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- 2021-06-15 发布
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专题21 不等式选讲
【2020年】
1.(2020·新课标Ⅰ)已知函数.
(1)画出的图像;
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)详解解析;(2).
【解析】
(1)因为,作出图象,如图所示:
(2)将函数的图象向左平移个单位,可得函数的图象,如图所示:
13
由,解得.
所以不等式的解集为.
2.(2020·新课标Ⅱ)已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,求a的取值范围.
【答案】(1)或;(2).
【解析】
(1)当时,.
当时,,解得:;
当时,,无解;
当时,,解得:;
综上所述:的解集为或.
(2)(当且仅当时取等号),
,解得:或,
13
的取值范围为.
3.(2020·新课标Ⅲ)设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca<0;
(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明:max{a,b,c}≥.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.
【解析】
(1),
.
均不为,则,;
(2)不妨设,
由可知,,
,.
当且仅当时,取等号,
,即.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用,属于中档题.
4.(2020·江苏卷)设,解不等式.
【答案】
【解析】或或
或或
所以解集为
【2019年】
13
1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
(1);
(2).
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】(1)因为,又,故有
.
所以.
(2)因为为正数且,故有
=24.
所以.
2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时,,求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)当a=1时,.
当时,;当时,.
所以,不等式的解集为.
(2)因为,所以.
当,时,.
所以,的取值范围是.
13
3.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,且.
(1)求的最小值;
(2)若成立,证明:或.
【答案】(1);(2)见详解.
【解析】(1)由于
,
故由已知得,
当且仅当x=,y=–,时等号成立.
所以的最小值为.
(2)由于
,
故由已知,
当且仅当,,时等号成立.
因此的最小值为.
由题设知,解得或.
4.【2019年高考江苏卷数学】设,解不等式.
【答案】.
【解析】当x<0时,原不等式可化为,解得x<;
13
当0≤x≤时,原不等式可化为x+1–2x>2,即x<–1,无解;
当x>时,原不等式可化为x+2x–1>2,解得x>1.
综上,原不等式的解集为.
【2018年】
1. (2018年全国I卷理数)[选修4–5:不等式选讲]
已知.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时不等式成立,求的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【解析】
(1)当时,,即
故不等式的解集为.
(2)当时成立等价于当时成立.
若,则当时;
若,的解集为,所以,故.
综上,的取值范围为.
2. (2018年全国Ⅱ卷理数) [选修4-5:不等式选讲]
设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,求的取值范围.
【答案】(1),(2)
【解析】(1)当时,
13
可得的解集为.
(2)等价于.
而,且当时等号成立.故等价于.
由可得或,所以的取值范围是.
3. (2018年全国Ⅲ卷理数) [选修4—5:不等式选讲]
设函数.
(1)画出的图像;
(2)当,,求的最小值.
【答案】(1)见解析
(2)5
【解析】(1) 的图像如图所示.
13
(2)由(1)知,的图像与轴交点的纵坐标为,且各部分所在直线斜率的最大值为,故当且仅当且时,在成立,因此的最小值为5。
4. (2018年江苏卷)[选修4—5:不等式选讲]
若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求的最小值.
【答案】4
【解析】证明:由柯西不等式,得.
因为,所以,
当且仅当时,不等式取等号,此时,
所以的最小值为4.
【2017年】
1.【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含[–1,1],求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)当时,不等式等价于.①
当时,①式化为,无解;
13
当时,①式化为,从而;
当时,①式化为,从而.
所以的解集为.
(2)当时,.
所以的解集包含,等价于当时.
又在的最小值必为与之一,所以且,得.
所以的取值范围为.
2.【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知.证明:
(1);
(2).
【答案】(1)证明略;(2)证明略.
【解析】(1)
(2)因为
所以,因此.
3.【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
13
(2)若不等式的解集非空,求m的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】(1),
当时,无解;
当时,由得,,解得;
当时,由解得.
所以的解集为.
(2)由得,而
,
且当时,.
故m的取值范围为.
【2016年】
1.【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲
已知函数.
(I)在答题卡第(24)题图中画出的图像;
(II)求不等式的解集.
13
【答案】(I)见解析(II)
【解析】⑴如图所示:
⑵
,当,,解得或,
当,,解得或
或
当,,解得或,或
综上,或或,,解集为
2.【2016高考新课标2理数】选修4—5:不等式选讲
13
已知函数,为不等式的解集.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明:当时,.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】(I)
当时,由得解得;
当时, ;
当时,由得解得.
所以的解集.
(II)由(I)知,当时,,
从而,
因此
3. 【2016高考新课标3理数】选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(I)当时,求不等式的解集;
(II)设函数.当时,,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)当时,.
解不等式得.
13
因此的解集为.
(Ⅱ)当时,
,
当时等号成立,所以当时,等价于
. ①
当时,①等价于,无解.
当时,①等价于,解得.
所以的取值范围是.
13
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