【三角函数的最值】 三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到 三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手 法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角 函数的一元函数． 【例题解析】 例 1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x= + cos（2x+ ） ． 解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x= ﹣ +2• = + （cos2x﹣ sin2x） = + cos（2x+ ）． 故答案为： + cos（2x+ ）． 这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函 数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结 果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换． 例 2：函数 y=sin2x﹣sinx+3 的最大值是 ． 解：令 sinx=t，可得 y=t2﹣t+3，其中 t ∈ [﹣1，1] ∵二次函数 y=t2﹣t+3 的图象开口向上，对称轴是 t= ∴当 t= 时函数有最小值， 而函数的最大值为 t=﹣1 时或 t=1 时函数值中的较大的那个 ∵t=﹣1 时，y=（﹣1）2﹣（﹣1）+3=5，当 t=1 时，y=12﹣1+3=3 ∴函数的最大值为 t=﹣1 时 y 的值 即 sinx=﹣1 时，函数的最大值为 5． 这个题就是典型的换元，把 sinx 看成是自变量 t，最后三角函数看成是一个 一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域． 【考点点评】 求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家 要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应 的值域． 21．椭圆的简单性质 【知识点的认识】 1．椭圆的范围 2．椭圆的对称性 3．椭圆的顶点 顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点． 顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b） 其中，线段 A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 2a 和 2b， a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 4．椭圆的离心率 ①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率，用 e 表示，即：e= ， 且 0＜e＜1． ②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样： e 越大越接近 1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近 0，椭圆越圆．当且仅当 a=b 时，c=0，椭圆变为圆，方程为 x2+y2=a2． 5．椭圆中的关系：a2=b2+c2． 22．双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|=2c a2+b2=c2 范围 |x|≥a，y ∈ R |y|≥a，x ∈ R 对称 关于 x 轴，y 轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长 2a，虚轴长 2b 离心率 e= （e＞1） 准线 x=± y=± 渐近线 ± =0 ± =0 23．圆与圆锥曲线的综合 【知识点的知识】 1、抛物线的简单性质： 2、双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 性 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|=2c a2+b2=c2 范围 |x|≥a，y ∈ R |y|≥a，x ∈ R 对称 关于 x 轴，y 轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长 2a，虚轴长 2b 离心率 e= （e＞1） 准线 x=± y=± 渐近线 ± =1 ± =1 质 24．棱柱、棱锥、棱台的体积 【知识点的知识】 柱体、锥体、台体的体积公式： V 柱=sh，V 锥= Sh． 25．空间中直线与直线之间的位置关系 【知识点的认识】 空间两条直线的位置关系： 位置关系 共面情况 公共点个数 图示 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 无 异面直线 不同时在任何一个平面 内 无 26．球内接多面体 【知识点的知识】 1、球内接多面体的定义：多面体的顶点都在球面上，且球心到各顶点的距离都 是半径．球内接多面体也叫做多面体外接球． 球外切多面体的定义：球面和多面体的各个面都相切，球心到各面的距离都 是球的半径．球外切多面体也叫做多面体内切球 2、研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题： （1）球心与多面体中心的位置关系； （2）球的半径与多面体的棱长的关系； （3）球自身的对称性与多面体的对称性； （4）能否做出轴截面． 3、球与多面体的接、切中有关量的分析： （1）球内接正方体：球和正方体都是中心对称和轴对称图形，设球的半径为 r， 正方体的棱长为 a，则： ①球心就是正方体的中心，球心在正方体的体对角线的中点处； ②正方体的四个顶点都在球面上； ③轴截面就是正方体的对角面； ④在轴截面上，含有一个球的大圆和正方体的棱、面对角线、体对角线，且构造 一个直角三角形； ⑤球半径和正方体棱长的关系：r= a． 27．直线与平面垂直的性质 【知识点的认识】 直线与平面垂直的性质： ①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为： a⊥α，b⊥α ⇒ a∥b ②由定义可知：a⊥α，b ⊂ α ⇒ a⊥b． 28．参数方程化成普通方程 【知识点的认识】 参数方程和普通方程的互化 由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除） 消元法、三角代换法等．如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x=f （t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y=g（t），那么就是曲 线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持 一致． 29．绝对值三角不等式 【知识点的认识】 绝对值三角不等式 1．定理 1：如果 a，b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成 立． 2．定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a﹣c|≤|a﹣b|+|b﹣c|，当且仅当（a ﹣b）（b﹣c）≥0 时，等号成立． 30．绝对值不等式的解法 【知识点的认识】 绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式|x|＞a 与|x|＜a 的解集 不等式 a＞0 a=0 a＜0 |x|＜a {x|﹣a＜x＜a} ∅ ∅|x|＞a {x|x＞a，或 x＜﹣a} {x|x≠0} R 2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法： （1）|ax+b|≤c ⇔ ﹣c≤ax+b≤c； （2）|ax+b|≥c ⇔ ax+b≥c 或 ax+b≤﹣c； （3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法： 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 【解题方法点拨】 1、解绝对值不等式的基本方法： （1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； （2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值 符号的普通不等式； （3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解． 2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元 二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段 法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m 或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m 为正常数），利 用实数绝对值的几何意义求解较简便． 3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c 的解就是数轴上到 A（a），B（b）两点的距离之和 不小于 c 的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就 可以得出不等式的解． 4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是 ab≥0，左侧“=” 成立的条件是 ab≤0 且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“=” 成立的条件是 ab≤0，左侧“=”成立的条件是 ab≥0 且|a|≥|b|．