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- 2021-06-15 发布
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第一章章末检测
班级____ 姓名____ 考号____ 分数____
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.
一、选择题:本大题共 12 题,每题 5 分,共 60 分.在下列各题的四个选项中,只有一
个选项是符合题目要求的.
1.下列命题中正确的是( )
A.终边相同的角一定相等
B.锐角都是第一象限角
C.第一象限角都是锐角
D.小于 90°的角都是锐角
答案:B
2.已知 sin(2π-α)=4
5
,α∈
3π
2
,2π ,则sinα+cosα
sinα-cosα
等于( )
A.1
7 B.-1
7
C.-7 D.7
答案:A
解析:∵sin(2π-α)=sin(-α)=-sinα=4
5
,
∴sinα=-4
5.
∵α∈
3π
2
,2π ,∴cosα= 1-sin2α=3
5.
∴sinα+cosα
sinα-cosα
=
-4
5
+3
5
-4
5
-3
5
=
-1
5
-7
5
=1
7.
3.已知角α的终边经过点( 3,-1),则角α的最小正值是( )
A.2π
3 B.11π
6
C.5π
6 D.3π
4
答案:B
解析:∵sinα=-1
2
=-1
2
,且α的终边在第四象限,∴α=11
6 π.
4.若函数 y=2cosωx 在区间 0,2π
3 上递减,且有最小值 1,则ω的值可以是( )
A.2 B.1
2
C.3 D.1
3
答案:B
解析:由 y=2cosωx 在 0,2π
3 上是递减的,且有最小值为 1,则有 f
2π
3 =1,即
2×cos ω×2π
3 =1,cos
2π
3 ω =1
2
,检验各选项,得出 B 项符合.
5.sin(-1740°)的值是( )
A.- 3
2 B.-1
2
C.1
2 D. 3
2
答案:D
解析:sin(-1740°)=sin60°= 3
2 .
6.函数 f(x)=3sin 2x-π
6 在区间 0,π
2 上的值域为( )
A.
-3
2
,3
2 B.
-3
2
,3
C.
-3 3
2
,3 3
2 D.
-3 3
2
,3
答案:B
解析:当 x∈ 0,π
2 时,2x-π
6
∈ -π
6
,5π
6 ,sin 2x-π
6 ∈ -1
2
,1 ,故 3sin 2x-π
6 ∈
-3
2
,3 ,即此时函数 f(x)的值域是 -3
2
,3 .
7.下列函数中,在 0,π
2 上是增函数的偶函数是( )
A.y=|sinx| B.y=|sin2x|
C.y=|cosx| D.y=tanx
答案:A
解析:作图比较可知.
8.要得到函数 y=cos(3x+2)的图象,只要将函数 y=cos3x 的图象( )
A.向左平移 2 个单位
B.向右平移 2 个单位
C.向左平移2
3
个单位
D.向右平移2
3
个单位
答案:C
解析:∵y=cos(3x+2)=cos3 x+2
3 ,
∴只要将函数 y=cos3x 的图象向左平移2
3
个单位即可.
9.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是π,且当 x
∈ 0,π
2 时,f(x)=sinx,则 f
5π
3 的值为( )
A.-1
2 B. 3
2
C.- 3
2 D.1
2
答案:B
解析:f
5π
3 =f
π
3 =sinπ
3
= 3
2 .
10.若函数 f(x)= 2sin ax+π
4 (a>0)的最小正周期为 1,且 g(x)= sinaxx<0
gx-1x≥0
,则
g
5
6 等于( )
A.-1
2 B.1
2
C.- 3
2 D. 3
2
答案:C
解析:由条件得 f(x)= 2sin ax+π
4 ,又函数的最小正周期为 1,故2π
a
=1,∴a=2π,
∴g
5
6 =g
-1
6 =sin
-a
6 =
sin
-π
3 =- 3
2 .
11.已知ω>0,函数 f(x)=sin(ωx+π
4)在
π
2
,π 上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.
1
2
,5
4 B.
1
2
,3
4
C. 0,1
2 D.(0,2]
答案:A
解析:因为ω>0,函数 f(x)=sin ωx+π
4 在
π
2
,π 上单调递减,所以ωπ
2
+π
4
≤ωx+π
4
≤ωπ
+π
4
,所以
ωπ
2
+π
4
≥π
2
,
ωπ+π
4
≤3π
2
,
解得1
2
≤ω≤5
4
,故选 A.
12.下图为一半径为 3m 的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2m,已知水轮自点 A 开始旋转,
15s 旋转一圈.水轮上的点 P 到水面距离 y(m)与时间 x(s)满足函数关系式 y=Asin(ωx+φ)+2,
则有( )
A.ω=2π
15
,A=3 B.ω=15
2π
,A=3
C.ω=2π
15
,A=5 D.ω=15
2π
,A=5
答案:A
解析:∵T=15,故ω=2π
T
=2π
15
,显然 ymax-ymin 的值等于圆 O 的直径长,即 ymax-ymin
=6,故 A=ymax-ymin
2
=6
2
=3.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.
13.已知 sin
π
4
-α =m,则 cos
π
4
+α =________.
答案:m
解析:cos
π
4
+α =cos
π
2
-
π
4
-α
=sin
π
4
-α =m.
14.已知 f(x)的定义域为(0,1],则 f(sinx)的定义域是________.
答案:(2kπ,2kπ+π),k∈Z
解析:由 00,x∈(-∞,+∞),且以π
2
为最小正周期.
(1)求 f(0);
(2)求 f(x)的解析式;
(3)已知 f
α
4
+ π
12 =9
5
,求 sinα的值.
解:(1)f(0)=3sin ω×0+π
6 =3sinπ
6
=3
2.
(2)∵T=2π
ω
=π
2
,∴ω=4,所以 f(x)的解析式为:f(x)=3sin(4x+π
6).
(3)由 f
α
4
+ π
12 =9
5
得 3sin 4
α
4
+ π
12 +π
6 =9
5
,即 sin α+π
2 =3
5
,∴cosα=3
5
,
∴sinα=± 1-cos2α=± 1-
3
5 2=±4
5.
22.(12 分)已知函数 f(x)= 2cos 2x-π
4 ,x∈R.
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当 x∈ -π
8
,π
2 时,方程 f(x)=k 恰有两个不同的实数根,求实数 k 的取值范围;
(3)将函数 f(x)= 2cos 2x-π
4 的图象向右平移 m(m>0)个单位后所得函数 g(x)的图象关
于原点中心对称,求 m 的最小值.
解:(1)因为 f(x)= 2cos 2x-π
4 ,所以函数 f(x)的最小正周期为 T=2π
2
=π,
由 - π + 2kπ≤2x - π
4
≤2kπ , 得 - 3π
8
+ kπ≤x≤ π
8
+ kπ , 故 函 数 f(x) 的 递 增 区 间 为
-3π
8
+kπ,π
8
+kπ (k∈Z);
(2)因为 f(x)= 2cos 2x-π
4 在区间 -π
8
,π
8 上为增函数,在区间
π
8
,π
2 上为减函数
又 f
-π
8 =0,f
π
8 = 2,f
π
2 = 2cos π-π
4 =- 2cosπ
4
=-1,
∴当 k∈[0, 2)时方程 f(x)=k 恰有两个不同实根.
(3)∵f(x)= 2sin
-2x+3π
4 = 2sin 2x+π
4 = 2sin2 x+π
8
∴g(x)= 2sin2 x+π
8
-m =
2sin 2x+π
4
-2m
由题意得π
4
-2m=2kπ,∴m=-kπ+π
8
,k∈Z
当 k=0 时,m=π
8
,此时 g(x)= 2sin2x 关于原点中心对称.
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